LIE

et, par conséquent, dans le triangle rectangle nAD, dont l’angle en A est

NAD — 90° = 115°40' — 90° — 25° 40’, on aura

nD —mA = AD , sin 25°4o’,

mD = nA = AD. cos 25° 4o',

et de même pour tous les autres rayons AG, AH, AB, AG, AF, AE.

Quant aux points tels que K et R observés d’une autre station H, et qui ne sont pas immédiatement liés avec le point A, on peut les rapporter à une autre méridienne N'S', c’est-à-dire à une parallèle à la méridienne NS passant par le point H déjà fixé sur le plan par les distances Hp, He. On connaît l’angle S'HA — HAN ; ainsi, à l’aide de cet angle et des angles observés autour du point H, on peut déduire la valeur de l’angle KHa, puis calouler les distances Ka, Ha suffisantes pour placer le point K dans le plan. D’ailleurs, lorsque Ka et Ha sont connus, on a

Kb —Ka—+ ab = Ka + Hp, Kd— Hc — Ha,

et l’on peut, si l’on veut, n’employer que la seule méridienne NS. (Voyez, pour les détails, le Traité d'Arpentage de M. Lefevre. Les grandes opérations géodésiques doivent être étudiées dans les traités de Géodésie et de Zopographie de M. Puissant.)

LIEUE. (Métrol.) Ancienne mesure itinéraire usitée en France, et qui, sous le même nom, désignait plusieurs longueurs différentes. On divisait les lieues en grandes, moyennes et petites, ou en lieues de 20, 25 et 50 au degré terrestre. Les premières, nommées aussi lieues marines, étaient évaluées à 2851 + toises; les lieues moyennes à 2283 toises, et plus exactement à 2281 toises, et les petites à 1900 + toises. Outre ces lieues légales, chaque province avait sa lieue particulière très-arbitrairement déterminée, et l’on se servait encore, pour la mesure des postes, d’une lieue de 2000 toises, nommée lieue de poste. Les réformateurs du système métrique ont substitué à toutes ces mesures une unité fixe, le kilomètre (1000 mètres), dont il faut: espérer que l’usage s’étendra généralement, et fera disparaître des dénominations qui ne sont plus en rapport avec les évaluations modernes,

Le quart du méridien terrestre, dont la dix millionnième partie forme notre mètre, contenant 90° inégaux

(voy. Tenre, t. IS, et Ficure pe 24 Tac), la longueur du

degré moyen est de 111111 + mètres, ou de 141% kilo=

mètres; ainsi,

La lieue de 20 au degré équivaut à 5 À kilom. = 5555

Q : + La lieue moyenne de 25 au degré 4 +

La petite lieue de 30 au degré. 3 — 5505 : : 7 La lieue de poste, à peu près... 3 — 3898

Toutes les réductions des toises en mètres, et vice versä, s’ellectuent au moyen des rapports généraux

1 toise —= 1°,949097,

1 mètre — 0',913074,

déterminés très-exactement entre la toise dite du Pérou et le mètre adopté définitivement en 1801. (Voy. MesurE, tom. II.)

LOGARITHMES. La théorie des logarithmes ayant été développée, tom. IE, dans tous ses détails, nous ne considérerons ici ses fonctions importantes que comme un instrument de calcul dont il est essentiel de populariser l’usage. C’est dans ce but que nous donnons la table suivante, qui, malgré son peu d’étendue, présente immédiatement les logarithmes des nombres jusqu’à 10000, et les donne jusqu’à 1000000 à l’aide d’une petite opération sur les différences. Les principes de sa composition étant les mêmes que ceux des grandes tables de Callet et de Borda, les explications dans lesquelles nous allons entrer sur son emploi pourront s’appliquer à ces dernières; mais on peut se contenter de la nôtre pour toutes les questions relatives au commerce et à l’industrie.

