RUE

C'est-à-dire que ces valeurs sont identiques avec celles que donnent les termes de la série proposée ; et que conséquemment les transformations en question ne sont d'aucune utilité.

32. Pour mieux montrer la différence des fractions continues dont nous avons donné les lois n. 25 et 26 avec ces dernières, proposons-nous d'exprimer en fraction continue la demi - circonférence du cercle dont le rayon est l’unité. Ce nombre, en le désignant par +, est donné par la série (voy. GErcLe, n° 31)

1 TOUT I I I FT X— Rs = = ——""elc 4 3 A CPE; de 9 11 + En nous servant d’abord des formules d'Euler, faisons =1, B=3, C=—5, D=7, etc., et nous aurons

Mi

ce qui est la fameuse fraction de Brounker. Ses valeurs successives sont, en les réduisant en fractions déci-

males,

somme de 1 terme... 1 2 ........ 0, 6666666 SN hp 0107009008 AD. 10,07200004 Du cEe0r M0,,9347200 OMR ENO, TAAOTTS M socrss. 10, 0200347 etc. etc.

D'où l’on voit que sept termes ne donnent pas une seule décimale exacte.

Reprenons maintenant les formules des n. 20 et 21 et faisons

Ao=0, A1, À,——5,A:—",A;——7%,A;=—-, etc.

en prenant de plusla mesure gx pour l'unité, Construi=

(NE) 585 sons Îes quantités (4/) Bu, Cn, D, etc. et avec ces quantités, nous trouverons

M=o, M—:1,M,=;, M—:* M, M= ">, M, etc.

en général

D'où

fraction continue dont les valeurs successives sont

somme de 1:

terme... 1, 0000000 2 ses. 0, 7500000 3 .:...:. 0; 7910666 4 sosss.e 0, 7843120 Dihescessse 107 700880 OL. es 10; 7803687 ii sise eds 3 05 7894037 etc. etc.

Or, nous avons vu (CErcue, n° 30) que la valeur de x est 3, 1415926...

D'où lé = 0, 7853981...

Ainsi la somme de six termes ne diffère, en moins, de

la véritable valeur que de moins de 3 cent millièmes, et a somme de sept termes ne diffère, en plus, que de moins de 1 cent nullième, approximation déjà bien supérieure au rapport d’Archimède. La génération produite ici par la fraction continue diffère donc essentiellement de celle que donne la série; puisque, comme nous l'avons démontré plus haut, la fraction de Brouncker donne des résultats identiques avec ceux de cette série.

33. C'est à lord Brouncker, chancelier d'Angleterre, qu'ondoitl’invention des fractions continuesnumériques; il y fut conduit en cherchant à transformer les expressions indéfinies de Wallis pour la quadrature du cercle. Huygens s’en servit ensuite, et elles devinrent bientôt l’objet des recherches des plus célèbres géomètres. Daniel Bernouilli, Euler, Lambert, Lagrange et Legendre perfectionnèrent successivement leur théorie, et les employèrent dans des questions importantes. Euler et Lambert surtout considérèrent ces nouvelles fonctions

d’une manière généraie ou algébrique, et parvinrent à

3386 co

de véritables réductions des sériesen fractions continues. On n’a fait depuis que reproduire ou développer les procédés quileursont dus. Récemmentenñfin M. Wronski, dans la seconde section de sa Philosophie de la techni, a définitivement classé les fractiong£continues au nombre des algorithmes techniques, en montrant qu'ekles donnent toujours une génération différente des séries et beaucoup plus convergente. 11 a pour ainsi dire épuisé leur théorie , dans cet ouvrage , en les considérant d’une manière encore plus générale que nous ne l'avons fait aux n°° 23 et 25, et en donnant toutes les lois qui les régissent. Les belles expressions (d) et (f°) lui ap partiennent, au moins duns leur forme systématique, car le procédé de réduction qu'elles renferment avait déja ététrouvé par Euler. Mais la lougueur de cet article nous force à renvoyer à l'ouvrage de M. Wronski ceux de nos lecteurs qui voudraient approfondir la théorie des fractions continues. Nous verrons ailleurs un usage trèsimportant de ces fractions.

FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES, v0yez PÉRIODIQUE.

CONTINUITÉ. — C’est une

rompue.

liaison non-inter-

La loi de continaité est celle par laquelle des quantités variables passarit d’une grandeur à une autre, passent par toutes les grandeurs intermédiaires, sans en sauter aucune, Un gränd nombre de philosophes et de métaphvsiciens ont regardé comme probable l'application de cette loi aux opérations de la nature; mais le père Boscovich a prouvé que la loi était universelle. Ainsi nous vovons que la distance entre deux corps ne peut pas être altérée sans qu’ils aient passé par toutes les distances intermédiaires. Les planètes se meuvent chacune avec des vitesses et des directions différentes dans les diverses parties de leur orbite, mais toujours en observant la loi de continuité. Dans les corps célestes projetés, la vitesse croit et décroit suivant toutes les vitesses intermédiaires, ct il en arrive de même dans l’électricité et le magnétisme. Aucun corps ne devient plus ou moins dense sans passer par toutes les densités intermédiaires. La lumière du jour croit le matin et décroît le soir, suivant tous les degrés intermédiaires possibles. Et en examinant la nature avec tout le soin que réclame un tel examen, nous voyons que partout la loi de continuité existe. Il y a cependant des transitions brusques ; ainsi quand en comparant un jour au suivant, nous trouvons que celui-ci est plus court ou plus long que le premier de deux à trois minutes, nous serions tentés de dire qu’il y a transition brusque; mais si nous considérons toutes les longitudes, nous trouverons qu'il y 2 eu des jours de toutes les longueurs intermédiaires. Quelquefois aussi , nous confondons un mouvement rapideayecune impulsion instantanée. Ainsi, nous sommes disposes à penser qu’une balle est lancée par la poudre,

CO

par une impulsion instantanée; mais par le fait, un temps appréciable est nécessaire pour linflammation graduelle de la poudre, la raréfaction de l'air et la comwmunication du mouvement à Ja balle. C’est ainsi qu'on peut détruire toutes les objections qui pourraient être

faires à la loi de continuité.

CONTOUR (Géom.).Mot dont on se sert quelquefois

pour désigner le périmètre d’une figure.

CONTRACTION pe La veine FLuIDE (Hydrod.).

Resserrement qu'éprouve la colonne fluide qui sort d'un

vase par un orifice. Ÿ’oy. EcouLemENr.

CONTREGARDE. Ouvrage de fortification en forme de flèche, placé devant un bastion, dont il est séparé par un fossé. Son but est de protéger le rentrant: Foy.

FoRTIFICATION.

CONTRE-HARMONIQUE (4/g.). Trois nombres sont eu proportion contre-harmonique lorsque la diffé: rence entre le premicr et le second est à Ha différence entre le second et le troisième dans le rapport imverse du premier de ces nombres au troisième. Ainsi, les nombres À, B, C seront en proportion contre-harmo-

rique, si l'on a (1) (AB) : (B—C;:: C: A,

Cette proportion a été nommée contre-harmonique, par opposition avec la proportion harmonique, qui a lieu lorsque le rapport des différences est égal au rapport direct des nombres, ou quand on a

Si la considération des proportions contre-harmoniques est plus curieuse qu'utile, il n’en est pas de même de celle des proportions harmoniques, dont nous donnerons ailleurs une application intéressante. Voy. Harmo- NIQUE.

Des trois nombres A, B, C en proportion contre-harmonique, le second prend le nom de moyen contre-harmonique ; il est donné par légalité = A? C:

AC qu’on tire facilement de la proportion (1). Ainsi, si l’on demandait quel est le moven contre-harmonique entre Get3, il faudrait faire , dans cette égalité A=6 , C3; et on trouverait B—5.

CONTREMINES. Galeries de mines construitesautour de l'enceinte extérieure des places fortes, et destinées à épier les mouyemens des mineurs assiégans, Woy.