HT
en observant que
Mt
23. C’est principalement de cette expression (25) que Kramp a tiré les résultats absurdes dont nous avons parlé ci-dessus (n° 7); supposant à tort que la décomposition s
El
devait avoir lieu pour toutes les valeurs positives et
négatives de la base 4, et, par conséquent, que le rap-
port des factorielles art a est toujours Tom. 11.
égal à celui des puissances (La), ar, puisqu’en
admettant cette décomposition on a
Hoathoimee, ET
yat GT,
il avait été conduit, à sa grande surprise, à cette évidente fausseté : ù
Le ni
cm?
tang Mr —=
D'après ce que nous avons vu, la seule décomposition générale possible pour les bases négatives est
1e (— a) = a À (— 3) la , de sorte que le rapport des factorielles (4 a)"+",
(— a)" est réellement, pour toutes les valeurs de l’exposant #
CONS PRET LEP EURE TE ee a)" C
SEE Le M 2 2 2|Tm + m m + 1) tang Mr — en) = ele 23 2 ln (—m) m .(—:) Lune
ce qui est parfaitement exact pour toutes les valeurs
de m, et se réduit à
tang Mr
Faisant om— 1 — n, on obtient la nouvelle expression
très-élégante
L a 7-0) PE M 2) EE (28)... tang |) — ee
l ; Soit, par exemple, # — — 3 ct, par conséquent,
n 1 1 Lait — 7, Cas dans lequel on a la valeur connue,
tang 57 = tang 6o° = 1/3; le rapport des factorielles
devient pr Lla (+) | Ô al ie J 2 1 LONPRCE : els | (+5) () or 2e "es 7 1 (i +6) rl = UTE a ainsi ee Cl ut Dpe CRE ; (+3) —\\/2. ol 720 sai 1 i = 9; os PP.
donc
Cette déduction peut servir au besoin de vérification pour toutes les transformations que nous avons employces.
24. Nous venons de voir que les rapports des sinus et des cosinus sont toujours réductibles à des rapports de factorielles. Cherchons maintenant dans quels cas le rapport de deux factorielles peut se réduire à celui de deux sinus. Reprenons l'expression (25) en lui donnant la forme
sin Mr mo IT 1m 1
Sin Nr pi-drimali?
FAC dans laquelle g est un nombre entier quelconque. Décomposant le second membre en facteurs, il deviendra
mil F (m+-q) {+ i—m—n]tl (n +q)— — 4 + ment?
d’où, en passant des exposans
négatifs aux exposans
positifs , sin mr mt. (KE TRE sin Tr n°? qli : (mE D'ou
ou bien encore, en retournant aux accroissemens po-
sitifs
: HS w.
Sin Mr Cr FL (i— —m)" {+mLut
sin nr
La décomposition des deux factorielles non développées peut s'effectuer de deux manières différentes; suivant là première, on a
IL q—1lt + MU men
sin Mr & rt Ces (2
