F PA

INT … + INT 241 prendrons à déterminer leurs véritables rapports de mental 1. C’est une conséquence de ce qui a été exposé grandeur. ci-dessus n° 5. Ainsi, en multipliant chaque rapport

o. Les intervalles des sons de la gamme naturelle constituant des sons de la gamme naturelle par l'inter- [<

é iné x p ù énominations dillé- 20 : :

étant inégaux, on leur a donné des dénc valle —, nous obtiendrons une suite de sons dont les ,. 9

rentes ; ainsi les plus grands intervalles ont recu le nom de tons, et les plus petits celui de semi-tons. On nomme intervalles respectifs avec les sons primitivement plus particulièrement fons majeurs ceux dont le Fo est bas seront tous d’un demi-ton mineur, tout comme en

raA U à s 25 9, et tons mineurs ceux dont le rapport est. Le rap- divisant ces mêmes rapports par ce même intervalle DE

S . ( 5 \ « +. , Es . : “ e ps a = port de l'intervalle d’un ton majeur à l'intervalie d'un nous obtiendrons une autre suite de sons dont les inter godes 82 valles avec les sons primitivement plus hauts seront tous i re =: — — ,senommeun .: RE " A xe MA Qu Ie nombre 8.9 … 80 d’un demi-ton mineur. En général, un son multiplié par .

: » considèr : lus petit intervalle 25 : . Tia Li comma; on le considère comme le plus | = monte d’un demi-ton mineur, et le même son, divisé

que l'oreille puisse saisir. Deux sons dont l'intervalle

i ’un c a différent si peu l’un de 29 ar 24 À A est plus petit qu'un comma diffèrent si peu pu, € par 2, ou multiplié par 4, dcécend' du mené demis l’autre, qu'on peut approximativement les £onsidérer 24 2 ton.

Les nouveaux sons formés de cette manière n ont pas

comme à l’untsson.

La gamme naturelle se trouve donc composée d’une

, é . : 2 s suite d’intervalles dans cet ordre, abstraction faite dela FECU de noms particuliers; ils portent celui du son in

différence des tons majeurs aux tons mineurs, férieur suivi du mot dièse, ou celui du son supérieur

l suivi du mot bémol. Par exemple, le la naturel — 3 gb re mi fa sol la si ut,

1 rot: n De 25 ne. : e 125 Lebdu 210 cle A hogdosfh multiplié par —, ou diézé, devient la dièze — a 3 24 / ; ; er ; RTS: 2/, ray :

et c’est en introduisant un semi-ton entre chaque inter- ce même son multiplié par 2% ou bémolisé devient la

vaile d’un ton qu’on forme la gamme eh demi-tons, ou

la gamme chromatique. Maïs ces semi-tons ne peuvent bémol Le signe caractéristique des sons diézés être égaux entre eux, et il est essentiel de.les choisir de

manière que la tierce et la quinte de chaque son de la est Lk et celui des sons bémolisés .

gamme approchent le plus possible des rapports exacts: 11. En exécutant l’opération que nous venons d’inprécédemment déterminés, diquer, on introduit deux sons intermédiaires entre

= \ 10 ; 15 chaque couple de sons de la gamme naturelle, soit que 10. L’intervalle d’un ton mineur — au demi-ton + ? { P 5 ? q

9 $ leur intervalle soit un ton majeur ou un ton mineur. qu'on nomme semi-ton majeur, a reçu le nom de semi- Les rapports constituans de ces nouveaux sons, tous ton mineur; son expression numérique est calculs faits, se trouvent :

10 16 150 25 : # 25 L 56 ni -— WE —— D —— CS 144 24? 24 25? : 2 “Pins, 27 #15 d’où l’on voit que | te de ton mineur se partage 16 ss» DE — y naturellement en deux demi-tons, l’un majeur et l’autre y S L 8 " 2 0 025 Ë ré —=<— = > mineur. Get intervalle — est le plus petit dont on se ue 64° se 5? sért dans la pratique. C’est avec lui qu’on forme les mi — L l LEE : . : TRE ar: 1 semi-tons intercalaires de la gamme chromatique , 4 — comme nous allons le voir, 25 He 0b h°= TAN LONUNTE E + seryons que pour passer d’un son quelc OUHAE M, :

donné par son rapport constituant +, à un autre son M°

b Dans les instrumens à sons fixes comme le piano, la

dont l'intervalle avec M soit ca le les mème touche Fappant le CE et le bémol des deux

b [ "7 = sons naturels de l'intervalle d’un ton, on est forcé de

considérer les deux:sons intercalaires comme identi-

ques, et il faut choifit eñtre des deux sons celui qui par«

constituant de M' ou son intèrvalle ayec né son fonda= tage le plus également l'intervalle primitif, Cette néces- Lou. aux. 91

* deux rapports *, 7 , et que le produit D best le rapport

sité résulte encore de la grande difficulté qu’il y aurait à embrasser une si grande quantité de sons, dont la plupart ne diffèrent pas d’une manière sensible.

