AE À

mineur — sont désignés sous le nom de comma.

L’intervalle du sewi-ton mineur au semi-ton majeur,

ae 128 t égal à. 0,4 N et

ou le comma—-, est égal: à 0,42, ou à peu près =

125 ? CL Lo peu Pres g

Si ner

. considéré So

du demi-ton moyen. Le comma vulgaire

comme la limite supérieure des erreurs permises dans ‘ : ; Lale >: L

l'emploi du tempérament , répond à cer de ce demi-

ten moyen.

19. En considérant la grande facilité qu'apporte dans le calcul des intervalles leur représentation: par des nombrs: proportionnels, on doit s'étonner qu'aucun harméniste théoricien n'ait fait son profit de la distinetion établie pour la première fois par Euler (Tentamen novæ Theoriæ musice , ete. , 1739) entre les rapports des sons et la mesure des intervalles; distinction reproduite par Lambert (Mém. de l'Acad. de Berlin, 1576). et en= seignée depuis par Suremain de Missery dans sa Théorie de l'Acoust'que. A l'exception de ce dernier, trop bon géomètre pour partager l'erreur commune, tous les

auteurs français qui ont écrit sur la théorie de la musique n’ont pas dit un seul mot qui ait rapport à la véritable mesure des intervalles, et quand ils ont à les comparer comme quantités mensurables, ils emploient les rapports des nombres relatifs de vibrations ; ce qui

est un véritable non-sens; car 3° par exemple, est

bien le rapport constituant de l'intervalle de quinte; mais il ne lui est ni égal ni proportionnel. Si cette égalité ou proportionnalité avait lieu , il faudrait que la

saut, 6 x :

double quinte fût exprimée par =; la triple quinte par 9, et ainsi de suite. Cette absurde mesure des inter-

valles musicaux se retrouverait dans la mesure des édifices, si un architecte, pour énoncer la différence de grandeur absolue entre une colonne corinthienne et une colonne toscane, disait que cette différence est celle de

D A : re — à —, parce que la proportion entre le diamètre de 10 9

1 DATE la colonne et sa hauteur est F pour l’ordre corinthien,

et ; pour l’ordre toscan.

Parmi les bévues résultant de la fausse représentation des mesures des intervalles par les rapports constituans, une des plus singulières est celle de J.-J. Rousseau qui, dans son Dictionnaire de Musique, a voulu calculer les intervalles partiels d’une échelle enharmonique comprise entre deux ut (on nomme échelle enharmonique celle qui ne confond pas le son inférieur diézé avec le son supérieur bémolisé), et ne s’est pas apercu que le résultat de ses calculs donnait une somme plus grande que l’octave.

20. On a vu (16) que la vraie mesure des intervalles ient à un emploi des logarithmes qui, bien que trèssimple, n’a pas encore pu, se naturaliser en France, malgré les tentatives faites jusqu'ici pour mettre à la portée des intelligences les plus médiocres ce puissant et commode instrument de calcul. C’est probablement au manque de notions suffisantes, sur la nature et l'usage des logarithmes, qu’on doit cette multitude effrayante de chiffres dont quelques musiciens théoristes surchargent les pages de leurs ouvrages pour arriver à des résultats, souvent erronés, et qui, lorsqu'ils sont exacts, ont toujours l'inconvénient de reposer surun système faux de mesure, capable de dérouter les étudians, s’il n’égare pas les professeurs.

Cependant , si l’on peut pardonner à certains auteurs modernes de ne pas connaître les ouvrages étrangers d'Euler et de Lambert, et l'ouvrage français de Suremain de Missery, publié à une époque (1795) où l’on ue s’occupait guère dethéories musicales, et quimanque