1. Les logarithmes vulgaires des nombres entiers se composent de deux parties : l’une entière, qu’on nomme la caractéristique, et l’autre fractionnaire, exprimée en décimales. La caractéristique ayant toujours autant d’uuités que la partie entière du nombre a de chiftres moins un (voy. LocariTHMES, tom. II), on l’omet ordinairement dans les tables; ce qui ne peut jamais être une cause d'erreur, puisque l'inspection seule du nombre dont on cherche le logarithme fait connaître cette caractéristique. Ainsi, les logarithmes des nombres, depuis 1 jusqu’à 9 inclusivement, ont o pour caractéristique; ceux des nombres depuis 10 jusqu’à 99 ont 1; 2, depuis 100 jusqu’à 999; 5, depuis 1000 jusqu’à 9999; etc., etc. Un nombre quelconque étant donné, on connaît donc immédiatement la caractéristique de son logarithme, et il suflit de trouver dans les tables la partie fractionnaire de ce logarithme pour qu’il soit eutièrement déterminé,

a. La table ci-jointe se compose de onze colonnes,

Tom. ur.

LOG 265 intitulées N, 0, 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9. La première colonne à gauche, marquée N, contient les nombres naturels, depuis 100 jusqu’à 999; la seconde colonne, marquée o, offre les logarithmes de ces nombres, ou du moins leurs parties fractionnaires, car les caractéristiques ne s’y trouvent pas. Comme chaque logarithme a ses deux premiers chiffres décimaux communs avec quelques-uns de ceux qui le suivent, on s’est contenté d'écrire une seule fois ces chiffres communs au lieu de les répéter; de sorte que, lorsqu'on ne trouve que quatre chiffres, dans la colonne o, devant le nombre proposé, il faut les faire précéder par le groupe isolé de deux chiffres, le plus prochain en remontant. Si l’on demandait, par exemple, le logarithme du nombre 201, devant lequel on ne trouve, dans la colonne o, que les quatre chiffres 3196, on écrirait à la gauche de ces quatre chiffres le nombre isolé 30, qu’on rencontre le premier en remontant la colonne; la partie décimale du logarithme cherchée est donc ainsi 305196, et l’on’aurait, en ajoutant la caractéristique,

Log 201 = 2,503196.

3. La colonne o ne donne pas seulement les logarithmes des nombres depuis 100 jusqu’à 999, mais encore ceux de tous les nombres qui sont des multiples ou des sous-multiples décimaux de ces premiers : car on sait (voy. tom. IT, pag. 186) que les nombres décuples les uns des autres ont des logarithmes qui ne diffèrent que par leurs caractéristiques. Le nombre 305196, que nous venons de trouver pour la partie décimale du logarithme de 201, est donc en même temps la partie décimale des logarithmes des nombres 2,01, 20,1, 203, 2010, 20100, 201000, etc.; c’est-à-dire qu’on a

Log 2,01 Log 20,1 —1,305196 Log 201 —= 2,303196 Log 2010 —5,505196 Log 20100 = 4,303196

etc. —. etc:,

et ainsi de même pour tous les autres.

C’est à cause de cette propriété des logarithmes vulgaires que nous n’avons pas cru devoir donner à part les logarithmes des nombres depuis 1 jusqu’à 99, qui se trouvent compris parmi ceux des nombres depuis 100 jusqu’à 999- Ainsi, pour avoir le logarithme de 8 ou celui de 80, on cherchera celui de Soo, et comme la partie décimale de ce dernier, donnée par la table. est

909090, On aura

Log 8 = 0,909090; Log 80 = 1:903000.

En général, toutes les fois que le nombre proposé sera plus petit que 100, on lui ajoutera un ou deux zéros à droite, de manière à ce qu’il devienne l’un de ceux compris dans la colonne N; puis on donnéra une caractéristique convenable à la partie décimale du logarithme qu’on trouvera dans la colonne o. Proposons-nous, par exemple, de trouver le logarithme de 19; nous chercherons celui de 190, qui a pour partie décimale, dans la colonne o, 278554, et nous aurons

Log 19 = 1,278754.

