Les mêmes opérations, exécutées sur tous les

intervalles de la gamme naturelle ou de l'échelle diatonique, fournissent le tableau suivant :

TABLEAU

DES INTER VALLES DE LA GAMME NATURELLE, L'OCTAVE ÉTANT PRISE POUR UNITÉ.

Intervalle de ue à Hs É 4.

Les différences partielles nous apprennent que les intervalles nommés {on majeur, ton mineur et semi-{on majeur ont, pour valeurs respectives, 0*,16992 ; 0°,15201 ; 0*,09311 ;

etil suffit de ces nombres pour se guider sans difficulté dans toutes les recherches qui ont pour objet les interalles musicaux.

26, Signalons quelques particularités, La différence du ton majeur au Lon mineur est

Ainsi, en montant de ut à ré, on monte d’une partie

; ; ; 15 de l’octave plus grande de la fraction d’octave 3

que lorsqu'on monte de ré à mi. Cette fraction, réduite en tons moyens, est 6 X 0,01791 — 0',10746, ou, à.

très-peu près, de ton moyen,

Où =

L'habitude des musiciens est de représenier la dif- : ; ; 81.

férence du ton majeur au ton mineur parle comma 3}

ce qui est non seulement insignifiant, Maié douue eus

core une acception fausse au mot différence. La véritable différence de ces deux intervalles est en octave 0®,01791; en tons moyens, 0',10746; et, en demi-ton moyen, 0%,21492. Ces nombres proportionnels font connaître les rapports réels de grandeur de l'intervalle en question avec l’un ou l’autre des intervalles comlement que le ton majeur est plus grand que le ton mineur. Les rapports

parés, tandis que le nombre constituant = indique seu-

o®, 16992 0°, 15201 = — 8 ——— — 8,48 0*,01781 9487 » 0°, 01791 AC montrent en effet que cet intervalle ou comma — est

contenu 8 fois et à peu près ‘/, dans l'intervalle de ton mineur, et 9 fois ‘/, dans celui de ton majeur.

La différence du semi-ton majeur au ton mineur, ou

est ce qu’on nomme le semi-{on mineur. Ce demi-ton

— : 6 est, à très-peu près, les So del’octave. On augmente

donc un intervalle des 60 de l’octave lorsqu'on diéze

le ton supérieur, et on l’abaisse de la même quantité lorsqu'on bémolise ce même son. Par exemple, l’inter-

alle de ut à ré étant 0*,169092, celui de wf àré est

. 0*,16992—0%,0589—0" 11102; et celui de uf à ré É — 0°*,16992 + 0°%,0589 = 0°°,22881.

L'intervalle de wf à mi étant, par la même raison, 0%,32195 — 0*,0589 — 0*26303, on voit qu'on ne peut confondre ré avec mi qu’en forçant l'oreille à

négliger l'intervalle

qui diffère peu de ë

0°,03422, différence du semi-ton majeur au semi-ton

. = 12 mineur est le comma dont le nombre constituant —

du ton moyen. L’'intervalle

nous a servi dans la construction de l'échelle chromatique. On peut maintenant apprécier avec facilité le degré d’exactitude de cette échelle.

27. Parmi les problèmes qu’on peut se proposer sur les intervalles musicaux, nous choisirons les suivans, qui nous paraissent les plus propres à faire bien sentir l'utilité des logarithmes binaires.

L Pnosrème. Un son étant donné, par son rapport constituant, déterminer la place qu’il occupe dans la série des sons ascendans qui commence qu sou fixe où fonda mental.

To, au.

.… 176 Soit

le son auquel il se rapporte fait 176 vibrations pendant que le son fixe en fait 33. Il s’agit d’abord de trouver l'intervalle vrai de ces deux sons.

Nous avons, pour cet intervalle (23),

le rapport donné; ce nombre signifie que

Log 176 — Log 35 — 7,45945 — 5,04439 = 2,41504.

