z; d’où æ= 190 X

Ainsi, ajoutant 146 au logarithme de 2556, nous obtiendrons pour la partie décimale du logarithme de 2656,86, ou, ce qui est la même chose, du logarithme de 255686 , le nombre 407707, et nous aurons par conséquent

Log 255686 —5,407707.

Proposons-nous pour second exemple le nombre 4,856359. L’ayant écrit comme il suit : 4856,359, nous chercherons dans la table les logarithmes de 4857 et de 4856, ce qui nous donnera

Log 4857 . . . . 686568 Log 4856 . . . . 686279

Différence —= 89 Multipliant la différence 89 par 0,559, nous aurons 89 X 0,359 == 31,9b1;

cette différence 31,951 étant plus proche de 32 que de 31, nous ajouterons 32 au logarithme de 4856, et nous aurons, toujours abstraction faite des caractéristiques,

Or, le nombre proposé étant 4856359, la caractéristique de son logarithme est 0; ainsi

Log 4856359 = 0,686311.

Dans les grandes tables des logarithmes, les différences forment une dernière colonne que nous n’aurions pu introduire dans la nôtre sans trop la compliquer ; mais il suflit d’un peu d’habitude pour prendre ces différences à l'œil et s’éviter La peine d'écrire les deux logarithmes qui comprennent le logarithme cherché.

9- Lorsque le nombre donné est une fraction, on obtient son logarithme en rétranchant Je logarithme de son dénominateur de celui de son numérateur, Cette

soustraction ne pouvant s'effectuer dans tous les cas où la fraction est plus petite que l'unité, il faut alors exé+ cuter l’opération inverse, c’est-à-dire retrancher le logarithme du numérateur de celui du dénominateur et donner le signe — au résultat; on obtient ainsi un logarithme entièrement négatif, dont il ne faut pas perdre de vue la signification dans tous les calculs où l’on peut le faire entrer, Soit à trouver, par exemple,

le logarithme de 2 ; On aura

Log 15 — 1,113945 Log 8 — 0,903090

Différence = 0,210853 Donc

Log — 243%

10. On peut encore exprimer de deux autres manières les logarithmes des fractions plus petites que l’unité, en attachant une signification particulière à la caractéristique. Pour cet effet, on ajoute à la caractéristique du logarithme du numérateur assez d’unités pour que la soustraction soit possible, ordinairement 10; il en rés sulte que le logarithme de la fraetion est un nombre entièrement positif, mais dont la caractéristique est plus grande qu’elle ne devrait être; de sorte qu'après avoir employé ce logarithme dans des calculs quelcon= ques , il faut tenir compte, pour le résultat final, de l’excédant de la caractéristique. Dans le cas de la frac-

tion 13° NOUS ajouterions 10 à la caractéristique du logarithme de 8, et la soustraction donnerait

Différence — 9,789147 d’où nous aurions Log = 9780147

Le point placé après la caractéristique 9, au lieu d’une virgule, indique que cette caractéristique est trop grande de dix unités.

Si l’on veut retrancher immédiatement les dix unités dont la caractéristique 9 est trop grande, il reste une caractéristique négative — 1, et la partie décimale du

logarithme demeure positive : on exprime cette circon-

stance par le signe — placé au-dessus de la caractéristique, comme il suit :

Log — — 1,789147.

Les trois logarithmes — 0,210853, 9.789147, 1,789147,

: 9p 18 ; appartiennent donc à la même fraction 5? et c’est

Seulement la facilité qui peut en résulter dans la suite des calculs qu’on doit consulter pour choisir entre eux. Si la fraction proposée était décimale, on pourrait opérer de la même manière, en rétablissant son dénominateur. Soit, par exemple, 0,086; cette fraction est

la même chose que

et, partant 1000047 DREESDez

Log 1000 — 3,000000 Log 86 — 1,934498

Différence —= 1,065502 Log 0,086 — — 1,065502

Veut-on le logarithme sous une forme positive, on obtient, en ajoutant 10 à la caractéristique du logarithme de 86,

Différence —=

D'où Log 0,086 — 8.934498, et Log 0,086 — 2,034498.

On peut arriver immédiatement à ces derniers résultats par une observation très-simple : la partie décimale du logarithme d’un nombre dont les seuls chiffres significatifs sont 86 étant 934498, si ce nombre est 86, son logarithme est 1,954498 ; s’il est seulement 8,6, son logarithme devient 0,954498, et comme sa caractéristique doit toujours diminuer d’une unité à mesure que le nombre devient dix fois plus petit, il est évident qu’on a, la partie décimale du logarithme demeurant toujours positive,

Log 0,86 = 1,954498

Log 0,086 — 2,95/4498 Log 0,0086 — 3,934498 etc. — etc.

