I. Lx désignant le logarithme naturel dex, on a la

série connue.

La = (x—i)—}{x—i) + (x ir) — Ha) + etc.

qui est divergente lorsque + est plus grand que 2; pour la transformer en une série convergente, faisons a—1etn—=1 nous avons de plus Ao—0,A;—=—+, À, —+,A,—— +etc.

ce qui nous donnera en substituant dans (4) B;:—0; B:—2:

Bo—0,'B;—2; Bi=o, B:—7, ctc.

Ainsi la série transformée sera

= I 4 T— 1 \$ fx 1° | Lx = | L ) + il | etc Eee $ WE UD KT +17 | laquelle est convergente pour toutes les valeurs positives de x,

IT. Prenons pour second exemple le développement

1x2 ri r$ Let...

D pre qui devient divergent lorsque x n’est pas plus pett que l’unité. Nous aurons a—o et

ÂAo=1 ; A;=—1 , A;=1 , A;——1 , Air , etc.

En conservant dans toute sa généralité la quantité arbitraire 7, nous obtiendrons

B=1 ,B—=—n,B—n—n, B,—=—n+on—n, etc.

et, conséquemment,

I D T2 En) Te MR Den re) nr (n—1) 7 —n(n—1)f. ET +etc.….

Pour x=1, où la série proposée devient la suite singulière I—i+i—iti—iti—iti—etc., etc.

dont les géomètres se sont tant occupés, la série transformée est n n(n—1) n(n—1) , n(n—1ÿ

—= GROS ŒHiÿ (n—1) eme etc.

qui, pour toute valeur positive de » est une série con-

vergente donnant la valeur +.

Ces transformations et les belles lois dont elles dérivent sont dues à M. Wronski (voy. Philosophie de la Technie, seconde section); elles prouvent évidemment qu'une série quelconque a, en elle-même, dans le nombre indéfini de ses termes, une valeur déterminée rigoureuse , sans avoir besoin d'aucune quantité complémentaire comme plusieurs géomètres l'ont cru, puisqu’à l’aide de ces mêmes termes, quelque divergente qu'elle soit, elle donne toujours une série convergente (Foyez SÉRIE).

On peut ramener toutes les suites infinies de nombres déterminés dont on ne connaît pas les séries générales correspondantes, aux formules précédentes, en remarquant que pour une telle suite

NHN HN HN EN, etc.

On peut admettre une série générale

Fx = A+ Aufr + Asfe + A, fa A fax etc.

en supposant que cette suite provienne de la série géné rale pour une valeurdéterminée de la variable x. Cette hypothèse arbitraire donne les relations (æ désignant la

valeur déterminée de x)

N=A.,N; = Afx,

2 N, — = A;f x? etc

dont ontire

A=N,A,.= je LE DE . = jte.

es JE JE

Connaissant ainsi les coefficiens de la série générale, on pourra déterminer sa valeur correspondante à Ja valeur +, et cette valeur particulière de la série sera nécessairement celle de la suite infinie proposée. Nousrenverrons à l'ouvrage déjà cité de M. Wronski, ne pouvant qu'indiquer ici une théorie dont les limites de ce dictionnaire ne nous permettent pas d'exposer les principes supérieurs.

CONVERSE (Géom.). Propositions converses où réciproques. Foy. RÉcIPROQUE.

CONVERSION {4/g.). Ancien mot par lequel on exprimait la proportion résultante des différences entre les antécédens et les conséquens de deux rapports égaux

comparées aux conséquens. Ainsi ayant da proportion A:B::C:D la proportion dérive A—B :B::C—D:D

se nommait proportion par conversion. Voyez Propor- TION.

CONVEXE (Geéom.). La surface convexe est la surface extérieure d’un corps rond. Ce mot est particulièrement en usage dans la dioptrique et la catoptrique. PVoy. Miroirs.

COORDONNÉES (Géom.). Nom commun donné aux abscisses et aux ordonnces d'un point. Foyez Ars- CISSE.

COPERNIC (Nicoras), l'illustre et célèbre rénoyateur du véritable système du monde, naquit à Thorn, en Prusse, le 19 février 1473, d’une famille distinguée, suivant la plupart de ses biographes, et d’un paysan serf du nom de Zopernick, suivant Zernecke auteur de la Chronique de Thorn. Fils d’un gentilhomme ou d’un serf, Copernic a environné son nom d’une illustration dont l'éclat frappera seulla posterité; mais de ces deux circoustances, la première cependant est la plus vraisemblable: l'éducation élevée que le jeune Copernic reçut dans la maison de son père, où il apprit les lettres grecques et latines, avant d'aller à Cracovie où il termina ses études, ne pouvait être alors le partage de la classe malheureuse dont on a prétendu le faire sortir. Quoi

qu'il en soit, Copernic se livra d’abord à la philosophie et à la médecine; et obtint le grade de docteur dans cette dernière science. Ce fut alors qu'il put s’'abandonner avec plus de liberté au goût ardent, que dèssa plus tendre jeunesse, il avait manifesté pour les mathématiques. I en fit l'objet d’études sérieuses, et aborda en même temps la connaissance de l'astronomie, science