Ainsi, le son dont il s’agit est distant du son fixe de deux octaves, plus de la fraction 0°,41504; faisant abstraction des deux octaves, pour ramener le son dans les limites de l’octave du son fixe, et cherchant dans le tableau du n° 25 le son supérieur de l'intervalle 0°,41504, nous voyons que c’est un fa: donc le son proposé est la double octave du fa compris dans l’octave du son fixe. Si le rapport donné était un nombre entier tel que 3, il faudrait lui donner la forme fractionnaire pour y faire entrer le son fondamental; mais, comme log 1—0, il ny a aucune soustraction à effectuer, et le logarithme binaire de 3 est immédiatement la mesure de l’intervalle. Ce logarithme étant 1,58496 , l'intervalle du son proposé au son fixe se compose d’une octave, plus de l'intervalle 0,58496, qu’on reconnaît être une quinte

(tableau n° 25); l'intervalle : ou plutôt 1°,58496 se

nomme une dix-septième; en admettant que le son inférieur soit l’uf fondamental, le son supérieur est le sol de la seconde octave, ou s0/,.

II. Prosrème. Deux intervalles étant donnés par leurs rapports constituans avec un même son fondamental, déterminer l'intervalle des deux sons supérieurs.

: A GA ee tu a I Soient en général 5° d deux intervalles quelcon-

ques rapportés à un même son fixe, l'intervalle des sons supérieurs, ou de ceux dont les nombres relatifs de vibrations sont respectivement @ etc, sera

Cie, CU b ad?

et on aura, pour la mesure de cet intervalle,

Log e + Log b — (Log a + Log d).

ete

PC 15 Dans le cas des deux rapports particuliers — 3

les logarithmes, pris dans la table, donneraient

Log 15 —5,90689 Log 10 — 5, 52193 Log 5—1,58496 Log $S — 3, 00000 DRE

5, 49185 tnt

Intervalle = 0*,83008

Îl reviendrait au même d'évaluer séparément chaque intervalle, puis de prendre leur différence; on aurait

ainsi Intervalle —5,90089 — 3,00000 — 0*,90689 10 LA.4 L'4 A a Intervalle 5 —3,52195 — 1,58496 — 1, 73697

Int. demandé —1,75697 — 0,90689 — 0, 85008

Pour discuter plus facilement ces valeurs, exprinonsles en demi-tons moyens, c’est-à-dire multiplions par 12, et comparons-les ensuite avec les intervalles de l'échelle chromatique n° 18. Nous aurons, en nous bornant aux centièmes,

Premier intervalle, (5) — 101,88 Second intervalle, (12 1,84 econd intervalle, 3 —=1201,84 Diff, ou intervalle partiel, — 9,96.

Le dernier nombre est celui qui exprime, dans la table,

l'intervalle de wt à la ou à si ; c’est l'intervalle cherché. Quant aux intervalles proposés, on voit immédiatement que le premier est l'intervalle de ut à si; mais le son supérieur du second étant placé dans les limites de la seconde octave, à partir de l’uf fixe ; car tous les sons de cette seconde octave sont distans de ut de quantités comprises entre 12° et 24%, il faut retrancher 12 de l'intervalle 20%,84, pour leramener dans les limites de la première octave. Comme le nombre 8,84 auquel il se réduit exprime l'intervalle de «t à la, il en résulte que 20,84 exprime celui de ut à la. Les sons supérieurs des intervalles proposés sont donc s4 et la,, et leur intervalle 9,96, se trouve parfaitement égal à

celui ut à la .

La détermination complète des sons qui se trouvent désignés ici par si et la, exigerait que le son fixe ut fût lui-même déterminé ; ce qui ne peut être que l’objet d’une convention. Quel que soit le degré d’acuité absolue de ces sons, leur intervalle sera toujours de dix

demi-tons moyens, à 4 de demi-tons près. Nous

verrons ailleurs tout ce qui concerne les sons en euxmêmes (voy. Sox); il ne s’agit dans cet article que de la mesure de leurs intervalles.

28. On peut se proposer un autre problème important, sur les intervalles, pour lequel notre table des logarithmes binaires est insuffisante, à cause de son peu d’étendue. Le voici:

Etant donné un intervalle, soit en octaves, en tons moyens, où en demi-tons moyens, trouver son nombre constituant, c'est-à-dire le rapport des nombres de vibra-

tions que font dans le même temps les deux sons dont il eæprime la distance.

