OC NO IONTLAON (ONE OR

18. On pourrait obtenir par des transformations semblables, et seulement à l’aide des propriétés fondamentales des factorielles, l'expression théorique primitive d'une foule de produites continues; maïs ces recherches n'ont d'autre utilité que de faire vérifñer à posteriort, peur les exposans fractionnaires de ces factorielles, les constructions qui ne sont réellement démontrées que pour leurs exposans entiers ; car il existe, comme nous allons le voir, entre les factorielles et les fonctions circulaires, des liaisons qui permettent d'évaluer les premières au moyen des secondes, et vice versd.

Jean Bernouilli a découvert le premier la génération des fonctions circulaires en produites continues données par les élégantes expressions

SATA cosæ— (1%) (142 (5) (+2). etc.,

dans lesquelles + est un nombre quelconque et r le rapport de Ja circonférence au diamètre ou le nombre

sine af

3,1415926... Nous en avons donné une déduction tome If, page 548. Pour pouvoir les réduire à des

: mr rapports de factorielles, supposons le nombre x — n°

ce qui leur donnera la fcrme ordinaire des produites continues numériques, savoir :

. M m — sin TM (2n—m onm\ /4n—m 4n-m ré 2n 2n\ 2n 2n qn qn

po RES (=) (+) F") (EE). es 2n n n 5n 5n

Comparant avec la formule générale (r), nous aurons, pour les sinus, en ne tenant pas compte du pre-

: mr mier facteur —, an

d—an—m, b—=2m,.-p—=m, r=In; d'où a 2n . Mr mx (2n—m) (21)... sin — — CS =, an 2n ve] 2

- a (en)" -

Les nombres m et n étant arbitraires, nous pouvons,

en faisant n — —, donner à cette expression la forme

plus simple

(22)... sin mr = mr. Der

et comme pour tout autre sinus, sin fr, nous avons

également se (1—n)" 1 sin fr LE TRS.

on peut en conclure nli m|l sin Mr m 1 .(1—m) sin fr no a"! (in)

Opérant sur le second nombre de cette égalité les réductions suivantes :

u —111 il Mao (arm) 5 sect im)" = 9 LL — n)" CET (a n)"!

ot" — mj—i F= ni nl—1 La 1—mt ni Er m 1 Ta ini =mli —m—n) lt PM DE 1—=m—nll à

nous aurons. définitivement cette égalité de rapports simples

sin mr ml

sin nr

no" "TT à

19. Signalons avant de poursuivre une conséquence remarquable de l'expression (21), Si l’on entire la va-

leur de #7 et qu'on y fasse m— 3 On à, à cause de

Multipliant les deux termes du rapport par ()

et observant, d’une part, que

et de l’autre que

on obtient d'où

valeur que nous avons supposée connue dans ce qui précède, parce que nous l'avons déterminée, tome I, page 213, par des considérations très-différentes, mais dont nous obtenons ainsi une déduction directe.

20. La produite continue du cosinus, comparée avec l'expression générale (r), fournit Les valeurs

ce qui donne

= 2a Mr (n—m)" 05 —— — ee 2n [2 2n

FAG

ou, plus simplement, en faisant n—-, 2?

(24)... cos mr = 2

On tire évidemment de cette valeur pour le rapport de deux cosinus quelconques cos mr, cos nr,

nil wi 1 1 : —) .[-—m COS Mr 2 2 ——— = > ——— COS nr AE

21. Les expressions (22) et (24) du sinus et du cosinus conduisent à celles des tangentes, cotangentes, sécantes et cosécantes, d'où résultent plusieurs rapports très-utiles, dont on peut encore augmenter le nombre en tirant des deux produites continues, dont nous sommes partis, deux autres expressions du sinus et du cosinus. Voici le fait, si l’on met dans ces produites n — m à la place de m»m, comme on a généralement

elles fournissent les deux nouvelles produites continues

EC SR OR À a) (5) (Es (in etc.

La première, en faisant a = n + m, b=en, p—n—m, r=2n, se réduit à

n—m Qn me LL (n=m)r (am) he COS —— on 2h Eu (an)

‘ét la seconde donne, en faisant 4 = m, b =n.