z; d’où, en s’arrêtant à la troisième décimale

æ 82 LP À 0 A x 138 >994

Ainsi, le logarithme proposé 497150 est celui du nombre 5141,594, ou, à cause de la caractéristique 0, celui du nombre 3,141594.

Il est inutiie de poursuivre la division des différences plus loin que la troisième décimale, parce que, avec des logarithmes à six décimales, on ne peut obtenir, dans les cas les plus favorables, que sept chiffres significatifs exacts; généralement, on devra se borner aux deux premières décimales et par suite à six chiffres sis gnificatifs.

14. Si la caractéristique du logarithme proposé était négative, on procéderait de la même manière à la re cherche des six ou sept chiffres significatifs du nombre, puis on écrirait à la gauche de ces chiffres autant de zéros que la caractéristique a d’unités et on poserait Ja virgule après le premier zéro. Dans le cas, par exemple, où le logarithme précédent aurait été 4,497150 au lieu de 0,497150, on aurait écrit quatre zéros à la gauche des sept chiffres significatifs trouvés 3141594, et après avoir placé la virgule à la droite du premier on aurait eu la fraction 0,0003141594 pour le nombre dont le loga-

rithme est 4,497150. Le cas d’une caractéristique complémentaire se ramène toujours à celui d’une caracté= ristique négative, et ne présente par conséquent auçune difficulté.

15. Enfin, si le logarithme proposé était entièrement négatif, on le chercherait dans la table comme s’il était positif, et après avoir trouvé le nombre correspondant, on ferait de ce nombre le dénominateur d’une fraction à laquelle on donnerait l'unité pour numérateur. Soit à trouver le nombre du logarithme — 0,210853. Cherchant dans la table le logarithme 0,210855, on trouve qu'il répond au nombre 1,625, et l’on en conclut que

: ; 1 1000 : RE la fraction cherchée est —— ou ———, qui se réduit 1,029 1029 à —.

Pour se rendre raison de cette règle, il faut obser ver qu’en désignant par z le nombre dont le logarithme est — 1, ON à

270 LOG Mais PUS 2 DORPETTL ainsi LL = —.

Maintenant, si x est le nombre dont le logarithme est —. m, on a aussi

donc

Lorsqu'on veut obtenir en chiffres décimaux la fraction correspondante à un logarithme négatif, il faut retrancher ce logarithme de celui de l’unité, et comme ce dernier est o, on augmente de 10 sa caractéristique, ce qui conduit à un logarithme tout positif, mais dont la caractéristique est complémentaire, c'est-à-dire trop grande de dix unités (10). Le logarithme que nous venons de considérer — 0,210853, traité de cette manière, donne

ou bien encore 1,789147, en remplaçant la caractéristique complémentaire par une caractéristique négative, Ce dernier logarithme cherché (14) dans la table fournit le nombre 0,615385 ; ainsi

al ©

ce qui est exact, à moins d’une unité près sur la dernière décimale.

On voit que tout se réduit à prendre le complément arithmétique (voy. CompLÉMENT, tom. I) du logarithme proposé, et à considérer la caractéristique du résultat comme une caractéristique complémentaire (10). Du reste, cette transformation est liée avec les propriétés des Jlogarithmes, pour lesquelles nous renverrons nos lecteurs au mot Locarirame de notre second volume. Quant à l'emploi des logarithmes dans les calculs, il est peu d'articles de ce Dictionnaire où l’on n’en rencontre des exemples, ce qui nous dispense d’en donner ici de particuliers, notre seul objet ayant été d’expliquer la composition et l’usage de notre table.

Si l’on avait besoin de connaître le logarithme natu-

rel ou hyperbolique d’un nombre donné, il faudrait multiplier le logarithme vulgaire de ce nombre, trouvé dans la table, par le facteur constant

le produit, réduit à 6 décimales , serait le logarithme paturel demandé. Réciproquement, pour transformer un logarithme naturel donné en logarithme vulgaire, on le diviserait par le même facteur, ou, ce qui revient au même, on le multiplierait par le module

Voyez Locarirame, tom. IT.

Nous saisirons cette occasion pour faire connaître une génération par factorielles, que nous croyons nouvelle, de la base des logarithmes naturels, de ce nombre e, si remarquable par sa génération théorique primitiye entièrement idéale,

1 Le e— (: on =) .

Désignant par r, comme c’est l’usage, le rapport du.

diamètre à la circonférence, ou le nombre 3,1415926.., Nous ayons

VER Fa |: as = |° FA RE -

Le développement de cette expression, par le binome des factorielles, donne la série singulière

e=Ay+A;. ur Ë == nes

etc.

dans laquelle les coefficiens numériques A,, A,, A., etc., sont :

En général,