VC

ve © 4°. Enfin, le nombre étant négatif et l'exposant positif, si l’exposant est 2mparr, car de

la racine est negative,

(— A}m+i = (— Cj).on tire V/ (— C)—(

la génération de la racine,

=, Mais si l’exposant est pair, quoique possible en idée, devient impossible en réalité : ce nombre ne pouvant être alors ni positif n! négatif.

En effet, V/{—C) ne peut être une quantité positive (+ À), puisque (HA): est positif, et il ne peut être Aj2m est également positif (37). Ce cas, extrêmement remar-

non plus une quantité négative (— A), puisque (—

quable, nous offre donc la construction d’une espèce particulière de nombres auxquels il est impossible d’attacher aucune interprétation quelconque, quoiqu'ils soient d’un usage fréquent et utile dans les calculs. On a donné à ces nombres le nom de quantités imaginaires (voyez ce mot), qui est loin d’en définir exactement l'origine; car l'imagination est une faculté psychologique qui ne concourt en aucune manière à la génération des nombres opérée par l’enteudement.

Si nous observons que la génération d’un nombre négatif au moyen de l'unité est en général

(—1)XM, am, nous pourrons donner à la quantité V{— C) la forme

Verx ac qui revient (27) à V/(+C) SAVE

Or, la quantité VA (+ C) étant réelle, le facteur imagi-

2m, À En s naire V/—1, peut être seul l’objet de considérations

nouvelles,

Les quantités dites imaginaires peuvent donc s’expri-

2m mer à l’aide de la seule V— 1, ct leur forme générale

est

M étant une quantité réelle quelconque.

48. Nous nous sommes élevés successivement de la génération primitive des nombres À + B— C aux générations À X B—Cet AB—C; nous avons examiné les diverses espèces de nombres engendrés par ces trois modes différens de construction, et déterminé leur nature; il nous reste à prouver que le mode AB— C est le dernier mode élémentaire possible de construction, et, conséquemment , que ce qui précède renferme tous les élémens de la science des nombres. Pour cet effet, reprenons la marche qui nous a conduits (6) de A + B—C à A XB—C et de cette dernière (19) à AB —C. Formons donc une suite de nombres

at=c,cd—æe,ef—g;,gh=ti,etc., etc.

En substituant la valeur de ce dans celle de e, nous avons (ab )d — e ou (26) abd — e, Substituant ensuite cette valeur de e dans celle deg, elle devient (abd\f = g ou abdf — g.

Continuant donc de la même manière de proche en proche , eu désignant par m1 la dernière puissance, nous

aurons abdfh.. ete. — mn ;

qui, lorsque toutes les quantités b, d,f, h,k, etc., sont égales, se réduit à

anb = ; D

en désignant le nombre de ces quantités'par #1.

Or, cette expression ne diffère en aucune manière de AB — C. Ilest donc impossible de trouver un mode de génération élémentaire qui ne soit pas compris sous l’une des trois formes déjà trouvées ; et ces trois formes renferment en effet tous les élémens possibles de la science des nombres considérée dans sa plus grande généralité.

Ever est le premier qui se soit aperçu de la liaison qui existe entre les divers modes des générations élémentaires, et qui ait fait remarquer que chacun d’eux donne naissance à de nouvelles espèces de nombres. Les mathématiciens qui lui ont succédé , et particulièrement les auteurs d'ouvrages élémentaires semblent ne point avoir saisi tout ce qu'il y a d’important dans cette considération , qui seule permet de coordonner les diverses parties de l'algèbre, et de l’amener à cette unité systématique sans laquelle une science n’est qu’une collection de faits ou de lois sans liaison. Ces auteurs se sont contentés, pour la plupart, de présenter l'algèbre comme un moyen particulier de résoudre des problè-

mes , confondant ainsi ce qui a pu conduire à découvrir la science avec la science elle-même ; et ils sont partis de questions particulières pour arriver à des équations dont la résolution généralisée forme , suivant eux, la base de la science des nombres. Cette marche est évidemment vicieuse : les nombres constituent un ordre de réalités dont les lois sont nécessairement indépendantes de toute application numérique ou géométrique; et, comme tels, leur generation doit précéder nécessairement leur comparaison, de laquelle dépendent les équations.