d’ailleurs des développemens nécessaires, il n’est pas possible de leur éviter le reproche d’ignorance pour des travaux beaucoup plus complets et beaucoup plus décisifs. En 1815, dans sa Mécanique analytique, M. le baron de Prony a consacré un chapitre très-détaillé à l’acoustiquemusicate, dans lequelil insiste sur la nécessité d’appliquer au calcul desintervalles musicaux des procédés analogues à la nature des quantités qu’on veut comparer. Ce chapitre, reproduit en partie dans le Bulletin Férussac (avril 1825), ramène la mesure des intervalles à son véritable point de vue. Depuis, le même savant, frappé des erreurs que commettent journellement les musiciens qui essaient de calculer les intervalles, a publié une Instruction sur le calcul des intervalles musicaux (Paris, Firmin Didot, 1832), où toutes les difficultés sont définitivement aplanies. Cette instruction, qu’on pourrait nommer une @rithmétique musicale, est un modèle de clarté et de précision qui ne laisse rien à désirer : tous les calculs s’y trouvent ramenés à l'addition et à la soustraction, au moyen de deux petites tables de logarithmes dont l’usage n’exige que les connaissances arithmétiques les plus élémentaires. Nous y puiserons d’utiles enseignemens pour la suite de cet article,

21. Le choix de l'unité d'intervalle est, comme nous l’avons déjà dit, entièrement arbitraire; M. de Pronyÿ a pris le demi-lon moyen, déjà indiqué par Lambert; Euler s'était servi de l’octave, et l’on pourrait tout aussi bien employer le fon moyen, sixième partie exacte de l’octave. Il suffit, du reste, de connaître les nombres proportionnels des intervalles rapportés à l’une quelconque de ces unités pour obtenir très-aisément ceux qui se rapportent aux autres.

En effet, avec le demi-ton moyen pour unité, les in-

:. , 4 tervalles sont mesurés parles logarithmes à base —1/2; avec l’octave, par les logarithmes binaires ou à base — 2;

et avec le ton moyen par les logarithmes à base V2. Ainsi, désignant par m, m', m' les logarithmes, dans ces divers systèmes, d’un même nombre M représentant le rapport constituant d’un intervalle, on a à la fois les trois expressions

qui donnent les trois égalités

d’où l’on tire les relations suivantes entre les nombres ms ms M

mia, me GnN', 0 an.

C'est-à-dire que, pour exprimer en demi-tons moyens un intervalle exprimé en parties de loctave, il faut multiplier par 12 le nombre de ces parties, et que, réciproquement pour avoir en parties de l’octave un intervalle exprimé en demi-tons moyens, il faut diviser par 12 le nombre de ces demi-tons. Par exemple, l’intervalle de quinte, mesuré en demi-tons moyens, étant exprimé par 7,02, ce même intervalle, rapporté à l’octave comme unité, sera représenté par le nombre

ce qui nous apprend que la quinte est à très-peu près

les ni ou les : de l’octave.

Si l'intervalle était exprimé en tons moyens et qu’on voulût l'avoir en parties d’octave, il faudrait le diviser par 6; et réciproquement multiplier par 6 le nombre des parties de l’octave, pour obtenir le nombre correspondant des tons moyens. En partant du nombre précédent 0,585, on aurait donc, pour l'intervalle de quinte exprimé en tons moyens,

Ce dernier chiffre montre que la quinte”est composée de trois tons moyens et d’un demi-ton, à un cenfième de ton près.

Enfin, pour passer de l’expression en demi-tons à l'expression en tons, ou vice versé, il faut diviser la première par 2, ou multiplier par 2 la seconde. Toutes ces particularités sont évidentes ; car les intervalles, représentés par des nombres proportionnels, se comportent comme toutes les autres quantités, dont on peut, à son gré, changer l’unité de mesure, en multipliant les nombres qui les expriment par le rapport de la nouvelle unité à l’ancienne; et de même, par exemple, qu’on réduit en pieds un nombre donné de toises en le multipliant par 6, parce qu’il y a 6 pieds dans une toise, on réduit en demi-tons moyens un nombre donné d’octaves en le multipliant par 12, parce qu’il y a douze demi-tons dans une octave, etc., etc.

Nous indiquerons dorénavant, par les caractéristiques d,t, oc, signes abréviatifs de demi-ton, (on et octave, la nature de l’unité à laquelle se rapporte un nombre. Nous aurons ainsi:

intervalle de quinte = 0°,585 — 5,51 — 71,00.

