QE DE

et pour les centaines,

CRE UE ET r 3 À

PT Tv rx V0 D;

Mais les mille: 1000, 2000, 3000, etc, étaient re-

présentés par

MR, 595 356,5 8, 5 CS Mes c’est-à-dire parles mêmes caractères que ceux des unités simples, en plaçant au-dessous, pour les distinguer, un petit trait ou un Zofa.

Avec ces trente-six caractères, les Grecs exprimaient tous les nombres au-dessous de io000 ou d’une myriade, en écrivant les uns à côté des autres les caractères qui représentaient les unités des différens ordres. Par exemple,

991 était exprimé par 3 44, 9999 - cesse... 8,2 18, 7302. ...s.vereere ÊTTB ; 8090 e.e--- eee AS 5 ootissnistomeenndes

D'où il est évident que l’ordre des caractères , ainsi que

AR

leur nombre, n’étaient d'aucun effet pour fixer la valeur des quantités ; car 6 à LGestla même chose que à 15, ou que ol - 0, etc. Cependant, pour plus de régularité on écrivait les caractères selon leurs valeurs, comme nous l’avons fait dans les exemples ci-dessus.

Pour exprimer un nombre quelconque de myriades , les Gress faisaient usage de la lettre M, qu'ils plaçaient

au-dessous des caractères qui désignaient ce nombre de

myriades. Ainsi ’ ° « B n d M, M, M, M, etc.

signifiait

10000 , 20000 ; 30000 ; 40000 , atc.

De cette manière,

1€ d roB

M, représente 37000, et M — 43720000.

Généralement, la lettre M placée sous un nombre le rendait 10000 fois plus grand. Cette notation, évidemment incommode pour les calculs, est employée par Eutocius dans ses Commentaires sur Archimède.

Diophante et Pappus représentent les myriades par

les deux lettres Mv, placées après le nombre; on a alors

æ.My—10000 p.My— 20000, etc.,

et 370000 —àa$.M , 43720000 — 4,708 . ML.

De mème

43728097 est exprimé par à r08.M LE, et 99999999: -........... 0,3 L0.Muo 5 20.

Les mêmes auteurs emploient encore souvent une notation plus simple : ils suppriment le signe M», et se contentent d’un seul point pour indiquer les myriades, Ainsi, au lieu de

d 708.M» Lt , ils écrivent drole, etpour 4,3 48.Mv440..... 03 Lo.6 > La.

Ce dernier nombre devient, en lui ajoutant l'unité, (10000) — 1000000000 , où le plus grand nombre de l’arithmétique vulgaire des Grecs. Cette limite était plus que suffisante pour les besoins ordinaires; car les unités de poids et de mesure de longueur chez les Grecs, tels que le talent et le stade, étaient beaucoup plus grands que notre kïlogramme et que notre mètre. Les géomètres et les astronomes seuls pouvaient donc trouver des inconvéniens à une telle limitation ; mais enfin ces inconvéniens existaient, et ils durent chercher les moyens de les faire disparaitre. Archimède, par exemple, dans son ouvrage de Arenarius , pour exprimer

\a quantité des grains de sable que pourrait contenir

une sphère dont le diamètre serait égal à la distance alors présumée de la terre aux étoiles fixes, trouve qu'il faudrait un nombre qui exigerait soixante-quatre figures dans notre système de numération. Afin de représenter ce nombre, il prend la myriade carrée, ou 100000000 pour une nouvelle unité, et il nomme nombres du second ordre ceux qu’on peut former avec cette unité; ce qui lui donne le moyen d’exprimer les quantités pour lesquelles il nous faut seize figures. Prenant encore (100000000) pour unité, il parvient à exprimer les quantités qui nous demandent trente-quatre figures, et ainsi de suite. De cette manière, il arrive enfin à pouvoir exprimer le nombre en question, lequel, ainsi que nous l’avons déjà dit, demande soixante-quatre figures de notre échelle de numération. Archimède entreprit ce singulier calcul pour réfuter quelques personnes qui, peu instruites de la nature des nombres et des progressions, prétendaient qu'aucun nombre, quelque grand qu'il füt, ne pourrait exprimer la quantité de grains de sable répandus sur les bords de la mer. Pour mieux faire ressortir leur erreur, Archimède démontra qu’en supposant les bornes de l'univers beaucoup au-delà de celles qu'on lui donnait alors, le cinquantième terme d’une progression géométrique décuple croissante était plus que suffisant pour exprimer le nombre des grains de sable qu’il pourrait contenir.

