Trouver l'équation d'une droite assujetie à pas

ser par deux points donnés, o et P.

Soient x —x'ety — y" les équations du point o, etxz — x", y = y" les équations du point P.

Au point 0, les coordonnées de la droite devant étre les mêmes que ceux de ce point, on exprime cette cirf

constance en faisant , dans l’équation générale, x = x ety =y',etl’ona (7)

ÿ! = ax +'b.

Par la même raison l’équation (7) y" = ax" + b

exprimera qu’au point P les coordonnées de la droite sont les mêmes que celles de ce point.

Mais la droite doit passer par les deux points : ainsi les deux équations (77) et (7) subsistent en même temps, et déterminent par leur concours les valeurs de a et de à qui fixent entièrement la position de cette droite. Résolvant donc ces équations , en considérant a et b comme les inconnues (voyez ÉQUATION), nous aurons FR

zx"

x'y"—x"y" ; B— 2 7 —e TI —ZT

Substituant ces valeurs de a et de b dans l’équation générale, elle devient (p)

Telle est donc l'équation de la droite qui passe par les deux points x’, y' et x”, 7". Nous désignerons dorénavant un point par ses coordonnées ; c’est-à-dire qu’en disant un point x’, y’ nous entendrons le point dont les coordonnées sont x' et y".

On peut donner à l'équation (p) une forme plus simple en opérant ainsi qu'il suit :

Si de l'équation générale y =ax+b nous retranchons J'=ax'+b, nous aurons (4)

FJ—Y'= ax — x), qui sera l’équation de la droite assujettie à passer par le point 2}, y.

Dans cette dernière , mettons la valeur de a , obtenue

ci-dessus, nous aurons (r)

pour l'équation de la droite qui passe par les points x yhet LA pe

Nous ferons remarquer que dans léquation (g) la quantité a demeure indéterminée parce qu'il y a une infinité de droites qui peuvent passer par le point x", y", et que la condition de passer par ce point ne détermine en aucune manière l’angle dont a est la tangente. Il n'en est pas de même dans les équations (p) et (r), dans les-

quelles la condition de passer par deux points æ', 3" et æ", y" détermine entièrement la situation de la droite

ct conséquenment la tangente a.

IL est facile de voir que les équations (p) et (r) ne différent que par la forme ; car il est facile, en déve-

loppant la première, d'arriver à la seconde.

13. En considérant le triangle rectangle PB’, dans la figure précédente, on trouve aisément que la distance de deux points o et P, ou la partie de la droite com-

prise entre ces points, a pour valeur l'expression

VO +, x et y étant les coordonnées du point o et x'et y

celles du point P. Cette expression est d’un usage fréquent.

14. Trouver l'équation d'une droite DO assujétie à passer par le point Q,et qui de plus soit parallèle à

une autre droite IL donnee de position.

Soit y —ar+b léquation de la droite don-

née IL, æx'et y'les coordonnées du point Q, et y =ax + bd

cherchée.

l'équation

Cette équation, devant exprimer la circonstance que la droite DO passe par le point Q, prendra la

forme

Mais les deux lignes IL et DO étant parallèles , les angles qu’elles forment avec l'axe des x sont nécessairement égaux; ainsi les tangentes de ces angles sont égales, et lon a

a =«a L'équation demandée est donc y —y' =a(x— x),

15. Si les deux droites FD et DE (fig. ci-après ) sont perpendiculaires l’une sur l’autre, dans les deux équations générales de ces lignes,

> =ax+b y=ax+b",

on aura a = ——.

En effet, par l’origine À menons les deux autres droites AB et AC respectivement parallèles aux proposées, les équations de ces derrières seront ()