FONCTIONS ELLIPTIQUES, DANTES

Voyez TRANSCEN-

FONCTIONS SYMÉTRIQUES. (Alg.) La théorie des fonctions symétriques a recu, de son application à la recherche des racines des équations, une importance qui nous engage à compléter ici les notions élémentaires que nous en avons données, tome IT, pag. 515. Désignons toujours, comme nous l’avons fait dans l’ar-

ticle cité, par S,, la somme des puissances

as be en + ds Len p fe, ete.

d’un nombre quelconque de bases a, b, ce, d, ete., inégales et indépendantes entre elles, et représentons par la quantité générale À. la somme des produits différens qu’on peut former en combinant ces bases » à m. Nous aurons, entre les quantités S,, et A, les relations

déjà démontrées..…. (a)

etc. = etc.

au moyen desquelles, connaissant les sommes de produits, on peut trouver les sommes de puissances, et vice versd. Il nous reste à montrer que toutes les fonctions symétriques des bases 4, b, c, d, etc., peuvent être exprimées par les sommes de puissances Si Spo 939 Etc

1. Rappelons d’abord qu’on donne en général le nom de fonction symétrique à la somme des produits différens entre eux et compris sous la forme

abc" d', etc.

qui résultent tant de la combinaison des bases 4, b,

ce, d, etc.,.que de la permutation des exposans p, q, r, etc.

Pour fixer les idées, considérons seulement trois bases

a, b, c; la fonction symétrique à termes d’une seule base et, par conséquent, d’un seul exposant p sera

abc;

la fonction symétrique à termes de deux bases et de deux exposans p,q sera

ab a et + br ef

+ at br at br + bic”;

et enfin la fonction symétrique à termes de trois bases sera

æ@bte + aîbre + a bret — aber + atb' cr + aber.

En général, unnombre quelconque de bases et d’exposans étant donné, on formera la fonction symétrique correspondante en combinant d’abord les bases entre elles pour former des groupes d'autant de facteurs qu'il y a d’exposans, puis on affectera chacun de ces groupes primitifs des exposans en les permutant entre eux de toutes les manières possibles; de cette manière, chaque groupe primitif de combinaison fournira autant de termes différens de la fonction que les exposans admettent de permutations. Proposons-nous, par exemple, de construire une fonction symétrique avec les quatre bases 4, b, ce, d et les deux exposans p, g; les combinaisons 2 à 2, donnant des produits différens des quatre lettres 4, b, €, d, sont

ab, ac, ad, bc, bd, cd,

affectant chacun de ces groupes primitifs des permutations p, q et q, p des deux exposans p el q, nous aurons pour la fonction symétrique demandée

Si l’on demandait la fonction symétrique des quatre mêmes bases a, b, c, d, et des trois exposansp,q,r, il faudrait former toutes les combinaisons 3 à 3 sans permutations des lettres @, b, e, d, ce qui donnerait les quatre groupes primitifs

abc, abd, acd, bed.

Les permutations des exposans étant au nombre de Six, Savoir :

pqrs prq gpr; arp YPY> NP»

le premier groupe fournirait les six termes

@bter + ab'et + atb'e' + aber arbre + aber;

et comme chacun des autres groupes donnerait également six termes distincts, la fonction cherchée se trouverait composée de vingt-quatre termes.

>. Les divers termes qui composent une fonction symétrique ayant tous la même forme, nous pouvons représenter ces fonctions par un quelconque de leurs termes, en lui donnant une caractéristique particulière. Si nous adoptons, par exemple, la caractéristique fs fa désignera toutes les fonctions symétriques dont les termes ne comprennent qu’une seule-base ; fa'b', celles dont les termes comprennent deux bases; fa”bte', les fonctions à termes de trois bases, et ainsi de suite. Chacun des termes pouvant être considéré indifféremment comme le terme général, les quantités fa’bt, [bref, fact, etc., représenteront des fonctions identiques ; mais nous nous réglerons toujours sur l’ordre alphabétique, tant pour les bases que pour les exposans ; cet ordre étant le plus propre pour déterminer immédiate ment la composition de la fonction.

5. Ceci posé, désignons par m le nombre total des bases a, b, c, d, etc., et par n le nombre de ces bases contenues dans chaque terme d’une fonction symétrique, ou, ce qui est la même chose, le nombre des exposans p, q,r, 8, etc., m lettres admettant un nombre de combinaisons # à n représenté par (voy. COMBINAI- F sox, tome I)