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ou, en évaluant les coefficiens
E à B 4B°, 36 B° 2 AL | Et ns (A5) 13 SAT 5oA: © 753 A3 4o4 Bi 15000 Ai HIER
La plus grande cinquième puissance contenue dans 260 étant 243—3°, on FRRRME 260 en 243417, et
: B 17 faisant A—2/3 et B—1;, AË sera égal à 3 et —— —; VENT, 249
substituant ces valeurs dans la dernière formule, la racine demandée sera exprimée par une suite convergente et par conséquent plus on prendra de termes , plus on approchera de la véritable valeur. Pour évaluer un certain nombre de termes de cette suite, comme ces termes sont fractionnaires on les convertira en fractions décimales et ensuite on ajoutera d’une part, tous les termes positif, et de l’autre tous les termes négatifs,
la différence des deux sommes multipliée par À ou par 3, donnera la racine cherchée. Comme ici les termes vont en décroissant rapidement et que le cinquième est déjà moindre que 0,0000009, en se bornant aux cinq premiers termes, on aura, tous calculs futs, 3,0408477 pour la racine cinquième de 260, ou seulement 3,040847 pour plus d’exactitude, parce que n’ayant employé que 7 décimales dans le calcul, la septième dans le résultat peut quelquefois être trop faible et qu'on ne peut rigouveusement compter que sur l’exactitude des six premières.
I faut toujours observer , quand on emploie la for-
mule (A+-B)", ges B soit plus petit que À afin que
EX
+ soit une fraction et que tous les termes devenant de
plus en plus petits la suite soit convergente.
Au lieu de prendre pour A la plus grande puissance contenue dans la quantité donnée, il peut-être quetquefois avantageux de prendre la puissance immédiatement au-dessus de cette quantité. En effet s'il s'agissait de calculer la racine quatrième de 80, la plus grande puissance contenue dans 80 étant 16 on aurait
et alors ne serait pas une fraction plus petite que
l'unité. Mais la quatrième puissance immédiatement au-
dessus étant 51 , si l’on faisait A=S1 , B—1, où aurait
et on ferait alors B négatif dans le développement de la :
puissance (A+B)*
34. L’extraction des racines des quantités algébriques est fondée sur les mêmes principes que nous avons développés dans les numéros précédens, un exemple seul suffit encore ici pour indiquer la marche de ropération.
Soit à extraire la racine: quatrième de
167$ + 96422 + 216afixi + o16afx? + Srai.
On commencera par disposer les termes en les ordonnant, comme ci-dessus, par rapportà une même lettre et par puissances décroïssantes.
La quantité proposée étant donc ordonuée par rapport à æ, son premier terme doit être la quatrième puissance du PES terme de la racine ordonaée de la même manière, Prenant donc là racine quatrième
de16zx on a
ox? est donc le premier terme de la racine.
Retranchant la quatrième puissance de ox'où 16x, de la quantité proposée, le reste doit nécessairement commencer par le second terme du développement de la quatrième puissance des deux premiers termes de la racine , or dans l'expression
(a4b)i = ai + 4aÿb + Gab? + ab + bi.
le second terme contient quatre fois la troisième puissance du premier terme de la racine, multiplié par le
Li : PS second. Divisant donc ce terme par 4 &
b pour quotient. [ci le second terme du développe-
, on doit avoir
ment est 96æx°; prenant quatre fois la troisième puissance de 24°, on à 32x° pour résultat; divisant
580 EX 96 æ& x par 324°, le quotient 34° est le second terme de la racine.
Elevant 247434 à la quatrième puissance on à
(ax 3e) 167409647204 216aixi+ 1 Ga°x?+8rai.
Ainsi, le second membre de cette égalité étant la quantité proposée , 6x°+-34a? est la racine demandée.
Si la racine avait eu plus de deux termes , en retranchant de la quantité donnée, la quatrième puissance de 2x°+3a° , on aurait obtenu un reste qui aurait servi à déterminer les autres termes, en comparant avec
(AB) + C|'=(A+ BH (A+B) Crete.
Car après avoir retranché (AB), le reste devant commencer par 4 (A+4B)C*, en divisant ce premier terme par 4 (A+B) on a C pour quotient. Divisant donc le premier terme du reste par 4(2x*4+34°), on aurait obtenu le troisième terme de la racine, et ainsi de
suite.
15. Lorsqu'il s’agit des nombres, les logarithmes offrentlemoyeninfaillible de déterminerimmédiatement une racine d’un degré quelconque sans avoir besoin des calculs prolixes que nous avons exposés ci-dessus ; il est bien rare que les géomètres ne se contentent pas de leur usage, car avec les tables ordinaires on peut obtenir sept chiffres exacts ce qui est suffisant dans le plus grand nombre des cas.
D'après la nature des logarithmes (voy. ce mot) on a
Ainsi, le logarithme d’une racine s’obtient en divisant
celui de la puissance par l’exposant, et il ne faut plus que
chercher dans les tables le nombre qui correspond à ce dernier pour avoir la racine.
Par exemple, soit proposé, comme au n° 5, d’extraire la racine cubique de 24389. On trouvera dans les tables de logarithmes.
et, en opérant la division de ce logarithme par 3, on aura
Ce quotient étant le logarithme de la racine demandée, on cherchera dans les tables le nombre correspondant et on trouvera que la racine est 20.
Prenons pour second exemple le nombre 2, et proposons-nous d’extraire sa racine carrée approchée avec six décimales. Nous trouverons