D'après Archimède , tous les nombres se partageaient donc en périodes ou ordres de huit figures , qu’il nommait octades. Cette méthode, comme nous l’apprend Pappus, fut considérablement perfectionnée par Apollonius, qui réduisit les octades en périodes de quatre figures, dont la première est celle des unités, la seconde celle des r1yriades, la troisième celle des doubles myriades , etc. , et ainsi de suite indéfiniment.

Apollonius était donc capable d’écrire tous les nombres qui peuvent être exprimés par notre système de numération. C’est ainsi, par exemple, que sil avait voulu représenter la circonférence du cercle dont le diamètre est une myriade du huitième ordre, il aurait écrit

vrais rbe, y m8. €, AB. vous. Bxuy.y,w2B. 2 v. 3 1415 9265 3589 7932 3846 92643 3832 7650.

Il nous reste à expliquer comment les Grecs représentaient les fractions. Lorsque le numérateur de la fraction était simplement l’unité , ils marquaient d’un petit trait le nombre du dénominateur. Ainsi, par exemple, J' signifiait &, d signifiait £; £ signifiait #7, et ainsi de suite; mais la fraction Æ avait un caractère particulier,

comme &G,ou< c', ou K.

Quand le numérateur était aatre que l'unité, le dénaiinateur se plaçait à côté, un peu au-dessus, comme

nous le faisons pour n6s exposans, Ainsi,

2 D , L RG TS.

1857, représentait 15°*, Où 33

Êrtt, représentait 5°, Où 337 De même,

? Van ris SEE CPS 2633544 C4 27270 R SEE ETES ENTER RES

Cette dernière fraction se trouve dans Diophante, Liv. IV, quest. 46.

Avec un système si compliqué de numération, les calculs étaient longs et pénibles, et il x a apparence que les opérations s'exécutaient presque à force de tête. On pourra se former une idée de leur difficulté par les exemples très-simples que nous allons donner.

ExemPLe D'ApDIT'ox

tiré d'Eutocius, théorème &, sur La mesure du cercle.

OuL . 7 De 847 3921 10 6o 8400 D n. Brua 908 2321

Dans cet exemple, le procédé est assez sensible pour ne demander aucune explication ; on l’exécute exactement comme notre addition complexe de livres, sous et deniers.

ExempLe DE sousrnacriox.

ÆEutocius, théorème 3, sur la mesure du cercle.

d She 93636 B8.7,v 8 23409 Ês. x£ 70227

On peut encore suivre ici l'opération sans difficulté ; en procédant de droite à gauche; et, il est si évidemment plus avantageux de suivre cette marche, qu’on peut difficilement comprendre pourquoi les Grecs avaient adopté la marche opposée. Ils exécutaient toutes leurs opérations de gauche à droite.

ExEmpLeE DE MULTIPLICATION.

y pr MAT 58,9 pv Ter8 L.7v8

Les Grecs écrivaient les produits partiels dass la mul-

AR

tiplication sans aucun ordre apparent ; mais comme chacun de leurs caractères conserve la même valeur, queile que soit la place qu'il occupe, le seul inconvénient qui pouvait résulter de cette méthode était de rendre l’addition finale plus laborieuse. Nous pouvons nous représenter les détails de la multiplication précédente, prise encore dans Eutocius, de la manière suivante :

pXp—= 100X 100 —= 10000 — z.My

»Xp—= 5oX100 — 5000 —:,

7Xp= 3X 100 — 300 =7; :

