Le frottement des surfaces courbes les unes sur

FRO

les autres, et particulièrement celui des tourillons des axes tournans sur les crapaudines qui les supportent, quoique s’effectuant d’une manière très-différente du frottement des surfaces planes, puisque les diverses parties du tourillon viennent s'appliquer successivement sur le même point des crapaudines, paraît encore soumis aux trois lois énoncées. Voici les résultats moyens des expériences de M. Morin.

Indication Rapport des du frottement surfaces en contact. à la pression.

Bois sun Bo1s. Surfaces mouillées et graissées. 0,07

Bois sur méraL et vice versd. Surfaces enduites

de graisse renouvelée. . . . . . . . . . . 0,05 MIÉDÉRISURIMERAT A NSEC.. 2... .U.. 0,20 — Surfaces mouillées et graissées. . . . . . . 0,16 SAN AGESIONCEUEUSES. ee ne .- - - -.- O LL — Surfaces enduites de graisse renouvelée. . 0,054

D’après Tredgold, le coeMicient du frottement pour les essieux des voitures, avec les enduits ordinaires, varie de ‘}, à !/,, ; C’est moyennant 0,1.

Examinons maintenant l’emploi de ces nombres.

8. En vertu des lois admises, l’évaluation de la résistance due au frottement d’une surface sur une autre se réduit à la détermination de la pression exercée par cette surface; car, la pression étant connue, son produit par le coefficient du frottement relatif à la nature Si l’on sait, par exemple, qu'une surface de fer glissant sur

des surfaces donne la grandeur du frottement.

une surface de bois de chêne, enduite de savon sec, exerce sur cette dernière une pression équivalente à 5 kilogrammes, on aura pour la valeur du frottement 5° X 0,214 — 1,07, parce que le rapport du frottement à la pression est, dans ce cas, 0,214, d’après le deuxième tableau.

La règle générale pour obtenir la pression consiste à décomposer toutes les forces qui agissent sur le corps frottant en leurs composantes parallèles et perpendiculaires à la surface de contact : la résultante de toutes les composantes perpendiculaires est évidemment la pression normale du corps, et c’est cette résultante qu'il faut multiplier par le coefficient du frottement, correspondant aux circonstances particulières de la nature des surfaces et de l’enduit qui les recouvre. Les questions suivantes vont éclaircir cette théorie.

9- Considérons en premier lieu un corps posé sur une surface horizontale MN (pl. XI, fig. 9), et sollicité par une force agissant dans une direction GQ inclinée à l'horizon. Les seules forces du système sont ici la pesanteur dont la résultante, que nous représenterons parla partie GP de la verticale, est le poids du corps,

FRO 189

et la force de traction, que nous représenterons par la partie Gb de sa direction. Or, en décomposant Gb suivant sa composante verticale aG et sa composante horizontale Ge, aux deux forces du système, on peut substituer les trois forces GP, Ga et Gc; et comme Ga agit dans un sens opposé à GP, la résultante de ces deux forces est GP — Ga; c'est donc simplement cette résultante qui est détruite par la résistance du plan MN, et, par conséquent, la pression exercée par le corps G sur ce plan est égale à GP — Ga. Ainsi, dans le cas que nous examinons, on obtient la pression en retranchant du poids du corps la composante verticale de la force qui le sollicite.

Nommons P le poids du corps, Q la force de traction, et & l'angle d'inclinaison bGe que sa direction fait avec l’horizon ; la composante verticale de Q sera

Ga— Gb. cos aGb—Q . sin»; la pression sera exprimée par P—Qsinc,

; et, en désignant par f le eoefficient du frottement, on aura, pour l'intensité de ce frottement,

(P—Qsinx) f.

La seule quantité variable dans cette expression étant l'angle d’inclinaison « de la force Q, on voit que la pression est d’autant plus petite que cet angle est plus grand. Lorsque la direction de la force est horizontale, æ est nul et le frottement est simplement Pf. Si la force était inclinée au-dessous de l'horizon, « deviendrait négatif et le frottement serait

(P+Qsin«)f,

c’est-à-dire qu'il augmenterait avec l’angle d’inclinaison.