4. On voit, d’après ce qui précède, que la colonne o peut être considérée comme donnant immédiatement les logarithmes des nombres 1000, 1010, 1020, 1050, etc. Pour avoir les logarithmes des nombres intermédiaires 1001, 1002, 1005, etc.; 1011, 1012, 1015, etc.; 1021,1022, 1029, etc., il faut avoir recours aux colonnes marquées 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, O0; cellesci offrent les quatre dernières décimales des logarithmes des nombres terminés par ees mêmes chiffres 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9, c’est-à-dire que la colonne 1 corres-

‘pond aux nombres terminés par 1, tels que1001, 1011, 1021, 1091, 1041, etc., étc.; que la colonne 2 correspond aux nombres terminés par 2, tels que 1002, 1012, 1022, 1092, 1042, elc., etc., et ainsi des autres. Demande-t-on, par exemple, le logarithme de 2475; on cherchera dans la colonne N le nombre 2/47, puis on prendra dans la ligne des chiffres placés devant ce nombre les quatre chiffres compris dans la colonne 5, savoir: 3575; on écrira à leur gauche le nombre 39, qu’on trouve isolé dans la colonne o en remontant, et l’on aura, en ajoutant la Caractéristique 3, parce que 2475 est compris entre 1000 et 9999 »

La table présente done immédiatement les logarithmes

de tous les nombres depuis 1 jusqu’à 10000, et, ceci

bien compris, il est facile de résoudre les deux questions suivantes, auxquelles on peut ramener tout ce qui concerne son usage.

5. Pronzène Ï. Un nombre quelconque étant donné, trouver son logarithme.

S 1le nombre n’a que quatre chiflres significatifs, on cherchera les trois premiers dans la colonne N, puis on suivra de l’œil la ligne sur Jaquelle on les aura trouvés, jusqu’à ce qu’on soit dans la colonne qui porte pour indice le quatrième chiffre. Les quatre chiffres ou figures qui sont dans cette dernière colonne et dans lalignement des trois premiers chiffres du nombré donné sont les quatre dernières décimales du logarithme cherché.

Quant aux deux premières, on les trouvera dans Ja

colonne 0, où elles sont isolées par un point, soit immédiatement devant les trois premiers chiffres du nombre, soit en remontant jusqu’au premier groupe isolé de deux chiffres qu’on rencontre au-dessus de leur alignement, Soit, par exemple, 568 le nombre dont on demande le logarithme; on cherchera 756 dans la colonne N, et, parcourant la ligne du nombre #56, on s'arrêtera à la colonne marquée 8, dans laquelle on trouvera 8981; ces chiffres sont les quatre derniers chiffres décimaux du logarithme de 7568. Pour avoir les deux premiers, on examinera si dans la colonne o il ne se trouve pas, dans l’alignement de 756, deux chiffres isolés des autres par un point, et comme on n’en rencontre pas, on remontera jusqu'aux premiers chiffres isolés, qui sont 87; la partie décimale du logarithme est donc 878981, et il ne s’agit plus que de lui donner une caractéristique convenable. Dans le cas du nombre entier 7568, cette caractéristique serait 3; elle serait 2 si le nombre était 756,8; 1, s’il était 95,68; etenfino, sil était 7,568. Nous examinerons plus loin quelles caractéristiques on doit donner aux nombres entièrement fractionnaires ou plus petits que l’unité, tels que 0,568, 0,07568 , etc.

6. Si le nombre proposé a moins de trois chiffres significatifs, on trouvera son logarithme au moyen de la seule colonne 6, comme nous l'avons indiqué ci-dessus.

7. Quel que soit le nombre des zéros qui terthinent un nombre donné, pourvu qu'il wait pas plus de quatre chiffres significatifs, on trouvera donc immédiatement son logarithme dans la table. Par exemple, si au lieu du nombre 7568 il s'était agi du nombre 756800, la partie décimale du logarithme aurait toujours été 878981; seulement on aurait pris 5 pour caractéristique, parce que 756800 a 6 chiffres entiers.

8. Lorsque le nombre a plus de quatre chiffres significatifs, la table ne présente pas immédiatement son logarithme, mais on peut le trouver par le calcul suivant: Soit 255686 le nombre proposé; séparons par une virgule les quatre premiers chiffres à gauche, et considérons pour un moment les chiffres demeurés à droite comme des décimales, il s’agira alors de trouver le logarithme de 2556,86. Cherchons d’abord le logarithme de 2556, et prenons en même temps celui du. nombre immédiatement plus grand 2557; nous trouverons, en opérant comme il vient d’être dit, et sans tenir. compte des caractéristiques,

Différence = 170

entre les nombres entraîne une différence de 150 entre les logarithmes, quelle sera la différence de ces derniers lorsque celle des nombres ne sera que 0,86, c’est-à-dire que nous poserons la proportion