VA=V VA
L'opération se réduirait à extraire d’abord Ja racine deuxième de À et ensuite la racine troisième de cette racine deuxième, ce qui simplifie beaucoup les calculs, car ces calculs deviennent déjà très longs pour les racines du quatrième ordre.
Comine on a
m0, P, Ty . noPq ve Ve Wa V'A = VA
toutes Les fois que l’exposant d’une racine peut être décomposé en facteurs l'opération devient donc plus facile. C’est ainsi que l'extraction de la racine huitième se réduit à trois extractions successives de racines deuxièmes, que l'extraction de la racine douzième se réduit à deux extractions successives de la racine deuxième faites sur la racinetroisième de la quautité proposée.
Parce que DXON2—S,2NX IN 3—12 et ainsi de suite.
11. Nous avons vu ( ALG. 22) que pour extraire la racine d’une fraction il fallait extraire celles de son numérateur et de son dénominateur , et qu’on avait
vb
Lorsque les deux termes de la fraction ne sont pas des puissances parfaites, on ne peut alors trouver que des valeurs approchées , mais la propriété que possèdent les fractions, de ne point changer de valeur lorsqu'on multiplie leurs deux termes par le même nombre fait qu'on peut simplifier cette opération, En effet, multipliantles deux termes de la fraction par b—2 on a
abm-= V'abm—x V'abm-:
V()= v( bhm—s RE nn — CNE ne ,
Etil est évident qu'il ne faut plus extraire que la ras cine du numérateur.
Ainsi si l’on demandait la racine troisième de À
on CHE
EX
multiplierait ses deux termes par 5° et la fraction de-
venant
sa racine serait
La racine troisième de 100 étant entre 4 et5, on au-
rait donc 5 Pour la racine demandée. Valeur qui ne
Fe RRT la véritable que de
peut différer de g tout au plus.
En rendant le dénominateur plus grand on obtiendrait un plus haut degré d’approximation. Parexemple, sion voulait avoir la racine précédente à un cinq-centième d'unité près, on commencerait par multiplier les deux termes de la fraction proposée par 100, ce qui dounerait
multipliant ensuite les deux termes par la seconde puis-
sance du dénominateur , on aurait
dont la racine troisième
3 (re) =
es 2 à moins
est entre 85 (0)
e. et.—, clleest donc égale à
I sr A de -— d'unité près.
On pourrait employer cette méthode pour obtenir la racine d'une quantité quelconque à un dégré déterminé d'approximation, il ne faudrait pour cela que donner la forme fractionnaire à la quantité proposée. Par exemple, s’il s'agissait d'obtenir la racine troisième de 22 à moins d’un dixième d'unité près, on réduirait 22-en
sp : .. 220 É :
dixièmes, ce qui donnérait Fe dont la racine cherchée
; rite 29 comme ci-dessus, serait effectivement, ou2+—
moins d’un dixième d’unité près.
19. Le moyen le plus prompt et le plus commode pour extraire la racine d’une quantité quelconque, à un degré d’approximation déterminé , consiste à convertir cette quantité en fraction décimale, en observant d’ajouter autant de tranches de » Zéros, qu’on veut avoir
EX
de décimales à la racine. Par exemple, pour extraire la racine cinquième de 25 à moins d’un millième près, on converüra 5 en fraction décimale en lui ajoutant trois tranches de 5 zéros, puisqu'on demande trois chiffres décimaux à la racine. Et extrayaut ainsi la racine de
le premier chiffre de cette racine sera seul entier et les
autres seront décimaux.
13. La formule da binome offre encore le moyen d'extraire les racines avec très haut degré d’approximation. L'exemple suivant est suffisant pour en indiquér la marche.
Problème. Extraire la racine cinquième de 260.
Faisant dans la formule du binome (voy. Bixome) l’exposant épala +, on aura
Aie ei B anim afiri Berne
LT en rs — 3 etc.
