Si l’on demandait la grandeur EF de la perpen

AP diculaire , il faudrait dans l'expression générale

VTT +G@—x), qui donne (13) la distance de deux pointsx, #@ x", y', substituer les valeurs des Y coordonnées des points E et F. Or, les coordonnées du point E sont x’, y'; et quant à celles du pointF, en considérant que ce point est commun aux deux droites EF et ED, on voit facilement qu'elles doivent vérifier en même temps les deux équations de ces droites. Ainsi, A h:9p!

prenant x et y pour inconnues, les équations Yÿ = ax + b ! I G —Y =— (Lt —Z).

PT at?)

Nous donnerons, pour les valeurs de x et de y , les eoordonnées du point F; mais, comme dns l'expression de la distance de deux points, les coordonnées des points p’entrent que par leurs différences, on arrivera plus vite au résultat en cherchant immédiatement les quantités x—zx'ety— 7". Pour les obtenir, on donnera à l’é-

quation y =ax+b \a forme

y —y'=a(x—x)—y +ax +b;

et ou en retranchera l’équation de la perpendiculaire ' L L Ver: =) on obtiendra ainsi CRETE

D'où l’on tirera et par suite

Gubstituant ces valeurs dans

VO—rY+@—xry.

On aura, pour la distance cherchée , l’expression

y'—ax'—b

Vi — FR 18. Déterminer l'angle que font entre elles deux droites dont les équations sont données.

Soient y —axr +b,y— a'x+b", les équations données, Il est évident que l'angle de ces droites ne chan-

gera pas en les faisant mouvoir parallèlement à eliesmêmes jusqu’à ce que le sommet de l'angle soit à l'origine. Ainsi, nous pouseulement deux droites AM et AN, dont les équations sont alors

vons considérer

J=AT, y=ux.

Prenons sur AM un A point M dont les coordonnées soient x’, y’, et abaissons de ce point MN perpendiculaire sur AN, la grandeur de cette perpendiculaire sera (17)

Y' De a'x'

MN — = 60 0 000 Vita

à cause de b' — 0.

Mais en considérant AM comme le rayon trigonométrique, on aura (u) AM =1i=x+y".

et comme le point M est sur la ligne AM, dont l’équation est y —ax, on aura aussi

J'=ax", et par suite (2)

y" — ax,

des expressions (u) et (z) on tire

4 1 ; a vire ve

Substituant ces valeurs dans (v), on obtient PRE re Vioate Mais MN est le sinus de l'angle MAN; donc l'angle formé par deux droites dont les équations sont

Y = ax + b

J'=ax+b", a, pour sinus, la valeur

a— a Va+æ).(+a) Pour obtenir la tangente du même angle, on partira de l'égalité (voy. Sixus) cos P—1—-Ssin #, d étant un angle quelconque.

On aura donc D'où l’on tirera cos MAN — TR — , V'G + a) (+4) k

ct par suite sin MAN a— a!

MAN ee ip NES

Nous allons appliquer ce qui précède à la solution de quelques questions géométriques.

19. Pros. I. Deux droites CA et CB étant données de position par les angles giwelles forment avec une troisième droite AB = p, trouver sur une quatrième droite AY perpendiculaire à AB, un point G tel qu'en menant GK. parallèle à AB, la partie HK interceptée entre les droites AC et CB soit égale à une ligne donnée m.

Soient & la tangente de l'angle CAB et a’ celle de l'angle CBA.

Prenant le point À pour l'origine des coordonnées, l'équation de AC sera

Y=AX; et celle de CB sera f=—a(x—p),

puisqu'elle doit passer par le point B, dont les coordonnées sont 2=p y et y —0o, et que de plus y diminuant lorsque æ augmente, a” doit être pris négativement.

Or, pour trouver les points H et K, où C|-— les droites AC: et CB rencontrent GK, il

suffit de faire dans iles À k TE

BE équations de ces droites y = AG,ouy=7%, désignant

par 3 l’inconnue AG. Ces équations deviendront Z—AX, z=—a'(x—p).

