BH : BD — BI: BX

et par conséquent HI est parallèle à DX.

Ainsi, abstraction faite de la ligne BX, le point I peut être déterminé sur CG, en menant par H la droite HI parallèle à DX ; et comme ce point se trouve sur BX, il donne, comme on va le voir, la solution du problème.

Dans le triangle ABC, le côté AB et les deux angles connus CAB, ABC, donnent l'angle de supplément ACB et le côté CB.

Dans le triangle CBG, dont on vient de trouver le côté CB, on a les angles CBG et CGB — angle observé XFB; on peut donc calculer les côtés CG et BG.

Dans le triangle BGH, on a le côté BG et les deux angles HBG et BGH—BFD, d’où l’on peut calculer les côtés BH et GH.

Dans le triangle GHI, dont on «a les deux angles

IHG — EDF, et IGH — BGH — BGC —BFD—BFX, ainsi que le côté GH, on calculera le côté HI.

Enfin, dans le triangle HBI, dont on a l’angle BHI — BDX, et ïes côtés qui le comprennent BH et HI, on aura l'angle cherché HBI ou HBX, qui détermine le triangle ABX.

On pourra calculer ensuite toutes les autres parties des triangles ABX, DBF, XBF, XFD, qui fixent les relations des cinq points À, B, X, D, F. :

8. Proszkur IV. Connaissant les deux parties AB et CD d’un alignement qui traverse un marécagé, ou autre endroit qu'on ne peut mesurer avec la chdîne, trouver la partie comprise BC au moyen des angles «, B, y observés d'un point E, d'où l’on découvre les trois parties AB, BC et BD de l'alignement. (PL. XIV, fig. 10.)

Désignons les grandeurs connues AB par 4, CD par b, et la longueur cherchée BC par æ. Représentons en outre par + l'angle ABE, et par Ÿ l’angle BCE. Ces deux angles ne sont pas donnés dans la question; mais comme % est extérieur par rapport au triangle BCE, on

ap—Ÿ +6; d'où —»— 86, relation qui permet de

les éliminer après s’en être seryi pour trouver Ja liaison |

des données avec l’inconnue du problème.

Nous avons, dans le triangle ABE,

a: AE = sine: sin; et dans le triangle AEC, AE : (ax) = sin : sin (x +6).

Maultipliant ces deux proportions terme par terme, retranchant le facteur commun AE, et remplaçant 4 par g— 6, il vient ..…..(1)

a:(aHx)—sine. sin (s—f) : sing. sin (x48).

Nous obtiendrons de la même manière, en considérant les triangles EDC, EDB, et en observant que les angles ECD et EBC, supplément des angles 4 et », ont les mêmes sinus que ces derniers (2)

b:(b+x) = sin y: Sing: sin(o—$). sin (BH).

Multipliant terme par terme les proportions (1) et (2), et divisant ensuite le second rapport par le facteur comœaun sin. sin (— 6), nous aurons définitivement

ab: (ax) (bx) sine. sin y : sin (af) sin(8+);

Ce qui nous donnera, en dégageant +,

ami (+n Env] EEE)

sir

= &R xn Sn = [=] Le

Cette formule se réduit à

nn Lente)

sinx.siny

lorsque a — b, circonstance qu’on est souvent le maître de rencontrer dans la pratique.

Soient, par exemple, a —b— 100 mètres; «= 55°, B=—= 42°, y—597", le calcul sera

Log sin(«—+f)— 9,988725g Log sin (847) — 9:9919466

Somme — 19,9806705

Log since —

Log siny — 9,7794630

Somme — 1 9,93805/43

1r° somme — 19,980670ù 2e somme — 19,5980543

Différence — 0,4426162

Moitié. . — 0,2215081

Loga— 2,0000000

Le nombre correspondant à ce dernier logarithme étant 166,46, nous avons pour la longueur cherchée BC,

9. Propcème V. Réduire au centre de la station les angles observés à quelque distance de ce centre.

Lorsqu'on veut lier des points inconnus avec d’autres points déjà fixés, il arrive souvent qu'il est impossible de placer exactement l’instrument sur ces der-

niers, et on est alors forcé de faire subir aux angles .

observés une réduction, pour les rendre tels qu'ils seraient si le centre du graphomètre eût coïncidé avec le point connu, et qu’on nomme le centre de la station. Si, par exemple, il s'agissait d'observer l'angle ABC (PI. XIV, fig. 12) du point B déterminé par ses rela-

tions avec d’autres points, mais dont on ne peut approcher qu’à une petite distance BB’, parce que ce point

est le sommet d’un clocher ou de quelque autre édifice, l'angle AB'C mesuré du point B', où l’on établirait l'instrument, différerait généralement de l’angle ABC qu'il s’agit d'obtenir. Les opérations numériques par lesquelles on conclut l’angle ABC de l’angle AB'C portent le nom de réductions au centre des stations.

La distance BB’ comprise entre le centre B de la station et le point B' où l’on observe, se nomme distance au centre; nous la désignerons par r.

Les côtés BA et BG de l’angle au centre, sont les rayons centraux.

Les angles AB'B, CB'B, formés par les rayons visuels et la distance au centre, sont appelés angles à la direction.

Les angles B'AB, B'CB, formés par les rayons visuels et les rayons centraux, se nomment angles opposés à la distance.

L’obseryateur peut avoir trois positions différentes à l'égard du centre et des objets : ou il est dans la direction même du centre à l’un de ces objets (PI. XIV, fig. 15), ou dans une direction intermédiaire (fig. 12), ou enfin dans une direction oblique (fig. 11). Dans le premier cas, la ligne du centre BB' prolongée passe par l’un des objets, dans le second elle passe entre eux, et dans le troisième elle passe en dehors.

Première position. Si l'observateur est en B' (fig. 15) entre le centre et l’un des objets, l'angle observé AB'C est plus grand que l'angle au centre ABC de l’angle B'CB. S'il est en B’ de l’autre côté du centre, l’angle observé AB'C est plus que l'angle ABC de l'angle B'CB.

Seconde position. Si l'observateur est en B' (fig. 12), l'angle observé AB'C est plus grand que l'angle au centre ABC de la somme des angles BAB', BCB'. S’il est en B’, l’angle observé AB'C est au contraire plus petit que l’angle au centre de la somme des angles BAB’, BCB’.

Troisième position. Si l'observateur est en B'(fig. 11), l'angle AOC extérieur par rapport aux deux triangles AOB, COB étant égal à la somme des angles intérieurs opposés, on a

BAB' + ABC — BCB' + ABC; u

d’où