CR NES

une des quantités a, b, e est zéro, cette circonstance indique que le point est situé dans le plan des deux autres coordonnées. Dans le cas, par exemple, de

— 0er AUDE

le point est dans le plan des æy. Si l’on avait à la fois y—0 et z;—0, l'équation æ— «à appartiendrait à un point placé sur l’axe des æ. Enfin les trois équations æ—0,y—0, 3— 0 appartiennent à l’origine O des plans coordonnées.

4. Les positions respectives de deux points étant déterminées par leurs trois coordonnées, il est toujours facile de calculer la grandeur numérique de leur distance, quand la grandeur des coordonnées est donnée en nombres. Soient (PI. XI, fig. 14) À et B, deux points dont les coordonnées sont : pour le point A,

On=x', an—=y,) Aa—2; et, pour le point B, Om—zx", Bm—y', Bb—7%.

Joignons les deux points par la droite AB, ct menons Bp parallèle à ab; le triangle ABp étant rectangle, nous

aurons

= [nr +p vf +e-rr |

GEO Menons encore bg parallèle à OX, le triangle rectangle abq nous donnera

a = ap + bg = (y — y") + (x —2);

donc... (a) an |[(—") +) +(@-x>]

Si le point B coiïncidait avec l’origine O, ses coordonnées seraient nulles et l’on aurait

C’est la valeur de la diagonale d’un parallélipipède rectangle dont les trois arètes sont æ', y', 3.

5. Des LIGNES DROITES DANS L'ESPACE. La position d'une ligne droite dans l’espace est déterminée lorsqu’on connaît deux de ses projections sur les plans coordonnés. Si ab (PI. XIL, fig. 3) est la projection de la droite AB sur le plan æ3 et a'b' sa projection sur le plan yz, les équations respectives de ab et de «’b', chacune dans leur plan, seront les équations de AB (tome I, page 111) dans l’espace. Or, la forme générale des équations de ab et de a'b' étant æ — az + b, y = cz — d, nous avons, pour les équations générales d’une droite dans l’espace... (b)

ai tb, y—=c: <td;

c’est de ces deux équations qu’on peut déduire toutes les propriétés des lignes droites.

6. Observons d’abord que, pour déterminer le point où la droite, suffisamment prolongée, coupe l’un des plans coordonnés, ou ce qu’on nomme la trace de la droite sur ce plan, il faut donner la valeur o à la coordonnée qui exprime la distance du point au plan, par exemple, la condition z — o exprime que le point est sur le plan æy; ainsi faisant z—0, dans les équations (b), on obtient, pour la trace de la droite dans le plan æy, les équations