Dans le cas d'équilibre, la composante horizontale Ge de la force Q, dont la valeur est Q cos x, devant être égale à la résistance du frottement, on a l'équation générale de condition

Qcosæ— (P—Q sin x) f; d’où l’on tire, pour la valeur de Q,

Pf De Ÿ cosa + fsina

Ainsi, dans ce cas d'équilibre, la force Q ne varie qu'avec son inclinaison.

Pour trouver la valeur de x qui rend Q un maximum, il faut prendre la différentielle de Q par rapport à « et

l’égaler.à zéro. On trouve de cette manière

12 sin & Ê da f: COS æ. dx)

dQ — GE RL D RS ; (cos & — f'sin &)?

190 FRO

et en égalant à zéro — sin «+ fcosa— 0;

d’où

sin & .

me tang «a —f}; c’est-à-dire que Q est un maximum lorsque la tangente de l’angle d’inclinaison est égale au rapport du frottement à la pression, ou, ce qui est la même chose, lorsque linclinaison est égale à ce qu'on nomme l'angle du frottement (2).

10. Soit maintenant le corps placé sur un plan incliné AB (pl. XI, fig. 10), faisant un angle BAG — « ayec l'horizon, et soit GQ la direction de la force de traction, dont nous désignerons par £l’angle QGd qu’elle fait avec la direction AB du plan. Prenant pour représenter le poids du corps, la verticale GP , et, pour représenter l'intensité de la force, la partie GQ de sa direction, si nous décomposons GP en deux forces, lune Gb perpendiculaire, et l’autre Ga parallèle au plan incliné, et que nous décomposions de même GQ en deux forces, l’une Ge perpendiculaire, et l’autre Gd4 parallèle au plan, la pression du corps sur le plan sera évidemment égale à la différence des deux composantes perpendiculaires Gb et Ge qui agissent en sens opposé. Or, nous avons

Gb — GP. cos PGb — P cos «, Ge — GQ. cos 9Gc=—Q sin £;

Ainsi la pression est représentée par P cos 4 — Q sin LB» et le frottement par... (a)

(P cos — Q sin B) f;

f désignant toujours le coeflicient du frottement.

S’il n’y avait pas de frottement, on n’aurait à considérer, pour l'équilibre ou le mouvement du corps, que les deux composantes Gd et G@ qui agissent en sens opposé ; car la force de pression Gb — Ge est détruite par la résistance du plan; mais il est évident que la force Gd— Q cos G ne peut faire monter le corps qu’en surmontant d’une part la force opposée Ga — P sin x, et de l’autre le frottement (a) ; on a donc, dans le cas d'équilibre... (b),

Q cosp— (P cosa— Q sin B)f+P sin «,

équation qui donne, pour la valeur de Q,

P (sina—+ f cos «) cosB—+fsns

(Qi

L’angle « étant invariable, la force Q ne varie qu'avec son inclinaison 8, et l’on trouve comme ci-dessus

FRO

qu’elle est à son maximum de grandeur, lorsque langlef est égal à l'angle du frottement.

Si la direction de la force Q est parallèle au plan, on a 6— 0, et l’équation d'équilibre se réduit à

Q=P (sine + fcos «).

Lorsque la force agit au-dessous de la direction du plan, il faut considérer l’angle 8 comme négatif, ce qui donne

De P (sin & + f cos c)

cosB—fsins ke

En donnant à £, dans ce cas, la valeur de l'angle du frottement, c’est-à-dire en faisant tang 8 — f, d’où

cos B— f sin f —0};

on voit que la force devient infiniment grande, ce qui signifie que, sous un tel angle, quelque grande que soit cette force, elle ne peut jamais être capable de faire monter le corps.

Enfin, dans le cas où la force serait horizontale, on aurait, dans la derniére formule, 6 — +, ce qui la rendrait

Nous devons faire observer qu’il se présente deux cas très-distincts dans l’équilibre du plan incliné, savoir : celui où la force doit faire monter le corps, et celui où elle doit seulement l'empêcher de descendre. Dans le premier, auquel se rapportent toutes les formules précédentes, le frottement agit en sens opposé de la force; mais, dans le second, il concourt avec cette force pour empêcher le corps de glisser, de sorte que l'équation d'équilibre est réellement alors:

Q cos B—P sin « — (P cos « — Q sin ) f.

Mais cette considération n’entraîne aucune difficulté, et nous ne nous y arrêterons pas.