Mais cette génération présente deux points de vue distincts : le premier est celui dans lequel on ne considère que les modes élémentaires et primitifs, pris isolément, de la construction des nombres; le second est celui dans lequel on considère la réunion de ces modes primitifs et les constructions dérivées qui naissent de cette réunion. Le premier point de vue constitue la genération élémentaire que nous venons d'exposer ; le second, la génération systématique qui sera développée successivement. La comparaison des nombres nous présente également deux parties, dont la première, la comparaison élémentaire, nous donne les pRoPoRTIONS et les PRoGREssIONS, et dont la seconde, la comparaison systématique , nous donne les ÉQuaTIoNs. Foy. ces mots et ALGORITHMIE.

ALGÉBRIQUE. Ce qui appartient à l'algèbre. On dit caractères algébriques , quantités algébriques , courbes algcbriques, etc.

On partageait jadis les lignes courbes en courbes géométriques, algébriques , transcendantes et mécaniques, et le terme algébrique se rapportait à celles de ces lignes dont la nature peut être exprimée par'une équation élémentaire, c’est-à-dire par une équation qui ne renferme aucune quantité transcendante. Mais aujourd’hui où la génération de toutes les quantités fait partie de l'algèbre, ces distinctions n’ont plus aucun fondement. Toutes les équations sont essentiellement algébriques, et le rapport des abscisses aux ordonnées d’une courbe quelconque étant toujours représenté par une équation immanente ou transcendante, la classification de ces lignes doit suivre celle des équations. (Voyez Courses et ÉqQuarions. )

AL-GEDY ( Astr.). Nom de l'étoile du Capricorne marquée y dans les catalogues, et qui signifie Le Chevreau. Les Arabes donnaient aussi ce nom à la constellation entière, ainsi qu’à l'étoile polaire.

ALGENEB ou ALGENIB, et plus correctement AL- Gens Fersaous ( Z côté de Persée). ( Astr.). Quelques observateurs ont donné ce nom à la ceinture de Persée; mais il a été mal à propos confondu par plusieurs au teurs avec le nom de AL-GEnau (l'aile), donné à uue

étoile de la seconde grandeur, située dans la constella-

tion de Pégase. On la marque dans les catalogues par la

lettre y.

ALGOL, ei plus exactement rA5 AL-cnouL (téle de furie).( Astr.) Nom de l'étoile vulgairement appelée Téte de Méduse, marquée B dans la constellation de Persée. Cette étoile est sujette à une variation périodique dans l'intensité de sa lumière : elle passe en » jours 48 ou 49° de la deuxième grandeur à la quatrième ou à la cinquième grandeur. Cette observation a été faite pour la premièré fois en 1783 par un gentilhomme du duché d’'Yorck, appelé Goodricke. L'étoile Algol ne reste à Paris sous Fhorizon que pendant 1 heure 27". (Poyez Érorres cHANGEANTES. )

LGOMEIZA, et plus correctement AT-GHAMEYSSA.

( Astr.). On donne ce nom à Procvon, lune des étoiles de la constellation du Petit-Chien, et quelquefois à la constellation entière. ( ’oyez Procyon.) Quelques astronomes arabes ont écrit ce nom AL-GOMEYZAN, qui signifie petit Sycomore.

ALGORAB ( Astr. ). Nom de l’une des étoiles de la constellation méridionale du Corbeau, marquée ; dans les catalogues. Le nom d’ar-cnorar, qui signifie le corbeau, est donné par les Arabes à la constellation entière.

ALGORITHME. Terme dérivé du mot arabe AL- GORETM, Qui signifie racine en général, et qu'on a employé, par extension, pour calcul. On l'emploie pour désigner chaque forme particulière de génération desnombres. Ainsi, parexemple, «& = c est l'algorithme des puissances; A9 x=@ (x+Ax)—@x est l'algorithme des différences; F x=A co + Ai Z4A ,x2+4# A3 ti, etc.., est l’algorithmé des séries, ete., ete. La science dont le but est d’embrasser les faits et les lois des nombres, et par conséquent tous les algorithmes, devrait donc être nommée par excellence a/gorithmie ; et nous devons faire observer à ce sujet que l'adoption d’un moi particulier pour exprimer la science générale des nombres, est d'autant plus nécessaire que cette science n’a recu , jusqu'ici, aucune désignation spéciale qui puisse l'empêcher d’être confondue avec l’une ou l’autre de ses branches, l’artthmétique et l'algèbre. M. Ampère, dans sa classification des connaissances humaines, propose le ot arithmologre ; mais ce mot ne nous parait pas aussi bien approprié à son objet que celui d’a/gorithrnie, qui est déjà employé dans plusieurs ouvrages importans.