dans laquelle il devait immortaliser son nom. Le cé-

libre Régiomontanus (Jean Muller) la professait à cette époque en ftalie avec beaucoup d'éclat; le jeune Coperuic, entrainé peut-être par ce pressentiment de son avenir quise révèle quelquefois aux grands hommes, résolui d'aller enter dre ce maitre, et partit pour l'Italie après s'être perfectionné dans les arts graphiques, qu’il Jjugex utiles posr mettre ses leçons à profit. H étudia successivement à Bologne sous Dominique Maria, et à Rome sous Régiomontanus , et ces deux célèbres astronomes, frappés de sa sagacité, de la hauteur de ses vues et de ses nombreuses connaissances, que rendaient plus remarquables en lui la bonté de son caractère et la. douceur de ses mœurs, l’admirent dans leur intimité. Après avoir suivi avec tout le zèle dont il était animé, les leçons de ces illustres professeurs, et s'être familiarisé avec l'emploi des instrumens astronomiques , Copernic quitta Rome où le patronage de Régiomontanus lui avait fait obtenir une chaire de mathématiques, et il revint dans sa patrie, riche de l'instruction profonde qu'il avait acquise, et des observations auxquelles il avait pu se livrer, sous ce beau ciel de Ftalice, si favorable alorsaux sciences renaissantes.L’évéquedeW armie, son oncle, le pourvut d'un canonicat dans la petite ville de Fraënburgou Fravemberg, où il se fixa pourtoujours, et dès lors, cette vie, dont la laborieuse solitude allait être si utile aux progrès de la science, fut troublée par peu d’évènemens; il la partagea tout entière entre trois occupations principales qui étaient d'assister aux offices divins , d'exercer gratuitement la médecine pour les pauvres, et de consacrer le reste de son temps à ses études chéries. « Cependant, ajoute un deses biographes les plus distingués, quel que fût son éloignement pour les affaires, il ne put refuser l'administration des biens de l'évêché, qu’on lui confia plusieurs fois, pendaut les vacances du siège. Cette commission exigeait de la probité et du courage; il fallait défendre les droits de l'évêché contre les chevaliers teutoniques, alors trèspuissans. Copernic ue se laissa ni éblouir par leur autorité, nieffrayer par leurs menaces. Si l’on rapporte ces détails qui semblent étrangers à sa gloire, c’est pour montrer que dans ce caractère, l’esprit d'étude et de conteraplation était uni avec la fermeté et la constance, qualités non moins nécessaires que le génie pour attaquer etrenverser les préjugés consacrés par la croyance des siècles. »

En rapprochant dans ses médita:ionssur l’ancienne astronomie , ses profondes recherches sur la théorie des planètes et ses propres observations, Copernictronvales preuves certaines du double mouvement de la terre. Les bases du système qu'il établit sur cette doctrine né taient pas nouvelles, il est vrai, on a vu ailleurs (voy.

AsrronomiE) que Pythagore avait transporté du soleil

à la terre, Ile mouvement de révolution annuelle sur

l'éc'iptique; d’autres philosophes avaient après lui attribué à la terre un mouvement de rotation, pour expliquer la succession des jours et des nuits. Copernic en combinant ces deux idées, est devenu le fondateur de la véritable mécanique céleste. TI plaça le soleil au centre de notre monde planétaire, et autour de cet astre, il fit tourner d’occident en orient, suivant cet ordre de distance, Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne ; quant à la lune, elle continua aussi &e tourner d’occident en orient , autour de la terre, pendant que celle-ci était emportée autour du soleil. Ïl supposa que la terre tournait dans l'intervalle d'un jour , d'occident en orient, autour d’un axe qui demeure toujours parallèle à lui-même, etqui fait un angle d'environ 23°+ avec l'axe de l’écliptique. Enfin, dit l’illustre Laplace, tout annonçait dans ce système cette belle simplicité qui nous charme dans les moyens de li nature, quand nous sommes assez heureux pour les connaître. Copernic consacra toute sa vie aux observations et aux études qui devaient confirmer ses découvertes, evil n’entreprit d'en exposer l’ensemble, que lorsqu'il eut acquis la certitude complète de leur vérité. L'ouvrage fameux dans lequel il déposa le fruit de tant d’études et de méditations,etoù il soumit à une seule idée toute l'astronomie, fut divisé eu six livres qu'ilintitula : De orbium cœlestiunr revolutionibus ; il fat terminé vers 1530. Il hésita long-temps à publier cet écrit, qui devait occasionner une véritable révolution dans la science. Le bruit de ses idées s'était répandu en Europe, ses disciples et ses amis les faisaient circuler ; tandis qu’elles étaient accueillies avec respect par les savans les plus distingués, la foule dont elles attaquaient les préjugés se passionna contre elles: On taxa ce système de rêverie et d’'absurdité, et Copernic lui-même fut comme Socrate, livré aux huées de la multitude ignorante dans une pièce de théâtre. Copernic commençait à vieillir, et des études si constantes et si laborieuses avaient épuisé ses forces; il sentit, ajoute le biographe célèbre que nous avons cité plushaut, qu’en retardant plus long-temps la publication de ses recherches , il laissait à l'ignorance un champ plus libre, et que léxposition de vérités si évidentes, accompagnées de preuves si nombreuses et si palpables, serait le meilleur inoyen de réfuter l'accusation d’absurdité, dont on qualifait ses opinions. H permit donc à ses amis de publier son livre qu'il dédia au pape Paul TIE. « C’est, dit- » ikàä ce poutife, pour que l’on nem’accuse pas de fuir » Je jugement des personnes éclairées, ét pour que l’au- » torité de votre Sainteté, si elle approuve cet ouvrage, » megarantisse desmorsures de la calomnie.» L'ouvrage s'imprima à Nuremberg par les soins de Rhéticas, l’un des disciples dé Copernic. Le jour même de sa mort, et seulement quelques heures avant qu'il rendit lé

dernier soupir, l'exemplaire de son ouvrage, envoyé