ensuite,

p Xy— 100X 50 — 5000 —:,

r Xr— So X 50° — 25500 — 89

7Xr= 383X50 — 150—=p; enfin,

s Xy7— 100X 3 — 300=7

» KXy—= 90X 3 — 1950 — pr

7Xr= 3X 3 — 9—4 dont l'addition est 23404 = B.y,v8

Les opérations supérieures, telles que la division et l'extraction des racines, deviennent tellement compliquées, qu'il nous serait impossible d’en faire connaître la marche sans entrer dans des détails beaucoup trop longs pour ce dictionnaire. Delambre a joint a la traduction française des ouvrages d’Archimède un essai sur l'arithmétique des Grecs auxqneis nous renvoyons ceux de nos lecteurs qu’une semblable matière peut intéresser. Ils doivent encore consulter l'histoire de l’astronomie ancienne du même auteur.

Eu prenant pour point de départ le perfectionnement introduit par Apollonius dans la numération grecque , il serait assez vraisemblable de supposer que quelque autre mathématicien, frappé des avantages de la, réduction des périodes de huit chiffres d’Archimède en périodes de quatre chiffres, ait cherché à réduire encore ces dernières, et que par une suite d’améliorations ou soit enfin parvenu à reconnaitre qu’il suffisait de considérer des périodes d'un seul chiffre pour pouvoir exprimer tous les nombres; mais il n’en est point ainsi : notre système numérique n’est pas le résultat d’une semblable transformation successive; car les Grecs ne s’élevèrent jamais au-dessus de la méthode d’Apollonius.

Il est à regretter que nous ne sachions pas à qui nous devons la brillante invention de l'échelle décimale, dont il paraît cependant que l'idée première appartient aux Indiens. C’est en effet de ces peuples que Jes Arabes, qui nous l'ont transmise, déclarent la tenir; et les auteurs qui ont voulu donner une origine purement arabe

AR

à la aumération actuelle se sont manifestement trompés. Sans doute, cette numération fut long-temps familière aux Arabes avant de péuétrer dans nos contrées; mais ce serait faire à ce peuple un honneur qu'il reconnait être dû à un autre, si on lui en attribuait l’invention. A la vérité, Boëce (de Geometria) nous apprend que quelques pythagoriciens employaient dans leurs calculs neuf caractères particuliers, pendant que les autres se servaient des signes ordinaires, savoir les lettres de l’alphabet ; et d’autres auteurs s'appuient sur cette assertion pour revendiquer en faveur des Grecs une priorité démentie par des documens irrécusables. En admettant que l’on connüt dans l’école de Pythagore une manière de noter les nombres semblable à la nôtre, on peut seulement conjecturer que c'était une de ces connaissances puisées chez les Indiens par Pythagore, et qui, transmise par ce philosophe à un petit nombre d'initiés, demeura stérile entre leurs mains.

Les savans arabes sont tous d’accord sur l’origine de leur arithmétique. C’est aux peuples de l'Inde qu’ils ont emprunté, vers le dixième siècle de notre ère, les caractères que nous nommons chiffres arabes , et qu'ils nommaient chiffres indiens. Ces caractères sont à peu près les mêmes que ceux dont nous nous servons actuellement, sauf le zéro, dont le signe est un point (.). Le nom même de l’arithmétique chez les Arabes, hendesséh, signifie la science indienne.

Au nombre des arithméticiens arabes, se trouve le célèbre Avicenne, non moins fameux chez les Orientaux par ses connaissances mathématiques que par sa science médicale. Ce savant, dont le véritable nom est Abou-Aly Ébn-Syna, a composé un grand nombre d'ouvrages dont il sera fait mention à l’article qui le concerne, et dont la plupart sont demeurés inconnus aux Européens. M. J. J. Marcel, ancien directeur de l’imprimerie nationale au Kaire, et membre de la commission d'Égypte, possède dans sa bibliothèque un manuscrit d'Avicenne intitulé : Ressalet fatyhat äbouäb èl-medresséh, fy beyän oussoul él hissdb ou-êl-hendesséh; ce qui signifie littéralement : Lettre qui ouvre les portes de l'académie, par l'exposition des racines du calcul et de l'arithmétique. W a bien voulu traduire, à notre prière, un fragment curieux de ce manuscrit, que nous croyons devoir insérer ici, parce qu'il peut donner une idée xacte de la manière dont les Arabes envisageaient l’arithmétique. C’est le début de l’ouyrage.

