Ge Dette

il en résulte que le nombre des termes d’une fonction symétrique à termes de nr bases est égal à

le nombre total des bases étant m, et tous les exposans étant d’ailleurs inégaux.

4. Il est plus simple de désigner les fonctions symétriques par le nombre des exposans, puisque ces exposans déterminent la construction de leurs termes; nous nommerons done, dans ce qui va suivre, fonction symétrique à n eæposans la fonction composée de termes de , facteurs, affectés chacun d’un exposant différent.

5. Lorsque plusieurs exposans sont égaux, le nombre total des termes d’une fonction symétrique n’est pas le même que dans le cas de tous les exposans inégaux. Par exemple, la fonction symétrique à deux exposans inégaux, p et q, des trois bases a, b, ce, qui est généralement

il ab ab HE @ et br et, + a" bat Lber,

diffère essentiellement de ia fonction symétrique à deux exposans égaux

CE br ar cœ— bre,

parce que, d’après la définition même (1) des fonctions symétriques, ces fonctions ne se composent que des seuls produits différens qu’on peut former par la combinaison des bases et la permutation des exposans.

6. 11 est toujours facile de trouver le nombre des termes d’une fonction symétrique à plusieurs exposans égaux, en supposant d’abord tous ces exposans inégaux, puis en divisant le nombre des termes que donne cette supposition par le nombre des permutations qu'admettraient les exposans égaux s’ils étaient inégaux. Observons, en effet, que, dans le cas particulier de trois exposans inégaux, P; 4, Y, la fonction symétrique, quel que soit le nombre des bases, se compose de termes primitifs de la forme

a bc",

dont chacun produit cinq autres termes a° bc, atbe', atb"c, a be,

par la permutation des exposans. Or, si deux de ces exposans deviennent égaux, g etr, par exemple, les permutations différentes se réduisent à

et chaque groupe primitif de bases abe ne donne plus que trois termes distincts

le nombre total des termes est donc alors la moitié de ce qu'il était dans le premier cas. De même, si les trois exposans p, q, r devenaient égaux, les six termes résultant de chaque groupe primitif de bases abe deviendraient pareillement égaux; de sorte que, dans ce dernier cas, le nombre des termes de la fonction symétrique ne serait plus que le sivième du nombre des termes qu’elle avait lorsque tous les exposans étaient inégaux. On voit aisément que l'égalité d’un nombre quelconque d’exposans fait disparaître de la fonction, pour chaque groupe distinct de bases, autant de termes que ces exposans admettaient entre eux de permutations, et, par conséquent, que le nombre des termes de la fonction réduite est égal au nombre des termes de la fonction primitive, divisé par le nombre des permutations des exposans égaux.

En général, si la fonction symétrique des m bases a,b,c, d, ete., a y exposans égaux à p, y égaux à q, £ égaux à r, etc., le nombre total des exposans étant toujours #, le nombre de ses termes sera

__ m(m—:) (m—2) (m— n +1) Ilan ex taie maire etes

Soit, par exemple , à déterminer le nombre des termes de la fonction symétrique représentée par le terme

fe b? c? de,

et dans laquelle le nombre total des bases est 6, faisant m—6, n—=5, p=3, g=92, T1; nous au-

général

TONSp— 1,»—2,E#—2, et, par suite,

sera le nombre des termes demandé. Si tous les expo-

sans étaient égaux, c’est-à-dire si le terme général était

LA | æb'ed'e,

quel que soit p, différent de o, le nombre des termes de la fonction se réduirait à

7. Ce qui précède fait connaître ce que devient une fonction symétrique quelconque lorsqu'on introduit dans ses exposans des relations d'égalité. Si l’on fait,

par exemple, p —q, dans la fonction ....(b)

ab get a di + Bret + br di + cd + as br — atcr + as dr Æ bre bd + cd,

elle prend la forme

a br + æ@ €? + a d + me +- bd + ed?