On admet donc comme limite d'intervalle celui qui existe entre un demi-ton majeur et un demi-ton mineur, savoir ;

c’est-à-dire que tous les sons dont l'intervalle n’est pas : 128 re - :

pius grand que 758 Sont considérés comme identiques

ou comme à l'unisson les uns des autres. Et, en effet, deux cordes sonores dont les nombres de vibrations, dans le même temps, seraient128 et125 feraient entendre deux sons que l'oreille la plus délicate distinguerait difficilement l’un de l’autre.

12. Employons ce petit intervalle ou ce commu, pour nous guider dans Le choix des demis-tons qui doivent composer la gamme chromatique. L’intervalle

entre ut et ee étant 27 ,25 __ 648 __ 129,5 25 ‘24 625 125 ?

c’est-à-dire plus grand que le comma

; Nous voyons

; ; : 25 927 qu'aucun des deux nombres constituans —,—2 ne peut 24° 25

représenter le son compris entre uf et ré, ct qui doit être

à la fois ut et ré, mais en haussant le plus petit de ces

nombres de l'intervalle Tgcten baissant le plus grand

de ce même intervalle, nous obtiendrons deux sons qui ne différeront pas sensiblement des proposés et que nous pourrons prendre ensuite l’un pour l’autre sans inconvénient : or

4 CN R2D ML 025 125 its

Le 1 Ainsi les deux rapports Fe

5° dont l'intervalle est

128 À mans plus petit que peuvent être pris indifféremment

pour représenter le demi-ton intercalaire entre uf et ré, et comme c’est une règle fondée sux la nature même de l'organe de louie, que l'intervalle représenté par les nombres les plus simples est le plus facilement appréciable, nous poserons

ROUE TR A ut = 16 Ts

INT 1 . pes. L'intervalle de ré ami étant 6,75 __ 584 128 5 640 375 195

L'intervalle de fa # à sol étant

où © LEA

il faut opérer sur ces deux sons comme nous l'avons

fait sur ut ctré ;le premier étant haussé et le second

on :

, is deviennent

FU 12 baissé du comma -— © 125

Choisissant le rapport le plus simple, nous ferons

— 60! es:

fa

Comparant de la même manière les sons s0/ $ etla ,

nous trouverons pour leur intervalle 25 198:

on peut donc prendre

Enfin, l'intervalle de la à FL

; 128 étant plus grand que le comma 357? nous trouyerons, en haussant le plus bas et en baissant le plus haut de

ces sons de ce même comma,

Le 0) QE EP EE 72 250 PES TPE D'où R'= =.

INT Réunissant tous ces résultats, nous aurons pour l’é= chelle complète de la gamme chromatique... (5)

Le son du milieu de l'échelle . étant exprimé par des

nombres un peu grands, comparativement aux autres sons, on a trouvé qu’au lieu d’altérer les deux sons fa

et la du comma —, il serait plus exact de prendre

une moyenne proportionnelle entre ces deux sons

LA

18° 35° d'autant mieux que cette moyenne

257% 36 j v[# X | =ve

est en même temps la moyenne des deux sons extrêmes 1 et 2, et que l'intervalle total de l’octave se trouve, de cette manière, partagé en deux parties égales par le son du milieu.

En effectuant ce changement, l'échelle chromatique devient... (6)

EE" ———

NOMBRES RÉLATIFS DES VIBR4TIONS

Sons,

; 1 1,000000 # , b 16 HOOURTER. à oh a 1,006666 MES te Men's “50 à à 1,129000 . À .b 6 MÉMOUNMIME. 1 - 5 1,200000 « 5 Ho c -bootolodelé F 1,250000 fa i LPO 0 LE 5 1,933933 ñ L 5 ju GHET/ oo V2 1,414215 1 3 SOI en ete eh ete à 1,500000 sol À ou ta. 58 5 1,600000 Ie. ofa TOR 3 1,666666 k 6 De où. = 13777797 ; 5 er sresss " 1,875000 Muse à 2,000000