» Au nom de Dieu clément et miséricordieux.

» Louange à Dieu, qui a créé l'univers et tous les êtres, qui a réglé par poids et par mesures toutes ses créations ; il a créé à la fois et fait sortir du néant les

AR AM nombres et les choses, le Æmps et l’espace, et les diverses influences des nombres, qui modifient l'espace ct le temps. I a doté l’homme, fils d'Adam, de la science des nombres, afin que par les nombres il püt conquérir la puissance des choses, et qu'il dominât le temps ct l'espace, l'un et l'autre abimes sans limites, lui qui occupe sur cette petite terre un espace si borné, lui dont le temps d'apparition dans cette vie inférieure est resserré dans des limites si étroites, au milieu de la mer immense des siècles se roulant les uns sur les autres, »

» Et que la bénédiction du Dieu très-haut, du Dieu dont le nombre est un, soit sur le prophète chéri, sur Mahomet , dont la mission n’a eu lieu qu’au temps préfixé déterminé irrévocablement par les calculs sublimes de la Providence unique, et dont le nom a clos le #0mbre des prophètes élus de Dieu. »

» Or donc, comprenant qu'à l'insu de l’homme il existe une puissance surnaturelle et indéfinissable dans les nombres, j'ai voulu composer cet opuscule. Que Dieu fasse miséricorde au pauvre auteur de ce petit livre, comme à ceux qui le liront et en feront bon usage. »

» Et d’abord , sache que tout nombre , quel qu'il soit, west autre chose que le nombre Q ou son multiple, plus un excédant; car les signes des nombres n’ont que 9 caractères et valeurs, plus le point (zéro) qui lui-même n’exprime aucun nombre. »

» Si tu parviens à connaître cet excédant et le multiplicateur novénaire , le nombre entier te sera connu.

» — Tout multiple novénaire, si tu additionnes ensemble horizontalement les signes qui le composent, sans faire attention à leur valeur de position, te donnera nécessairement le nombre 9, soit seul, soit extrait du total par la même opération. Ainsi,

18 donne 1 plus 8 égal à 9 274 00-12 PLUS 750010) SO + 3 PIUS Os Q Hess te HIPIUS 0e. 10 Elise ss EC. 5... etc.

2763 donne 2 plus 7 plus 6 plus 3 égal à 18 qui donne 9 3456: .....3 plus 4 plus 5plus6..... 18...5.... 9 17847...... 1 plus plus8 plus 4 plus 7.27 ....... 9

(ASS CODE ClCoo ee ss ee MélCes ses CLCe

» Toutes les fois qu'additionnant ainsi les signes d’un nombre quelconque tu trouveras 9 pour résultat de ton opération horizontale, sois assuré que c'est un multiple de 9; sinon, après avoir extrait ce nombre il te restera un excédant seulement variable de 1 à 8.

» — Tout nombre composé de signes dissemblables change nécessairement de valeur si l’on change l'ordre des signes. Ainsi, 23 devient 32, 164 peut devenir 146, 416, 4613; 614, G4r, etc.; mais sache aussi qu'entre le

premier nombre et le second, le troisième, etc,, il ne peut jamais y avoir pour différence que neuf ou un multiple de 9.»

» Ainsi, 12 retourné fera 21, différence 9

AD Sie de Besse DB. .eorese 27 ce 3 FOIS Q BDs so sseces JJDesscersse 10: + 2 F0 0 Id.......... 537.......,180..20 fois 9 Id. sso B7Bcesces re 2166 24 fOÏs 9

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Dfhesooe er ee 18/OU 9 FOIS 9