22. En prenant l'intervalle d’octave pour wnité, les intervalles les plus usuels ne sont exprimés que par des fractions décimales sans entiers; ce qui ne laisse pas apercevoir Leurs rapports aux personnes peu familières

avec les nombres, aussi facilement que lorsqu'ils sont exprimés en tons ou en demi-tons. Toutefois, comme il est très-facile de passer d’une unité de mesure à une autre, nous adopterons ici l’octave pour unité. M. de Prony, dans le but de faciliter les calculs, a donné deux tables de logarithmes, qu’il nomme acoustiques, dont l’une contient les logarithmes binaires , et

l’autre les logarithmes de la base V2 : la première se rapporte à l’octave, et la seconde au demi-ton moyen comme unités. Elles renferment, l’une et l’autre, les logarithmes des nombres depuis 1 jusqu’à 320. La table des logarithmes binaires étant suffisante pour toutes nos déterminations, nous l’avons augmentée de cent logarithmes, mais nous n’y conservons que cinq décimales, ce qui dépasse encore les besoins de la pratique.

23. L'emploi de cette table réduit aux deux premières règles de l’arithmétique toutes les opérations relatives à l'évaluation des intervalles en parties décimales de l’octave; ce dont on peut aisément se rendre compte en se rappelant le principe fondamental de cette évaluaa b

d’un intervalle quelconque; celui de l’octave étant 2;

tion (16). Représentons par - le nombre constituant

soit 4. le nombre de fois, entier ou fractionnaire, qu’il

faut multiplier le nombre ï

produire 2, nous aurons... (a),

par lui-même pour

et par conséquent donnera le rapport de grandeur : a dd: ë

entre l'intervalle 5 * l’octave, c’est-à-dire que si y—2,

cet intervalle sera la moitié de l’octave; il en sera le

tiers sim—5, le quart si u —4, et ainsi de suite. Gé-

néralement, quel que soit le nombre », le rapport vrai de la grandeur de l'intervalle à celle de l’octave sera

si donc on considère l’octaye comme unité, ce nom- 1 = >.

bre — sera le nombre proportionnel de l'intervalle et

son expression en unités, chacune égale à une octave. Or, la relation (a) donne la relation réciproque

ou... (b).

Let (ui 2 = b?

, 1 Arr , posant, pour abréger, ne m. Ainsi, étant donné

: a un intervalle par son nombre constituant on ob-

tiendra son nombre proportionnel , par rapport à l’'octave prise pour unité, en tirant la valeur de m de l'équation (b).

Mais, quelle que soit la base du système de logarithmes dont on veuille se servir pour résoudre l’équation (b), on a toujours

log (2°) = log (;)-ctm log 2 = log #— log b;

d’où

nn —

log 2

Ainsi, lorsque ce système est celui des logarithmes binaires, comme alors le logarithme de sa base 2 est

l'unité, on a simplement m — log a — log b;

le caractéristique log, désignant les logarithmes bipaires, ou les logarithmes de la table ci-jointe.

Il résulte de ces considérations que le nombre proportionnel d'un intervalle est égal à la différence des logarithmes binaires des deuxtermes de son nombre constituant. Appliquons cette règle à l'intervalle de tierce mineure

-3 prenant dans la table les logarithmes de 6 et de 5, J nous aurons

Tierce mineure — 2,584090 — 2,92 199 = 0,26309. Cette différence représente immédiatement un nombre d'octaves; ainsi, la tierce mineure est, à très-peu près; les ar d’une octave. Nous aurons de la même ma-

nière

Tierce majeure — log 5 — log 4;

Quinte — log 3 — log 2, = 1,58496 — 1 — 0°,58406,

et ainsi de suite.

Observons, en passant, que la comparaison de ces pombres montre immédiatement que la quinte est exacjement composée d’une tierce majeure et d’une tierce

mineure, Cay

24. Veut-on connaître maintenant ces mêmes intervalles exprimés en tons moyens, il suflit de multiplier les nombres précédens par 6, et l’on trouve

Tierce mineure — 6 X 0,96503 — 1',57818, Tierce majeure — 6 X 0,32105 — 1',93158, Quint — 6 X 0,58496 — 3',50970.