12 bis. Avant de poursuivre, rappelons-nous que, pour construire la gamme naturelle (4), et, par suite, la gamme chromatique (5) au (6) nous sommes partis des

LA 1 GENRE) ARE rapports de vibrations HORS 2 >; qui sont les plus

simples de tous ceux qu’on peut exprimer au moyen des seuls nombres premiers 1, 2, 3, 5. En y ajoutant

6 nee dE le rapport 5 que l'oreille saisit avec presque autant

de facilité que le rapport S et qui forme, dans la

4° gamme naturelle (4), l'intervalle exact de la à uf, savoir :

nous aurons, pour l’ensemble, des intervalles consonnans fondamentaux :

Intervalles. Nombres constituans to re M EN) LEE Octavetcrenete re: DIU l, Quinte rene reste Duo), Quarte. : . .. . - ROIS Tierce majeure. . . - 554 Tierce mineure. « +. - 6:90.

ous les autres intervalles résultant des combinaisons de ceux-ci, on voit que l'échelle musicale actuelle dérive des nombres premiers, 1, 2; 3, 5. Si on voulait introduire le nombre 7, il faudrait faire subir à cette échelle des changemens dont l'utilité pour les progrès de la musique est encore problématique.

13. S'il est nécessaire, pour juger des qualités et des effets des intervalles consonnans ; de leur attribuer les rapports précédens, il est tout-à-fait impossible de se servir toujours de ces rapports dans la pratique , surtout pour les instrumens à sons fixes, où l’on est forcé de confondre les dièzes avec les bémols. L’échelle chromatique (6), destinée à modifier la plupart des intervalles en leur conservant le plus haut degré possible d’exactitude, est loin de remplir complètement son but; car

deux sons, dont l'intervalle est égal au comma

quoique peu différens l'un de l’autre et sensiblement à l'unisson pour l'oreille, quand elle les perçoit isolément, produisent des dissonances très-appréciables dans leur co-existence avec d’autres Sons. Un forte-piano,

par exemple ; dont toutes les gammes seraient exacte-

ment accordées sur l'échelle ures intolérables, parce qu’elles

(5), offrirait plusieurs

tierces majeures et mine

1 à FE , sont inexactes de ce COMMA Ce n’est qu'en alté-

gant plus ou moins les intervalles de l'échelle (5) qu’on

peut obtenir des accords suffisamment exacts; mais ; en exécutant de telles altérations, il est essentiel de les répartir de manière que chaque intervalle s'approche le plus de l'exactitude absolue sans dénaturer les autres. Les altérations des sons qui produisent ces effets se nomment le tempérament; un système d'échelle tempérée doit être considéré comme d’autant plus parfait qu'il présente une plus grande quantité d'accords entierement justes.

14. On a proposé divers systèmes de tempérament dont le plus simple consiste à faire les douze degrés de Péchelle chromatique parfaitement égaux. Cette échelle se compose alors de treize sons, y compris l’octave wé,, qui ont pour intervalle partiel un demi-ton un peu plus grand que le demi-ton mineur, et un peu plus petit que le demi-ton majeur; toutes les quintes s’y trouvent sensiblement justes, et les tierces y sont moins altérées que dans l’échelle (5). Mais pour apprécier les avantages ou les inconvéniens d’un fempérament quelconque, il devient nécessaire de considérer les intervalles sous un autre point de vue que celui de leur génération; car si les nombres constituans de ces intervalles ont le précieux av antage d’être l’e: pression fidèle des phénomènes acoustiques , ils sont insuffisans, ou du moins compliquent la question de difiicultés étrangères, dès qu'il s’agit d’ aborder les phénomènes musicaux, c’est-à-dire de comparer ces intervalles entre eux, et de déterminer leurs rapports réels de grandeur. Lorsque, dans le tempérament égal, on dit, par exemple, qu’un demi-lon est la moîtié d’un ton, qu'une tierce majeure est composée de quatre demi-tons, etc. , ete., on emploie des expressions justes et convenables, parce qu’on considère l'intervalle de deux sons comme une distance composée de distances plus petites; ainsi la voix qui monte de l’uf au mi, par la succession

des sons ut, ut #, ré, ré ; mi, parcourt quatre distances égales, et si l’on prend la première pour unité, la distance totale, ou l'intervalle ut, mr, doit être représentée par le nombre 4, qui fait connaître immédiatement le rapport de grandeur de l'intervalle de tierce avec l'intervalle de demi-ton. Il n’en est plus de même si l’on veut exclusivement représenter les intervalles par les rapports des vibrations, comme l’ont fait jusqu'ici tous les auteurs dés traités d'harmonie; car ce n’est alors qu’en attachant aux mots un tout autre sens que le sens ordinaire qu’on peut dire qu'un intervalle est une moitié ou une partie quelconque d’un autre intervalle, puisqu'il ne s’agit jamais, dansces prétendus rapports de grandeur, du Rapport GÉOMÉTRIQUE, base de la notion de MESURE.