+ @b + are + a de + ber + bd + cd,

qui renferme deux fonctions symétriques égales entre elles, et dont le terme général est ar br; ilest donc visible ici que l'hypothèse p — q réduit la fonction faf bt à »far br. Or désignons par P le terme général d’une fonction symétrique quelconque, par P' ce que devient ce terme général lorsqu'on rend égaux entre eux quelques-uns de ses exposans inégaux, et représentons par M et M'les nombres respectifs des termes des deux fonctions symétriques [P, fP'; M étant nécessairement un multiple de M', faisons de plus M — M'Q. Observons maintenant que l'hypothèse qui transforme le terme général P en P' laisse subsister tous les termes de la fonction fP, qui cesse seulement d’être symétrique, parce que le nombre de ses termes différens se trouve réduit dans le rapport de Q à 1, ou, ce qui est la même chose, parce que chaque terme différent se trouve répété Q fois; mais la somme des termes différens est précisément la fonction symétrique fP'; donc l'hypothèse qui transforme le terme général P en P' réduit la fonction symétrique fP à QSP’. Ainsi, pour trouver ce que devient une fonction symétrique fP, lorsqu'on y rend plusieurs exposans égaux, il suffit de chercher le facteur Q égal au nombre des termes de [P divisé par le nombre des termes de SP’.

Proposons-nous, par exemple, de déterminer ce que devient la fonction symétrique ...(c),

fe b'eïd'e,

quand on y fait g—p. Le nombre des termes de cette fonction est, m désignant comme ci-dessus (e) le nombre total des bases,

M (m E1) (nm — 2) (m—3) (m— 4) 1.2 É

L'hypothèse g— p donne au terme général la forme @ b' er d'e, ce qui conduit à la fonction symétrique

fa bred'e,

dont le nombre des termes est

mm (mn — 1) (m— 2) (m — 3) (m— 4)

Ainsi

La fonction symétrique proposée se réduit donc à 3 far b° cr d'e par la valeur p donnée à q.

Si dans la même fonction symétrique (ec) on faisait p—4q—7#, ce qui donnerait au terme général la forme æbaæde, on aurait pour le nombre des termes de fæ bæde

TOOLS or 1”

c’est-à-dire que la fonction (ec) deviendrait dans ce cas

—— —— æbæde.

Enfin, dans la supposition de p—q=—r—1, la fonction (ec) se réduirait à

8. L'égalité à zéro d’un ou de plusieurs exposans d’une fonction symétrique réduisant à l'unité tous les facteurs affectés de ces exposans, introduit encore des termes égaux dans la fonction, qui cesse conséquemment d’être symétrique, tout en conservant le même nombre de termes. Si l’on fait, par exemple, g —0 dans la fonction symétrique (b) du n° y, elle devient

a + a + ar + br HE Dr + er Lure +de +de,

s[e+u+e ta].

Une marche semblable à la précédente va nous faire trouver dans tous les cas ce que devient une fonction symétrique par l’évanouissement de quelques-uns de ses exposans. Désignons toujours par P le terme général d’une fonction proposée, et par M le nombre de ses termes : soit P’ ce que devient P par l’évanouissement d’un nombre quelconque de ses exposans ; soit M' le nombre des termes de la fonction symétrique fP”, et soit enfin M— M'R. La fonction non symétrique dont le terme général est P° étant composée, comme [P;

de M termes parmi lesquels M' seulement sont différens entre eux, chacun de ces derniers doit évidemment se trouver répété R fois, c’est-à-dire que la fonction symétrique fP se réduit à RP" par la valeur o donnée aux coefliciens.

Supposons, pour exemple, que l’on fasse p—0 ct g= 0 dans la fonction symétrique

fe bretd'ef,

dont le nombre total des bases est 12. Cette supposition réduit le terme général de la fonction à la forme d'ef; ou, pour conserver l’ordre alphabétique, à la forme a" b°e, et la fonction se réduit elle-même à

R fa b'c.

Il s’agit de trouver la valeur de R. Le nombre des termes de la fonction proposée est, d’après (7),