Ce problème est l'inverse de celui dont nous nous sommes occupés jusqu'ici; et si l’on pouvait trouver aussi facilement, dans la table des logarithmes binaires, le nombre correspondant à un logarithme donné qu’on y trouve le logarithme correspondant à un nombre donné, cette table en offrirait immédiatement la solution. Mais comme on ne pourrait l’employer à cet usage que dans un petit nombre de cas et en ayant égard à diverses circonstances qu’il serait trop long d'expliquer, nous allons aborder direetement la question au moyen : des logarithmes vulgaires, que nous désignons par ja caractéristique log, conservant la caractéristique log pour les logarithmes binaires.

Soit m le nombre d’octaves ou de fractions d’octave exprimant l'intervalle et M son nombre constituant cherché, nous avons la relation fondamentale

qui donne, en prenant le logarithme vulgaire de chacun de ses membres

m Log 2 — Log M.

Or, le logarithme vulgaire de 2 esto,350103, donc Log M — 0,50103.m;

c'est-à-dire qu'en multipliant le nombre proportionnel de l'intervalle par le facteur constant 0,30105, on obtient le logarithme vulgaire du nombre constituant, nombre qu’on peut ensuite trouver au moyen des tables ordinaires. Il est bien entendu qu’il s’agit exclusivement d’un nombre proportionnel rapporté à l’octave comme unité; si l'intervalle était exprimé en tons ou en demitons moyens, il faudrait commencer par le réduire en octaves. Prenons pour exemple l'intervalle 0°,58496; nous aurons

Log M — 0,50105 X 0,58496 — 0,176091.

Cherchant le nombre correspondant à ce logarithme dans nos tables du mot LoGaRITHME, nous trouverons

M —1,5 ou M =;

l'intervalle en question est donc celui de quinte juste. Proposons-nous encore de trouver le nombre consti-

tuant de l'intervalle égal à un millième de l’octave, sa-

voir : 0%,001. Le produit de ce nombre, par le facteur

constant 0,30103, donne

Log M = 0,000301,

en nous bornant toujours à six décimales ; d’où M —

— 1,0007. Ce nombre mis sous la forme des fractions

10007 g N et nous apprend que de deux

ordinaires devient

sons, dont l'intervalle est 0°°,001, lepremier fait 10000 vibrations dans le temps que le second en fait 10007. Ces deux sons paraitraient donc exactement à l'unisson, car aucune oreille n’est susceptible de s’aperceyoir du retard des premières vibrations sur les secondes.

ë sul - 2 On concoit que si SR d’octaye est un intervalle in-

sensible, —— de demi-ton moyen, qui n’est que 100 200

d’octave, est encore bien moins perceptible, de sorte qu’en se bornant aux deux premières décimales, dans toutes les évaluations des intervalles en demi-tons moyens, on dépasse encore de beaucoup toutes les exigences de l'oreille.

29. C’est ici le lieu de mentionner un fait trèsavantageux pour la musique. Lorsqu'on entend un intervalle qui diffère très-peu d’un autre exprimé par des nombres plus simples, on croit entendre réellement le plus simple, et l'illusion est d’autant plus complète que

la différence est moindre. Par exemple, deux cordes

sonores, vibrantes simultanément, et dont la première ferait 340 vibrations pendant que la seconde en ferait 226, donneraient un accord de quinte qui paraîtrait très-

juste, parce que l'oreille substituerait au rapport 6

le rapport plus simple 2 = à Ce phénomène ne re-

pose pas uniquement, comme quelques auteurs l’ont pensé, sur les limites de la sensibilité des organes de louie, mais encore et principalement sur laetion qu’exercent les unes sur les autres les diverses ondulations sonores excilées dans l’air par les corps vibrans simultanément. Il est certain qu’une foule de dissonances légères, dont on serait frappé si l’on était placé très-près d’un orchestre exécutant, disparaissent quand on s’en trouve éloigné d’une certaine distance , et que les sons s’harmonisent d’autant mieux qu'ils ont à parcourir un plus grand espace avant d’être perçus. Sans cette circonstance, il n’y aurait pas d'harmonie possible,

30. Dans le système du tempérament égal, suivant lequel on aecorde généralement aujourd’hui les fortepianos, les douze demi-tons de la gamme chromatique sont égaux, et les intervalles des degrés successifs de cette gamme sont en nombres constituans

dont on présente les approximations suivantes.