1r. Le frottement des axes tournans sur leurs supports, et celui des poulies sur leurs chapes, peuvent s’évaluer de la même manière; pour en faire comprendre la théorie sans recourir aux considérations analytiques, qui laissent du vague dans l'esprit des personnes quin’en ont pas l'habitude, supposons quel’axe À de la poulie lui soit adhérent (pl. IE, fig. 11), et qu'il tourne sur chape EDF. Cette poulie est chargée de deux poids P et Q, dont le second Q est le plus lourd et doit emporter le premier.

Par l'effet du mouvement de rotation, le poids moteur Q forcera l’axe de rouler jusqu’en D; et si la ré-

FRO

sistance du frottement est équivalente à l'excès de Q sur P, l’équilibre de toutes les forces du système s’établira au point D. Dans ce cas, menons la droite MN tangenteà la circonférence de l’axe et à celle du palier à leur point commun D, nous pourrons considérer ’élément de la circonférece du palier en D comme un petit plan incliné dont la direction MN fera avec la ligne horizontale BC un angle NDC que nous désignerons Par &.

Observons que l’axe A supporte la pression des poids Pet Q, dont la résultante P —Q — R est une force Yerticale qui passe nécessairement par le point D, où se détruisent toutes les forces de système. Représentons celte résistance par DR ;, et décomposons-la perpendiculairement et parallèlement à la direction MN du plan incliné, la composante perpendiculaire Db sera la pression normale exercée en D sur le palier, et détruite par sa résistance; la composante parallèle De sera la force qui ferait glisser le point D sans la résistance du frottement ; elle sera donc égale à cette résistance. Or la composante perpendiculaire ou la pression normale a pour expression

DR. cos bDR =R . cos &.

Ainsi la résistance due au frottement sera fR:cos«, [ étant le coëfficient du frottement : où bien encore KR. cos cDR — R. sin. «,

puisque cetté dernière quantité est la valeur/de la composante De égale et opposée au frottement. Nous avons ainsi

[R cos « —Rsinz, d’où [= tang &;

ce qui doit être nécessairement, puisque la tangente de l'angle d’inclinaison du plan est équivalente au coefi-

| eïent du frottement, lorsque la résistance de ce frotte- , ment estla seule force qui empêche le corps de glisser

sur le plan incliné. Mais, en vertu des relations connues,

tans © 7 Sin 9 — ———7 LE ie Fa Try COS » Vi tang Ps

nous ayons

sin & Mrs COVER

FRO 191

donc la résistance du frottement exercé au point D par suite de la pression R est... (c)

Re Vi +f

laquelle doit être introduite dans le système avec les autres forces, lorsqu'il s’agit de détermiuer les conditions d'équilibre.

Pour obtenir maintenant l'équation d'équilibre, prenons le centre de l’axe À pour celui des momens (voyez ce mot); désignons par r le rayon de la poulie, par p celui de l’axe, et faisons, pour abréger,

ft a Virf

en observant que dans la pratique on peut presque toujours supposer f—f". Le moment de la force P sera Pr: celui de la force Q, Qr; celui de la résistance du frottement, f'Ro, et comme cette résistance agit avec la force P dans un sens opposé à Q, nous aurons... (d)

Q—= Pr TRy,

ou

QPr Er (PO),

à cause de R — P + Q.

Dégageant Q de cette équation, il viendra... (e)

Q —P. he, dans laquelle il n’y a plus qu’à donner des valeurs particulières aux quantités P, r, 5 et f. Soit, par exemple, le poids à soulever P — 925 kilogrammes, le rayon de la poulie r — 24 centimètres, celui de l'axe p—=6 centimètres. Si l’axe et le palier sont en fer, etqueles surfaces soient simplement onctueuses, nous aurons, d’après les expériences de M. Morin, f — 0, 14, et, par suite,

: 0,14 SNS — — 0,1986.

Î —— ———__——— Vi + (0,14)?

Substituant ces nombres dans (e); nous obtiendrons

rh 24 +6 DC 0,13586 * 24—6 X 0,1586

c’est-à-dire que Q devrait peser 26°, 794 pour être susceptible d'élever le poids P pesant 25 k. La résistance due au frottement est donc, dans ce cas » égale à. 26",794 — 25 — 1,794.