La première donne

et la seconde,

Ces valeurs sont celles des abscisses A et Ah, dont la différence Ak — Ah, est Ak ou HK = "1, ligne donnée, On a donc

équation dans laquelle tout est connu, excepté z. On en tire

(p—m)aa

atrau

Si au lieu de donner à HK une valeur déterminée mn,

on eût demandé que HK — AG, ce qui revient à trouver le côté du carré inscrit dans un triangle, on aurait

faut pa'—2z 23 Ne a! ta et on aurait cu . paa nee

20. Pro». Il. Trois lignes qui se con ent deux à deux étant données, trouver % ls angles qu'elles forment, ainsi que la sur- Jace du triangle dont elles sont les côtés.

Soient AB, BC, AC les droites données. Supposons le sommet d’un des angles placé à l’origine des coordonnées, et fai- :

sons

| | Les: ï Ap=m Bp—=n Ag=m' Cq=n', l'équation de AB sera

— n pp = ie ?

celle de AC Lis he et celle de BC n—n J—n— rep (t— m).

Les distances comprises entre les points À et B, À et C, Bet C ou les côtés AB, AC, BC du triangle seruut

AB= VER AC — V7" — n° BC = VAm — my} +(n—n).

Si l'on fait AB — a, AC—b, BC = c, on aura e=m +R B=mi+tnt Ci (m— m'} + (nn) = nm L

m—omn + n+n°—oann, et, par suite,

@ + br 0 = 2 (mm +nn'), ou mm! + nn'=2(a + b?— c°).

Or, le cosinus de l'angle BAC est, d’après (18)

nn 1+

= mm

V'Cra) (+33)

oun +nn'

V' (re +) men)

Substituant dans cette expression les valeurs en côtés

da triangle, on aura définitivement

co AGE Fe 2ab

égalité qui donne la valeur d’un angle au moyen des trois côtés du triangle. On obtiendrait de la même manière, pour les deux

autres angles,

ABC = a He —b 24ac

HAS Qu sut Les 2bc

Pour trouver la surface du triangle, il faut abaisser du sommet À une perpendiculaire AD sur le côté BC cu ce, dont l’équation est

Y mi — mn de

ou (12) LA ' ’

n—n mn — mn

Fm + m—m

O1, la longueur d’une perpendiculaire abaissée d’un point æ, y' sur une ligne

J7=ax+b est, d’après (17), J'—ax —b VA as Jasnous avons Ne n—n FA mn — mn St bé + m— Im mm

Nous aurons donc

m'n— mn

rs nm} + nn) d

on, à cause de c — v{ m—im} +(n—n) ,

Mais en désignant par S la surface du triangle ; on a S—YAD $ BC — — Donc, en substituant la valeur de AD, on à

, NN—= mn

Pour changer cette expression en une autre qui ne dépende que des côtés du triangle, il faut chercher l'expression de #1'n—mn' en fonctions de ces côtés. Or; on a

@ = n° + nr

æ + D? et

= mm + nn,

AP ACT Multipliant les deux premières égalités l’une par l’autre , et retrancharit du produit le carré de la troisième,

on trouve

æ& + b2 —=) PSE .

(m'n—mn} = ab — (

ce qui donne

SVT CFE On peut mettre cette expression sous la forme S = V/5(5—a) (—b)(—0).

en faisant s égal à la demi-somme des trois côtés a, b, c, ou en posant l'égalité s = = (a4-b4c).

o1. Si l'on avait un Ÿ quatrième point D dont les coordonnées fussent m',n’, en désignant par d, d', d" les distances AD, BD, CD de ce

point aux sommets des

trois angles du triangle,

on aurait pat mn = dd (n'—m) + (n'—n) = d° On) + (n'y = d”" en développant les deux dernières égalités, et en substituant les valeurs des coordonnées en côtés, on trouve

mm'+nn" = + =p Lo ]

» b+dbd" m'm'+ nn" = LA es 2 —0#

p etg désignant, pour abréger, les seconds nombres de ces égalités. Dégageant alors #2" et n° on obtient

mr Ap—nq