RER EE. CC

est une série convergente , parce que les sommes successives

etc. etc.

approchent de plus en plus de la valeur totale 2. Mais si dans cette même série, on fait æ=», elle devient

14244484 16+432464+ etc.

c'est-à-dire une série divergente , car les sommes successives

etc. CC:

Différent de plus en plus de la valeur totale de la série qui est alors —1.

Le caractère prin ipal des séries convergentes est done que la différence cutre Ja somme d'un nombre quelconque de termes et la valeur totale de la série

peut deveuir aussi petite quon le veut, c'est-chre

moindre que toute grandeur donnée en prenant ce nombre de plus en plus grand, ainsi :

1° Toutes les séries dont les termes étant alternativement positifs et négatifs décroissent à l'infini, sont des séries convergentes. En effet, soit

a—b+c—d+e—f+g—h+etc..…

une telle série, si nous représentons par N sa valeur totale ou la quantité dont elle donne la génération, nous aurons

N=a—b+c—d+e—f+g—h+ etc...

Or, en prenant un nombre quelconque de termes, par

exemple a—b+c—d+e

et en désignant par M leur somme, nous aurons aussi

NM] tit tete. | Mais les termes allant en décroissant, les différences successives J—£ ; hi, kil, mn, etc...

sont, à l'infini, des quantités positives, et conséquemment la somme de toutes ces différences, ou, ce qui est la même chose, la somme de tous les termes, à commencer par f, est elle-même une quantité positive; si nous la désignons par P, l'égalité précédente deviendra N—M—P Prenant maintenant ue terme de plus, et faisant a—b+c—-d+e—f=M nous aurons encore N=M'+{g—h+i—h+limtetc….] ou N=M'+P' en représentant par P' la quantité positive égale à la somme des différences positives g—h, ik, [—m, n—o, etc.

Ainsi la valeur de N est comprise entre celles de M et de M', puisque nous avons

N>>M et NM

La différence entre M et M! étant le terme f, il suit de ce quiprécède quela diflérence entre Net M est plus petite que f, c'est-à-dire, en généralisant , quela somme

des mr premiers termes de la série ne diffère de la

588 co

somme totale que d'une quantité plus petite que le m1 ième terme: donc la série est convergente, puisque ce terme peut devenir auss' petit que l'on veut en prenant 7x suffisamment grand.

2°, Une série dont tous les termes sont positifs est convergente lorsque ces termes sont décroissans à l'infini, car soit

N=a+tb+c+d+e+f+g+h+ete.

une telle série; si nous fajsons

at s+<c+d+e=M a+b+tc+d+e+f=M

nous aurons

N=M+f+g+h+ it etc.

N=M+g+h+itk+ etc.

d'où N>M et N>M'; mais M'diffère moins de N que M puisqu'on a aussi M>M, donc la différence entre N et la somme d’un nombre de termes peut devenir aussi petite qu’on le voudra, en prenant ce nombre suffisamment grand.

3° Toutes les séries dont les termes vont toujours en croissant sont divergentes.

Quelque divergente que soit une série, lorsqu'elle n’a point été formée par une suite de termes pris arbitrairement, mais qu’elle exprime la génération d’une fonction d’une quantité variable , d’après des valeurs particulières de cette variable, on peut toujours la transformer en série convergente ; soit(1)

Fx = Ac+A fra, fa, fe friete.

une série divergente , Fx étant une fonction quelconque de x, et fx une autre fonction également quelconque de la même variable, etsoit (2)

Fr =B.+B,pr+B,or+B,0x+Bipzitetc.

la série transformée convergente, x étant une fonction arbitraire de x.

Supposons que l’équation fx=0o donne x—u, et construisons les fonctions fx, fx?, fx*,etc. avec les puissances successives de x—a, nous aurons (v0y. SÉRIES), en désignant par un point placé sur æ qu'il faut faire æ=a, après avoir pris les différentielles ,

dfi L— a d fx gene Ed LUE Un + de fe=pr+ Con jee Ga + etc.

dx 1 dx?

; dfx — d'fx (x—a) dpi (en dr Lu n dx us dx 1.2 + etc.

etc. etc.

Mais puisqu’en faisant x=a on à fz=0,

toutes les quantités dans lesquelles entre/x se réduisent à zéro après

les différentiations, ainsi on a en général dn fem — 0

tant que » est plus petit que »2; retranchant donc des développemens précédens les termes qui deviennent zero

et substituant ensuite dans (1), nous aurons

Fx = À: + A,dfà ee

pa [abri+aæri |

Fe [ar + A dfir + age | ee

+ etc. CC:

Choisissant la fonction arbitraire gx de manière qu’on ait @x—0 , en faisant x—a, nous aurons de même

Fr = Be + Bidex

— (5. doix+B,dex at

F7, [Bert Bdei+B de | + etc. etc.

Donc, en comparant les deux développemens, nous obtiendrons (3)

Ao=B,

A,dfà=Bdpx

A,dfà+A,dfx=B,dei+B,doi

A Œfi+Alfi+A, Di =Bdfx+B,dfr+ +B; dif x etc. etc. etc.

équations de couditions par lesquelles on pourra déterminer les quantités B,, B,, B,, etc., à l’aide des coefficiens A,,A,, À,, etc.

Pour appliquer ces formules, soit la série générale Fr=A,+A,(x—n)+A,(x—a}+A(x—a)+etc.

dans laquelle «& est une quantité donnée, telle que lorsqu'on a æ>a+1, cette série devienne divergente; A,, A,, A,,etc., étant des nombres finis quelconques. On

aura ainsi fx =(x—a).

La fonction gx devant être choisie de manière qu’elle devienne zéro en faisant x—=a, donuons-lui la forme

Co (x—a). (ÿx)"

ÿæ étant une fonction arbitraire de x et un nombre arbitraire, et pour prendre la fonction la plus simple,

faisons

da=n+x etm——1

nous aurons gx =(x—a). (n+x) !;

de cette manière la série tranformée (2) sera

et pourra devenir convergente, quelle que soit la valeur

Fx — B, +,

de x, au moyen de la quantité arbitraire ».

Substituons dans les équations de conditions (3) à la place de fx et gx leurs valeurs particulières ci-dessus, et nous obtiendrous (4)