Nous n'avons point tenu compte, dans cet exemple, de la résistance. qui provient de la corde, et qui

192 FRO exige encore un accroissement dans le poids moteur. ( Voyez Corne, tome.)

Si l’axe de Ja poulie était fixe, les mêmes considérations conduiraient à la même expression (ec) du frottement; mais il faudrait concevoir l'équilibre établi autour du centre du trou de la poulie, et faire entrer le rayon de ce trou dans l’équation d'équilibre. Le frottement du levier sur son axe de suspension, et en général tous les frottemens relatifs aux axes tournans, dépendent de cette expression (c), en faisant R égal à la résultante de toutes les pressions. ( Voy. Treuiz, t. IL.)

12. Il existe une autre espèce de frottement qu’on nomme frottement de roulement ou frottement de la seconde espèce, c’est celui qui a lieu lorsqu'un corps rond roule sur une surface, comme un cylindre sur un plan, ou une roue de voiture.sur le terrain. Ge frottement est en général très-petit comparativement à celui de la première espèce (voyez Roucemenr) ; car lorsqu'un cylindre chemine en roulant sur un plan résistant et bien uni, les axes des divers points de sa surface se développent sur celle du plan, et le frottement est presque insensible; aussi peut-on le négliger sans inconvénient dans tous les calculs relatifs aux corps durs et solides qui entrent dans la composition des machines; mais il est nécessaire d'y avoir égard dans les questions relatives à la locomotion des voitures , car le frottement des roues sur le terrain produit des résistances d'autant plus grandes que le terrain est plus raboteux et surtout plus compressible. On a reconnu , par exemple, que sur un chemin horizontal bien pavé le tirage est entre !},, et 1/9 de la charge; tandis que sur un terrain sablonneux, ou sur des cailloux nouvellement placés, il s'élève jusqu’à ‘},. Quand le terrain est mou et que les roues s’y enfoncent, il se produit encore de nouvelles résistances, dues à la nécessité de relever à chaque instant la voiture sur des plans inclinés. Nous allons examiner quelques-unes des circonstances du mouvement des voitures.

13. Soit ABCDR (pl. II, fig. 12), une roue placée sur un plan horizontal MN, À son essieu , et AF la direction de la force appliquée à cet essieu pour lui imprimer un mouvement de translation. Le poids de l’essieu, y compris tout celui dont il peut être chargé, pèse en D sur la surface intérieure du moyeu ; ce même poids, plus celui de la roue, pèse en R sur le plan, au point de contact de la roue. Concevons maintenant que la force de traction fasse mouvoir l’essieu en avant : la pression au point R empêchant la roue de glisser sur le plan, elle se met à tourner, et chaque point de sa circonférence vient s'appuyer successivement sur un point du plan MN pendant que l’essieu marche parallèlement à lui-même. Abstraction faite du frottement de roulement, le moteur n’a donc à vaincre que le

FRO

frottement de l’essieu sur lequel il agit à l’aide d’un levier du second genre, car on peut considérer une roue comme un tel levier : R est le point d’appui, la puissance est appliquée en À, à l’extrémité du rayon AR de la roue, et la résistance en b à l'extrémité du rayon de l’essicu. Ainsi, en n'ayant égard qu’à la résistance du frottement de l’essieu, on peut admettre que, dans le cas d'équilibre, le rapport de la force tractrice à la résistance est égal au rapport du rayon de l’essieu au rayon de la roue ; d’où l’on voit qu’une roue est d'autant plus avantageuse au moteur que ce dernier rapport est plus petit, c’est-à-dire qu’on peut diminuer de moitié la force nécessaire pour mettre une voiture en mouvement, en doublant le rayon des roues sans changer celui des essieux.

Ce principe se trouve confirmé, pour les chemins de fer, par les expériences de Tredgold, qui a constamment trouvé que, sur de tels chemins, la force qui peut mettre un chariot en mouvement, la charge et les essieux étant les mêmes, est en raison inverse du diamètre des roues. Ainsi, désignant par Q la résistance du frottement à l’essieu, par p le rayon de l’essieu, par r celui de la roue, et par P la force motrice, on aurait, sur un chemin horizontal,

P—Q = mais la résistance du frottement à l’essieu est, comme

nous l’avons vu (11), égale à

- HORS , ou simplement à Rf,

Ver

R désignant la résultante de toutes les forces qui pressent l’essieu contre le moyeu, donc... (f)

