RE

Le quotient de 154,05, divisé par 3,2552, est donc 47,324 à un millième près.

17. Lorsqu'on a exécuté une division, le moyen le plus direct qui se présente pour la vérification du calcu ou pour faire ce que l’on nomme la PREUvE de l’opération, c’est de multiplier le diviseur par le quotient puisque ces deux quantités sont les facteurs du dividende. Ainsi cette multiplication doit reproduire exactement le dividende, si la division n'a pas laissé de reste, et s’il y a un reste le produit augmenté de ce reste doit être égal au dividende.

Ilexiste encore une preuve deladivision qu’on nomme preuve par Q , elle est exposée au mot AnITHMÉTIQUE, dans le fragment d'Avicenne; nous verrons à l’article Facreur les principes sur lesquels elle est fondée.

18. Division comPLexE. On nomme divisioncomplexe celle qu'il's’agit d'effectuer sur des nombres composés d'entiers et de fractions. Il se présente trois cas : 1° Le dividende seul est complexe ; 2° le dividende et le diviseur sont tous deux complexes; 3° le diviseur seul est

complexe. Nous allons les examiner successivement.

1° Soit à diviser 345 20' 30" par 24 ; après avoir divisé 345 par 24, ce qui donne 14 pour quotient et Q pour reste; on réduira ce reste g heures, en minutes, en multipliant 9 par 60, puisque une heure équivaut à Go minutes ; on augmentera le produit, 540, des 20” du dividende, et on aura ainsi un nouveau dividende partiel 560, qui , divisé par 24 , donnera 23 pour quotient et 8 pour reste; on réduira de nouveau ce second reste en secondes, en le multipliant par 60, et on ajoutera au produit, 480 , les 30” du dividende général, ce qui donnera pour second dividende partiel 510; ce nombre, divisé enfin par 24, donnera pour quotient 21 et pour reste G. Le quotient général sera donc 14 heures, 23 minutes, 21 secondes , plus # de seconde. Voici les détails de l’opération :

Reste d’heures.... 9 6o

Reste des minutes. 8

ne

Reste de secondes... 6

S'il s'agissait d’un dividende composé de fractious ordinaires, on ramènerait l'opération à une division simple en se débarrassant des fractions comme il suit :

Soit 5 à diviser par 49. Réduisant tout le divi-

dende en fraction, c'est-à-dire opérant l'addition

56 + À ë SRE

L'opération sera ramenée à la division de nc par 49. Mais en retranchant le dénominateur 57, ou rend Ja fraction 57 fois plus grande ; ainsi le quotient de 2097 par le diviseur proposé 49 serait 57 fois trop grand, il faut donc multiplier préalablement le diviseur par 57, et alors le quotient de 2097 par 49X 57 ou par 2693 sera le quotient demandé.

Larègle générale est donc deréduire tout le dividende en une seule fraction, de multiplier ensuite le diviseur par le dénominateur de cette fraction, et de diviser seulement le numérateur par ce dernier produit.

2° Si le dividende et le diviseur sont tous deux complexes , on pourra se servir de plusieurs opérations préparatoires dont la plus simple est de rendre le diviseur incomplexe en le réduisant en unités de l’ordre le plus bas de celles qu’il contient. Soit par exemple :

48 livres sterling 16 shellings 6 pences à diviser par 350 toises 5 pieds 10 pouces. On réduira le diviseur en pouces, ce qui s’exécutera en multipliant d’abord 350 par 6, pour avoir le nombre de pieds contenus dans 350 toises, on ajoutera 5 à ce nombre 2100, puis on multipliera 2105 par 12, pour avoir le nombre de pouces eontenus dans 2105 , ajoutant 10 enfin à ce dernier nombre 25260, on saura que le diviseur proposé est équivalent à 25270 pouces. Or, une toise contenant 72 pouces, le nombre précédent, comparé à l’unité, est donc la fraction

et c’est par cette fraction qu’il faut diviser 48! 16° Gr. Pour faire disparaitre le dénominateur 92, il ne s’agit donc plus que de multiplier le dividende et le diviseur par ce nombre, ce qui ne change pas le quotient; le second devient alors simplement 25250, et le premier, en opérant lamultiplication, devient (voy. MuzrripLicaTioN) 3515! 8°. Voici les details de l'opération , pour laquelle il faut savoir que ia livre sterling vaut 20 schellings et le schelling 12 pences.

20 Lol 2° 9"

schellings 70300

Ieste en schel.

Pences. . .237216 Reste.... 9786

Le quotient demandé est donc 2 schellings 9 pences

plus oee de pence.

Il faut observer dans toute division que le diviseur doit toujours être considéré comme un nombre abstrait, et que le quotient ne peut être d’une autre nature que le dividende. En effet , une division quelconque avant pour but de trouver le nombre qui , ajouté à lui-même un nombre de fois donné en produit un autre également donné, il est évident que le nombre cherché est de même nature que celui qu'il doit produire, ou que le dividende; tandis que le diviseur, exprimant seulement

le nombre de fois que le quotient est contenu dans le di-

DI

vidende ; est essentiellement un nombre abstrait. Si donc l’on divise des livres sterlings par des toises, C’est qu'une telle division est Le résultat d’une question qui considère seulement le rapport des nombres entre eux indépendamment de leurs natures. Ainsi, par exemple, si l’on savait que 350 toises 5 pieds 10 pouces d'un cértain ouvrage de mäçonnefie ont coûté la somme de 48 livres 16 schellings 6 pences et qu’on voulüt connaitre , à l'aide dé ces nombres , quel est le prix de la toise , il s'agirait de savoir d’abord quel est le rapport entre une toise et le nombre en question, car si une toise est la centième, la deut=centière , ttc. partie de ce nombre son prix sera la centiènie païtie, la deux centième, etc. de la somme conntie; e’est-ä-dire, que pour obtenir ce prix il suffira de diviser cette somme par 100, ou 200, ou etc. Mais le rapport d’une toise à 350° 5r 10P , et ce nombre lui-même ; car en réduisant tout en pouces se

rapport est le même que celui de 72 pouces à 25270 pouces;

ou que le nombre abstrait

C’est donc seulement pour abréger qu’on sous-entend la nature abstraite du diviseur et qu’on lui conserve les dénominations des nombres concrets dont ii est le rapport.

3° Lorsque le diviseur seul est complexe , on ramène l'opération à une division simple en opérant sur lui comme dans le cas précédent.

La division complexe, dans le cas des fractions décimales, a été déjà exposée ci-dessus, n° 16.

19. Division aLGEBRIQUE. Nous avons Vu ALGÈBRE, n°10 , comment les signes du dividende et du diviseur déterminent ceux du quotient, nous rappellerons seulement ici, en désignant par À un dividende quelconque,

par B le diviseur, et par C le quotient, qu’on a en gé-

uéral :