Ainsi, pour trouver le logarithme d’une fraction décimale sans entiers, il faut faire abstraction des zéros qui précèdent, à gauche, les chiffres significatifs ; chercher davs la table la partie décimale du logarithme, comme si les chiffres significatifs exprimaient des entiers, et donner pour caractéristique négative un nombre d’unités égal à celui des zéros retranchés. De cette manière, on voit tout de suite que le logarithme de 0,000086 est 5,054498. Si l’on veut avoir un logarithme tout positif, on substitue à la caractéristique négative son complément arithmétique ou sa différence avec 10, abstraction faite de son signe, et il faut alors se rappeler que la nouvelle caractéristique est trop grande de dix unités.

11. PROBLÈME II. Un logarithme étant donné, trouver le nombre auquel il appartient.

Laissant d’abord de côté la caractéristique, on cherchera dans la colonne 0, et dans le rang des groupes de deux chiffres, les deux premières figures de la partie décimale du logarithme; les ayant trouvées, on cherchera les quatre dernières figures du logarithme parmi les nombres de quatre chiffres qui sont dans cette même colonne 0, à partir de ceux qui se trouvent en face des deux premières figures et en descendant. Si l’on trouve ces quatre dernières figures, le nombre placé sur leur alignement dans la colonne N contiendra les chiffres significatifs du nombre demandé, et il n’y aura plus qu’à le compléter par des o ou le partager par une virgule, suivant la grandeur de la caractéristique.

Soit, par exemple, à trouver le nombre dont le logarithme est 2,195900 ; ayant trouvé les deux premières figures 19 dans les chiffres isolés de la colonne o, on descendra jusqu’à ce qu’on ait rencontré dans cette même colonne les quatre derniers 5900 , et observant alors que ceux-ci sont placés dans l'alignement du nombre 157, on en conclura que les chiffres significatifs du nombre cherché sont 157. Or, la caractéristique étant 2, le nombre cherché doit avoir trois figures aux entiers : donc ce nombre est 159. Si la caractéristique était 5, le : nombre serait dix fois plus grand, c’est-à-dire 1570; comme il serait 15700 si la caractéristique était 4, et

ainsi de suite. Par la même raison, le nombre ne serait

que 15,7 ou 1,59 si la caractéristique était 1 ou o.

12. Lorsqu'on ne trouve pas dans la colonne o les quatre dernières figures du logarithme, il faut s’arrêter à celles qui en approchent le plus en moins, puis suivre leur alignement dans les autres colonnes 1, 2, 3, etc., pour reconnaître si l’on n’y découvrira pas ces quatre figures. Dans le cas où on les trouverait, le nombre cherché n’aurait que quatre chiffres significatifs, dont les trois premiers sont dans la colonne N, sur le même alignement, et dont le dernier, à droite, est donné par l'indice de la colonne dans laquelle on a rencontré les M quatre dernières figures du logarithme, Demande-t-on, .

par exemple, le nombre dont le logarithme est 0,937367 ? Après avoir trouvé dans la colonne o les deux premières figures 95, on commencera par chercher dans cette colonne les quatre dernières 7367, et comme le nombre le plus proche en moins qu’on y trouvera est 7016, on suivra l'alignement de ces derniers dans les autres colonnes, et on trouvera 5367 dans la colonne marquée 8 ; observant que sur ce même alignement répond le nombre 865 dans la colonne N, on écrira 8 à la droite de ce nombre et on aura 8658; c’est le nombre qu'il s'agissait de trouver. Observant qu’il ne doit avoir qu'un seul chiffre aux entiers, parce que la caractéristique est o, on l’écrira : 8,658.

15. Si les quatre dernières figures du logarithme ne se trouvent ni dans la colonne o ni dans les autres colonnes 1, 2, 5, etc., le nombre demandé n’est pas compris dans les limites de la table, et l’on ne peut trouver immédiatement que ses quatre premiers chiffres significatifs, en s’arrêtant au logarithme qui approche le plus en moins du logarithme proposé. Soit, par exemple, le logarithme 0,497150; il est facile de reconnaître que ce logarithme est entre les logarithmes 0,497058 et 0,497206, dont les nombres correspondans donnés par la table sont 5141 et 3142, ou 5,141 et 5,142, en ayant égard aux caractéristiques. Nous savons ainsi tout de suite que le nombre demandé est plus grand que 3,141 et plus petit que 3,142, de sorte que nous pouvons prendre l’un ou l’autre de ces nombres pour sa valeur approchée à moins d’un millième d'unité près. Lorsqu’on.veut ayoir une approximation plus grande, ou qu'on demande six à sept chiffres significatifs, il faut exécuter sur les différences des logarithmes une opération inverse de celle que nous avons indiquée ci-dessus (8), et, pour cet effet, il faut se procurer d’abord la différence entre le logarithme proposé et le logarithme

de la table qui en approche le plus en moins, ainsi que

la différence de ce dernier avec celui qui le suit immédiatement dans la table. Nous aurions toujours, abstraction faite des caractéristiques,

Log proposé. . . . 497150 Log 3141: - :. 497068

Différence — 82 Log 3142. + . . . 497206

Log 3141 . . . . . 497068

Différence —= 138

Ceci fait, on doit dire : si une différence de 138 entre les logarithmes donne une unité de différence entre les

nombres, que donnera la différence 82 ? On posera donc la proportion