Cette formule, dans laquelle on doit faire R égal à la partie du poids total du chariot supportée par une seule roue, donne le moyen de calculer la force de traction nécessaire pour tenir le chariot en mouvement sur un chemin de fer horizontal, bien uni. On peut également s’en seryir pour évaluer approximativement, par COmMparaison, la résistance du roulement sur les autres chemins. Déterminons, pour exemple, la force de trac-

tion qui tire les chariots de marchandises sur les che-.

mins en fer de l’Angleterre; ces chariots, dont le poids total est ordinairement de 5 tonneaux anglais (5080 kil.), sont montés sur quatre roues égales, d’un rayon de 1570 millimètres ; le rayon des essieux est de 76 millimètres; la charge étant également répartie, cheque essieu porte 2540 kil. et produit conséquem-

re

FRO

ment sur chaque roue une pression moyenne de 1270 kil.; prenant le coellicient du frottement 0,1, nous aurons donc

substituant ces valeurs dans (f), nous obtiendrons

chaque roue, en particulier, exige donc une traction L , .

de 5 ,04, et par conséquent la force totale de traction que doit exercer constamment le moteur pour entretesu € k + nirun mouvementuniforme est de 4 X 7 ,04—28 ,04; le rapport de la force à la charge est ainsi

Le PQ 508o 180

L'expérience a fait connaître que ce rapport varie de

dues. do Auir —— à ——, etl’on aadopté —- comme terme moyen; 180 240 200

mais, dans toutes les expériences faites à ce sujet, on a oublié d'indiquer le rapport du diamètre de l’essieu à celui de la roue; en sorte qu’on ne peut encore rien établir de suffisamment exact.

Le frottement de roulement devient très-sensible

FRO 193

sur les chemins de fer lorsqu'ils ne sont pas entretenus avec beaucoup de soin. M. Palmer, l'inventeur des chemins à un seul rail, a constaté, sur le chemin à ornières plates de Cheltenham, que la poussière seule

produit une résistance assez grande pour exiger une

augmentation de 19 1/2 pour 100 de force tractrice. L’inégalité dans les joints produit une autre espèce de résistance qu’on peut comparer à l'effet d’un obstacle placé sur un chemin ordinaire, et c’est particulièrement dans ce cas que les grandes roues, quel que soit d’ailleurs le rapport de leurs diamètres aux diamètres de leurs essieux, sont plus avantageuses que les petites; ce qui ne doit pas s'entendre, cependant, d’une manière absolue. (Voyez Roue. )

14. Le grand avantage des chemins de fer consiste uniquement dans la diminution du frottement de roulement, ce qui permet de traîner sur ces chemins des charges dix à douze fois plus fortes que sur une route ordinaire avec le même effort de traction; mais cet avantage n’a réellement lieu que sur des plans horizontaux; il diminue rapidement , pour les montées, lorsque l'inclinaison d’un chemin de fer dépasse de très-petites limites. Malgré tous les travaux faits jusqu'ici , le problème de la locomotion est à peine ébauché sous le rapport pratique comme sous le rapport théorique, et nous pensons qu'il y a beaucoup à rabattre dans les prétentions respectives des partisans et des adversaires des chemins de fer.

GÉOMÉTRIE AUX TROIS DIMENSIONS (Analyse).

Les grands progrès de la mécanique rationnelle datent de l'application qu’on a faite à cette science de la géométrie analytique à trois dimensions. C’est alorsseulement qu’on apu considérer les corps comme se mouvant d’une manière quelconque dans l’espace, et s'élever aux équations générales du mouvement. Il est donc indispensable aujourd’hui, pour pouvoir aborder l'étude des grands traités de mécanique, de posséder une connaissance suflisamment approfondie de cette géométrie, qui repose, d'ailleurs, sur les mêmes principes que la géométrie analytique à deux dimensions , et n’offre ; par elle-même, aucune difficulté sérieuse. Nous allons compléter ici les notions données, tome TI, au mot APPLICATION, du moins dans tout ce qui est nécessaire à l'intelligence des divers articles de mécanique conte aus dans ce dictionnaire.

Tom. ur.