15. La comparaison des intervalles ne peut donc s’effectuer d’une manière rationnelle qu'en prenant

? CF La lun d’entre eux pour unité, et qu’en représentant cha-

INT eun des autres par le nombre qui exprime combien de fois il contient cette unité. Quant au choix de l’intervalle destiné à servir d'unité, il est évidemment arbitraire, et ne saurait être provoqué que par des raisons de convenance ou de facilité pour les calculs. L’échelle chromatique étant composée de douze inter-

valles partiels inégaux, si l’on prenait pour unité soit où

le demi-ton mineur D 8 soit le demi-ton majeur > aucun d’eux ne Serait compris un nombre exact de fois dans l'intervalle d’octave, ce qui compliquerait singulièrement la coniparaison des sons appartenant à deux périodes différentes. Il est donc beaucoup plus simple d'adopter pour unité un semi-ton moyen exactement égal à la douzième partie de l’octaye , c’est-à-dire le demiton du tempérament égal. ù

16. Pour bien comprendre les nouveaux principes que nous allons exposer, ilne faut pas perdre de vue les règles données ci-dessus pour le, calcul des intervalles représentés par les rapports des vibrations; car la premire chose à faire est de représenter, par un rapport semblable, le demi-ton qui va nous servir d'unité. Or ce demi-ton doit être tel qu’étant multiplié douze fois per lui-même, il produise le nombre 2, puisque l’intervalle de deux sons extrêmes est toujours égal au produit de tous les intervalles partiels des sons intermédiaires entre ces extrèmes-(5). Le demi-ton moyen en question aura donc pour expression numérique

etil ne s’agit plus, pour mesurer un intervalle donné par son rapport constituant, que de trouver combien de

fois lenombre |//2 est facteur de. ce rapport, ou, ce

qui est la même chose, à quelle puissance il faut élever

12 CC É V/2 pour obtenir le nombre constituant de l'intervalle. Si, par exemple, l'intervalle donné, que nous désigne-

rons généralement par M, contient exactement deux

fois l'unité d'intervalle adopté!, on aura

(2) 4 (2) md (=

S'il le contient deux fois et demig,. qn aura de même 12 2,5

Il en résulte généralement que si m est l’exposant de

et ainsi de suite.

42 4 È la puissance à laquelle il faut éleyér |//2 pour produire M, m donnera la mesure de l'intervalle M, ou exprimera le nombre des demi-tons moyens dont se com-

pose-cet intervalle. Ainsi, considérant 4/2 .commme la

base d’un système particulier de logarithmes, nous pourrons dire que la mesure d’un intervalle est le logarithme de ce que nous avons nommé son nombre constituant.

17. Proposons-nous, pour exemple de calcul, de trouver combien l’intervalie d’ut à la, dont le nombre

É 5 : ; constituant est —, contient de demi-tons moyens. Dé-

signant par æ le nombre cherché, nous avons à résoudre l'équation exponentielle

Fa ms

qui donne, en employant les logarithmes (voy. tom. I, page 557);

42 5 z log (V2) = log > — log 5 — log 5,

et

44 log 5 — log 3 0,22185 LÉ 2 UN 6502500;

En nous arrêtant aux centièmes, ce qui est plus que suffisant, il vient x — 8,84, c'est-à-dire que l'intervalle : = 84 de ut à la comprend huit demi-tons moyens et de de demi-tons.

18. Une semblable opération, effectuée sur tous les nombres de l'échelle chromatique (6), fournira le tableau suivant quirend sensibles lesrapports de grandeur

des divers intervalles de cette échelle.

TABLEAU

DES INTERVALLES DE LA GAMME CHROMATIQUE, LE DEMI-TON MOYEN ÉTANT PRIS POUR UNITÉ.

À Nombres 5 Intervalle de ut à Différences.

proportionnels.

ut. o & te ‘ 0,00

UM OUETENS SES è 1,12 1,13

ré + 6: 2,04 0,93

ré” ou mi ; 3,16 1,12

ma. LME 3,86 0,70

MERE L'NNTE. 4:98 1519 # b

fawoursol., 6,00 1,02