ALGORITHMIE. C'est sous ce nom qu'un géomètre moderne, M. Wronski, désigne l’une des branches fondamentales des mathématiques pures : celle qui à pour objet les nombres. Le but de ce savant, dans les nombreux ouvragesqu’ila publiés en France depuisi8r1, paraît être de fonder en général la philosophie des mathématiques, et de constituer en particulier une branche nouvelle de ces sciences, à laquelle il donne le nom de Technie. Les vues nouvelles qu'il propose, l’unite

qu'il veut établir entre les nombreuses parties des ma thématiques, la loi universelle qu'il a découverte, loi qui, d'après le rapport du célèbre Lagrange, embrasse toutes les lois connues pour le développement des fonctions, ne nous permettent pas de passer sous silence une doctrine dont l’avenir de la science ne peut manquer de se ressentir. ( J’oyez PniLosoPiE DES MATREMATIQUES. )

ALHABOR, ct plus correctement AL 4arour. (4str.) Nom arabe de Sirius.

ALHAIOTIT, et plus correctement ar-asovo. (Astr.) Nom arabe de la belle étoile de la Chèvre, qui se trouvé dans la constellation du Cocher, et que les Syriens nomment ayouTo. flle est indiquée par quelques auteurs comme une étoile de la troisième grandeur dans la constellation du Capricorne. C’est une erreur à laquelle le nom vulgaire de cette étoile, attribué aussi quelquefois à cetie dernière constellation, a pu donner naissance. L'étoile de Za Chevre est désignée encore par le nom d'ALnatOD.

ALHAZEN, nom vulgaire sous lequel les savans d'Europe ont désigné le célèbre et savant mathématicien arabe dont le nom est AL-RASSAN, BEN-HASSAN, AEOR-ALY, BEN ÉL-RAYTHAM : il était natif de Basrah, et vivait en Égvpte à la cour du khalyfe ÉL-nakEm, vers l’an 400 de l'hcgire ( 1009 de notre ëêre). Il mourut au Kaire l’an 430 (1038). Il s’occupa Spécialement d'astronomie et d'optique, et mérite sous ce rapport d’être cité avec distinction parmi les hommes de sa nation, dont lestravaux et les recherches ont le plus contribué à répandre en Europe les sciences et les lumières. Nous avons de lui un Traité d'optique, dont quelques parties révèlent une haute instruction, et des tentatives heureuses pour arriver à l'explication des phénomènes que présente cette science, et qui étaient encore regardés comme insolubles au temps d’Alhazen, Ce livre est encore recommandable sous un autre rapport : il peut être fort utile à l’histoire littéraire et critiqué des sciences chez les Arabes, dont il résume les progrès dans un tableau des connaissances que possédait cette illustre nation. Cet ouvrage est, au reste, divisé en trois parties. La première, consacrée à Ja physique, n’est pas exemipte d’erreurs : Alhazen y développe quelques fausses doctrines sur la cause de la vision et sur les couleurs, On y trouve néanmoins des aperçus fort judicieux sur la réfraction astronomique, sur la grandeur apparente des objets, et spécialement sur le phénomène du grossissement apparent du solcil et de la lune, vus à l'horizon. La seconde partie, qui est consacrée à la catoptrique, est traitée par Alhazen avec plus de supériorité, quoiqu'il s’v soit aussi glissé quelques erreurs, telles que ses appréciations sur le ïieu apparent de l’image dans les miroirs courbes, et celles sur le foyer des miroirs caustiques. La troisième partie est consacrée à Ja dioptrique, Les connaissances d’Alba-

zen, sous ce rapport, quoique fort étendues, sont néanmoins encore imparfaites. On trouve cependant dans cette partie de son ouvrage l'exposition d'ingénieuses théories pour expliquer la réfraction. Huygens a accusé Alhazen d’une grave erreur, dont il n’est point coupable, en lui faisant dire que les angles rompus sont proportionnels aux angles d’inclinaison. Ce mathématicien arabe aperçut très-bien, au contraire, qu'il n’y avait entre eux aucune raison constante, et il recourut à l'expérience pour déterminer la quantité de réfraction convenable à chaque obliquité ; il en donne même ure table, qui détruit complétement l’assertion d'Huvgens. L'optique d’'Alhazen, traduite de l'arabe, et réunie à celle de Vitellion, a été publiée pour la première fois à Bäle, en 1532, par Risner, sous le titre de : Thesaurus opticæ, in-folio.

Il existe d’autres mathématiciens du nom d’Alhazen, dont les travaux sont moins importans, et que nous n’avons pas jugé utile de mentionner ici.