1. Pour déterminer la position d’un point dans l’espace à trois dimensions, on le rapporte à trois plans fixes et connus de situation, assujétis à la condition de se couper en un même point, Le plus ordinairement ces mois plans sont rectangulaires, c’ést-à-dire que deux quelconques d’entre eux sont perpendiculaires sur le troisitme, Dans ce dernier cas, que nous considérerons d’abord, si l'on mène du point donné une perpendiculaire à chaque plan, la position du point sera fixée, comme nous l'avons yu, tome Ï, page 110. Sans revenir sur ce que nous ayons déjà suflisamment expliqué, rappelons les dénominations convenues.

Soient ZOX, ZOY, YOX (PI..XE, fig. 25) les trois plans rectangulaires, et O le point commun des intersections.de ces plaus, qu'on nomme plans coordonnés ; soit À un point quelconque situé dans l'espace, Ap la perpendiculaire menée de ce point sur le plan ZOX,

An la perpendiculaire menée sur le plan ZOY , et Am la perpendiculaire menée sur le plan YOX. Ces trois perpendiculaires seront les coordonnées du point A.

Les piedsp, n, m, ou les intersections des perpendiculaires avecles planscoordonnés, sont les projections du point A sur ces plans. Si, de chacun des points p, n,m, et dans le plan où il se trouve, on mène des parallèles aux deux autres coordonnées, on formera le parallélipipède rectangle næ, dans lequel on aura

An—Ox, Am— Oz, Ap—0Oy.

C’est donc absolument la même chose de connaître les trois perpendiculaires An, Am, Ap, ou les trois portions correspondantes Ox, Oy, Oz des intersections des plans coordonnés. En effet, lorsque ces trois portions sont données, il suffit de mener par chacune de leurs extrémités æ, y, z un plan perpendiculaire aux deux plans coordonnés dans lesquels elle se trouve : la commune intersection de ces plans perpendiculaires est nécessairement le point A.

Les intersections OX, OY, OZ des plans coordonnés se nomment les axes des coordonnées, et, particulière ment, OX l’axe des æ, OY l'axe des y, et OZ l’axe desx, parce qu’on désigne généralement par les lettres æ, yet x les droites Ox, Oy, Oz respectivement égales aux coordonnées An, Ap, Am, et qu'on donne aussi le nom de coordonnées à ces droites. On voit aisément que Ox est la distance An du point A au plan ZOY, comptée sur l'axe OX ; que Oy est la distance du même point au plan ZOX, comptée sur l'axe OY; et enfin que Am est sa distance au plan YOX, comptée sur l'axe OZ. Désignant généralement ces trois distances par a, b,c, ona Ox=a, Oy —b, Oz —c, ou, plus généralement,

Ces trois égalités se nomment les équations du point. Nous avons vu (tome Ï, page 111) comment les signes des quantités @, b, c déterminent celui des huit angles trièdres formés par les plans coordonnés dans lequel se trouve le point.

On désigne, pour abréger, chaque plan coordonné par les axes qu'il renferme; ainsi le plan ZOX cest dit plan des æz ; ZOY est le plan des yz, et XOY le plan des æy.

2. Nous devons faire observer deux particularités importantes :

1° Un point quelconque À de l’espace a toujours deux coordonnées de communes avec chacune de ses projections ;

2° Deux projections d'un méme point ont toujours une coordonnée commune,

En effet, rapportant chaque projection aux deux axes

qui se trouvent dans son plan, on voit immédiatement que les coordonnées du point» sont Oz et Oy, ou z et y, celles du point p, æetz, et celles du point m, æ et y. Quant à la seconde proposition, on voit également que les deux projections m et n ont le même y— Oy; les deux projections n et p, le même z—Ozx, et les deux projections ® et p le même æ— Cx.

Ces relations nous montrent la liaison qui existe entre les projections et les coordonnées, et expliquent pourquoi il ne faut que deux projections pour déterminer un point dans la géométrie descriptive (voyez tome I, page 455), tandis qu'il faut trois coordonnées dans la géométrie analytique. En effet, pour fixer analÿtiquement la position de la projection p sur le plan æz, il faut deux équations telles que æ—a,z=—=c; et, pour fixer la position de la projection m sur le plan æy, deux équations æ—4@, y —b; mais, d’après la seconde proposition, on doit avoir 4 — d ; ainsi la connaissance des deux projections, équivaut à celle des trois équations T4; y—=Vb; cc.

5. Nous rappellerons encore que, lorsque dans les équations générales du point,