M= AA — E C DL AB; D
M: = BG Es M: — CD:
etc. etc.
CO
Ainsi connaissant les coefficiens du développement en série d’une fonction quelconque , on peut toujours, à l'aide des formules précédentes, développer cette même fonction en F action continue, ce qui donne une génération entièrement différente de la série et toujours plus convergente.
26. Pour obtenir les valeurs successives de la fonction F(x) qui résultent de la somme de un, deux, trois, etc. termes de Ja fraction continue il faut:nécessairement modifier Ja forme des médiateurs {1 r)} faisant donc
Po =M QE:
PP +<M,@r Q:—=Q P,=P, +M grP Q=Q + M, çæ.Q, P,—=P, +Mox.P, Q—=Q,, +M pxQ Pi=P, +MiogrP, Q=Q +M, pz.Q, etc. etc. etc: etc.
Pa= Pr + Mh9x.Pr, Qu=Qu:+ Mh9z Qn—, Les fractions successives alternativement plus petites et plus grandes que F (2) seront Ps CP: Le Jus Q' Qi Q' @
appliquons les formules
etc.
27. Avant de poursuivre, précédentes à quelques eas particuliers. Sôit d'abord F(x) = (14+x)7.
Le développément de (14-æ," en série est d’après la formule de Newton
etc.
m(m— le m Fi —1)(n—2) pe
Nous avons donc ici
AS xt À =m UQ (mi) nr a = "irri)m—2) … op Re)
ele, etc:
LS mm:)(m—), (mn)
et de plus, la fonction dx, prise pour mesure, est simpleient +. |
Construisons les quantités générales Br , Cr , Dr , E,, etc. (d) nous trouverons, en empléyant-pour abréger la notation des factorielles (voy. ce mot)
(a—2)m tar |:
be 1215,.7fs = 2 A2 pli Co — 2(3—n)m°l1.nl—t.m ” ben 1217,154x, A a —
CO (n=—3)(4—n)(2#minmetine line lime -ann2 | D ee om etc: etc.
à l’aide de ces quantités, Les expressions ( f') nous donnerons
M, = 1 M; = "2 M (1—m) a Ce ns — Ut) 7 2.3 '(2=m) Me 2.3.
De cr (EVE) 7 3:0 En) Mers: 7555 n, = Gr) J 2.7
dont la loi est évidente.
Ainsi le développement du binome (r+x)" en fraction continue est ZI —————— Ve (1—m) x 2.1
1 er eLc.
Lorsque m est un nombre entier positif ou négatif, la fraction continue a toujours un nombre fini de termes ;
dans tous les autres cas, ce nombre est indéfini.
28. Soit, pour second exémple, F{x)—log.x, log. désignant le logarithme naturel de æ&, On a la série (voyez LOGARITHME)
Loge = (a—1)—4 (21) (ae) (a) et.
Ici, la fonction, gx est x —1; et les coefficiens A,, A,,
etc. , sont la suite des fractions ;, +, à, +, etc., de sorte qu’on a en général
Formant les quantités B,, C,, D,, etc. , on obtient
Fe à fie) Ê + Ha) + s(x—1) 1 + her) 14 œ—1) 14)
29. Prenons pour dernier exemple F(x)=e, e étant la base des logarithmes naturels dont le développement
en série est CIRE HT + + —— ete … I 1:29 1.2.3.4 :
Dans ce cas particulier xæ1, et le coefficient général
An on 0 . Nous trouverons n—2 3—n Br — 'OERETIE , Cr — 1311, qnlt D, — (3—n)(n—4) Es (4—n)(n—5) OCR CERN Se IT CET ENT VIE CNET etc. etc.
et par suite ï e=i+ — LS z LI I 3.3 ER 1——<
30. IL est important de faire remarquer que la génération d’une quantité obtenue, au moyen des fractions continues, par les procédés que nous venons d'exposer, est essentiellement différente de la transformation des séries en fractions continues donnée par Euler daus son introduction à l’analyse infinitésimale. Cette transformation ne produit aucune génération nouvelle ou distincte de celle qui est opérée par la série elle-même, comme nous allons nous en assurer en rappelant ici la méthode d’'Euler.
X étant une fonction quelconque soit
sa génération en fraction continue,
En prenant successivement la somme de un, deux, trois, etc., termes de cette fraction , on aura
a = a a abba F7 HR à « ___abc+ Ba +ac CÉGES btE © a __ abcd+Bad+acd+yab+ay Re bed db TH d etc. etc.
Il est évident que ces fractions successives, en prenant a .. . ; - pour la première, sont alternativement plus petites et
plus grandes que X ; mais, en prenant les différences de chacune de ces fractions avec celle qui la suit, on voit aisément que la différence entre la première et la seconde
est 3; que la différence entre la seconde et la troisième
est me TS; entre la troisième et la quatrième : cet ; etc., etc. : ainsi on peut exprimer GcFBbed+ pd) ET dos
la valeur de la fraction continue par une suite determes, de cette manière
Hbc +9 Ÿ FD Cd) —
série dont le nombre de termes sera infini ou fini, selon
X=a+ £ = etc.
b que la fraction coutinue s’étendra ou non à l'infini.
En supposant, pour simplifier, le premier terme a égal à zéro, la fraction continue se trouve donc exprimée par une suite dont les termes sont alternativement positifs et négatifs; et il est réciproquement très-facile de transformer une suite quelconque de termes alternatifs en une fraction continue dont la valeur soit égale à la somme de la série proposée, car, soit en effet cette série
X—=A—B+C—D+HE-F+etc.
en comparant avec la série engendrée par la fraction continue, on aura les égalités
À be+p Ur
B bcd+fGd+;b
D. RUE") C bcde+fBde+ ybe+dbc+ps ctc. etc.
D'ou l’on tirera ;
æ— Ab Béc
ns A—B ne ACcd 1 [A—B)(B—C) 2 BDde
CEef
7 (C—DXD—E) etc. etc.
Avant ainsi trouvé les valeurs des numérateurs a, B, 7,9, etc., on peut prendre arbitrairement les dénominateurs b, c, d, e, etc., mais pour que ces nombres, étant entiers, donnent des valeurs entières à x, 8, 7,4, on fait
b—1 d'oùuil vient «—=A cæA—C £=B d=B—C 7—=AC e=C—D d—=BD J=D—E n=DC etc. etc.
Ainsi, sil’on a X—A—B+C—D+E-—F+etc.
on pourra exprimer la valeur de X en une fraction continue, comme il suit
D—E+etc.
Si tous les termes de la série étaient des nombres fractionnaires comme
; I I 1, 1 FA DT E D pe
on obtiendrait la fraction continue
— A + AA gi PAF =er ce Chr D—C+etc.
31. Telles sont les transformations d'Euler. Or, en prenant, dans la première, les valeurs successives de la fraction coutinue, on a
ë = À = = B LAS re 5 ue PP EC B LE AG