AL-HOOT ( Ze Cétacce ). ( Astr.). Nom arabe de l'étoile marquée : dans nos catalogues, et qui est la première de Ja queue de la Grande-Ourse. On la désigne encore sous les noms altérés de AL1OT, ALIATH, ALLIOTH, Miracu, et sous celui de Mizar dans l’Uranomeétrie de Bayer. La connaissance de cette étoile est surtout utile aux marins.

ALIDADE ( Géom. ). Règle mobile de bois ou de métal, portant une pinnule à chacune de ses extrémités, dont on se sert pour viser les objets et tracer les lignes de leurs directions lorsqu'on lève les plans à l’aide de l'instrument nommé Planchette. (Foy. PLancnerre.) Ce mot vient de AL-HiDAD, qui signifie tout à la fois en arabe, pinnule de fer, but ct point déterminé. On appelle encore Alidade la règle mobile qui, tournant autour du centre d’un cercle divisé en degrés, peut en parcourir tout le limbe pour mesurer les angles. Elle porte aussi des pinnules, ou bien est surmontée d’une lunette. (Voyez GrapaomËTRE et CERCLE RÉPÉTITEUR. )

ALIGNEMENT (4rp.). Voyez ARPENTAGE.

ALIEMINI (Astr. ). Nom donné dans les Tables Alphonsines à la belle étoile du Grand-Chien, plus habituellement désignée sous le nom de Sirius. Aliemini est le mot arabe corrompu AL-YEMINY , Ou AL-YEMANIER, qui signifie placé à droite.

ALIQUANTE (Arith.). Parties aliquantes d’un nombre. Ce sont celles qui ne le divisent pas exactement, ou qui ne sont pas ses facteurs. Par exemple, 5 est une partie aliquante de 8, parce que 5 n’est pas facteur de 8,

ALIQUOTE ( Arith.). Parties aliguotes d’un nombre. Parties d’un nombre qui le divisent exactement ou qui sont ses facteurs, Par exemple, 2 est une partie aliquote de 8, parce que 2 est facteur de 8. ( Voyez Murriecica- TION. }

AL 39 ALKAMELUZ (Astr.). Nom donné par quelques

auteurs à l’étoile Arcturus, située dans la constellation du Bouvier. Cette dénomination est corrompue du nom d’ar-ramene (le lancier ) que lui donnent les Arabes.

ALLIAGE. Règle d’alliage (Ærith.). On donne indistinctement en arithmétique le nom d’alliage à tout mélange de diverses matières susceptibles d'être réunies. Les questions qu'on peut se proposer sur ces mélanges offrent deux points de vue différens : 1° Les valeurs et les quantités des matières composantes étant données, on veut déterminer la valeur du mélange. 2° La valeur et la quantité du mélange étant données,ainsi que les valeurs des matières composantes, on veut déterminer les quantités de ces matières. Les opérations arithmétiques qu’il faut faire pour résoudre ces deux ordres de propositions, se nomment règles d’alliage, savoir : règle d’alliage directe dans le premier cas, et règle d’alliage inverse dans le second.

Règle d'alêiage directe. Le cas le plus simple est celui qui a pour objet de déterminer le prix d’un mélange. II faut d’abord bien préciser l’idée attachée au mot prix.

En exprimant la quantité d'une marchandise quelconque par un nombre, l’unité de ce nombre désigne toujours une cértaine quantité déterminée, dont on est convenu d'avance, et c’est particulièrement la valeur en argent de cette unité que nous nommons le prix de la marchandise. Ce prix, multiplié ensuite par le nombre d'unités que la quantité de marchandise renferme, fait connaître la valeur de cette quantité. Par exemple, 12 mètres d’étoffe, à 3 fr. le mètre, valent 36 fr. Le nombre 12 exprime la quantité de la marchandise, le nombre 36 sa valeur, et le nombre 3 son prix.

Le prix est donc la valeur spécifique d’une chose, ou la valeur de l’unité de cette chose.

Ceci étant posé, voilà la règle : Multipliez Le prix de chaque matière par sa quantité respective; divisez la somme des produits par celle des quantités ou par la quantité totale du mélange: le prix trouvé sera le prix du mélange.

Ex. I. On a mélé ensemble 3 sortes de ble à diffé-

rens prit, Savoir :

10 sacs de blé à 15 fr.

On demande le prix du mélange.

Multipliant chaque nombre de sacs par son prix, on

trouve :

Valeur des r0 sacs 150 fr.

15 199 (e) 96 Valeur totale des 53 sacs 4x fr.

Divisant 441 par 33, on trouve 13 fr. 36 c. pour le prix du sac de mélange.

Ex. II. Voulant fondre ensemble plusieurs lingots d'argent à différens titres, on veut connaître le titre du mélange.

On nomme tre de l'argent la quantité de métal pur contenu dans un marc, et on évalue ce titre en supposant le marc divisé en 12 parties, qu’on nomme deniers, et le denier en 24 grains. Ainsi quand on dit que le titre

d’un lingot est de 10 deniers 3 On entend qu’un marc de ce lingot contient 10 deniers 12 gr. d'argent pur, et 1 denier 12 gr. de quelque autre métal inférieur, Lorsqu'un lingot d'argent est entièrement pur, on dit qu'il est à 12 deniers.

Le titre de l'argent indique donc en même temps le prix qu'il a dans le commerce; ct nous devons agir ici comme dans l'exemple précédent. Ainsi, ayant fondu eusemble

25 marcs d'argent à 10 = deniers de fin 38 9 3 42 11 z

pour trouver le prix du mélange, on multiplie chaque titre par le nombre de marcs auquel il appartient, et on

trouve Valeur des 25 marcs 262 : deniers 38 351 = 42 472 à Valeur des 105 marcs 1086 2 denicrs.

Divisant le nombre total des deniers par celui des marcs on obtient 10 deniers 9 grains pour le titre de l’alliage.

Le titre de l'argent ainsi que celui de l'or, s'exprime en France, depuis l'introduction du système décimal, en millièmes de l'unité : ainsi l'argent pur est dit à 1000 millièmes ; et l'argent qui contient 90 ou 100 millièmes d’alliage, est dit au titre de 0,910 Où 0,900.

En examinant le procédé suivi dans la règle d’alliage directe, il est facile d’en concevoir les raisons. En effet A,B,C,D, etc., étant des quantités quelconques de marchandises dont les prix respectifs sont m, m',m", m'", etc., les valeurs de ces marchandises sont mA, m'B, m'C, m"D, etc., et par conséquent la valeur totale de leur mélange sera

mA + m'B + m"C+ m" D + etc.

La quantité du mélange étant

A+B+C+D etc.

Or, pour trouver la valeur d’une marchandise, il faut multiplier sa quantité par son prix: donc, en divisant is valeur par la quantité, on trouve le prix. Ainsi, divi- Sant m A + m B+m" C+m"D ro CÉC-> pan

AB+C+D+,etc., on aura le prix du mélange.

Régle d'alliage inverse. Dans la règle d'alliage inverse, lorsqu'il y a plus de deux objets mélangés, le probléme est indéterminé, et peut admettre un grand nombre de solutions : il surpasse alors les forces de l’arithmétique ordinaire. ( foyez Axazyse iNpÉrermiNÉE. ) Nous n’examinerons donc ici que le cas de deux objets.

Le prix de chacune des matières étant connu, ainsi que celui du mélange, il s'agit de déterminer la quantité de chacune des matières composantes. Voici la règle : Otez Le plus petit prix du prix du mélange ; Ôtez ensuite le prix du mélange du plus grand Prix , cela vous donnera deux différences. Partagèz ensuite la quantité du mélange en deux parties qui soient entre elles dans le méme rapport que les deux differences trouvées, et ces deux parties seront les quantités demandées, savoir : la plus grande, celle dont le prix est le plus petit, et la plus petite, celle dont le prix est le plus grand.

1 Exemple. Un sac de blé à 15 francs est composé d’une partie de blé à 19 francs et d’une autre à r9 francs. On demande les quantités de chacune de ces parties.

Première différence. 15 — 12 = 3 Seconde différence. 19 — 15 = 4

Il faut donc partager le sac en deux parties qui soient cutre elles comme 3 : 4. Ainsi, le sac étant l’unité, ces parties sont ? et À; il y a donc dans le mélange 3 de sac à 19 francs et #

1° Exemple. 500 boutalles de vin à 3 fr. sont le produit du mélange de deux espèces de vins, l’une à 5 fr. et l’autre à 2 fr. On demande les quantités qu’on

a dû prendre de chacune de ces espèces.

à 12 francs.

Première différence. 3 — 2 = 1.

Seconde différence. 5 — 3 = 2.

Les quantités cherchées sont donc dans le rapport de 2 : 1. Pour les trouver, on pose les deux proportions

On a donc pris 166 3 bouteilles à 5 fr. , et 333 3 bouteilles à 3 fr.

Cette règle peut se démontrer de la manière suivante : Soit À la quantité d’une des matières, et m2 son prix; B la quantité de l’autre matière, et » son prix; M la quantité du mélange, et p son prix : on a, par la règle directe