CAM

CAMES. (Méc.) Parties saillantes adaptées à un axe tournant et qui servent à imprimer un mouvement alternatif aux tiges des pilons. Telles sont les cames b, b (PI. 5, fig. 9) qui, ajustées sur le cylindre À, soulèvent alternativement le pilon B par son mentonnet m pour le laisser ensuite retomber.

La courbure de la came se détermine d’après leffet qu'on en veut obtenir. Lorsqu'on désire que l’ascension du pilon seit réguliere, il faut évidemment que la courbe soit telle que le rayon du cylindre moteur décrive des arcs égaux dans le même temps que le mentonnet parcourt des espaces égaux, condition qui se trouve remplie par la développante du cercle, comme on peut aistment s’en assurer. Soit, en effet, bn une partie de la développante du cercle À (PI. 3, fig. 11) rencontrée à son origine en b par la droite mb. Supposons que le cercle À tourne ayec sa développante autour de son centre et que pendant ce mouvement la droite mo s'élève parallèlement à elle-même, de manière que son extrémité o parcoure successivement les divers points de la développante ba tout en décrivant la verticale bM. Lorsque, par suite du mouvement de rotation du cercle À, la développante sera arrivée en b'n', la droite mo, sera en mo'et son extrémité o aura décrit bo’; de même, lorsque la développante sera parvenue en b'n', la droite mo se trouvera dans la position mo", et son extrémité b ayra décrit la droite bo’. Or, d’après la théorie des développées (Voy. ce mot, tom. I), la droite Lo’ est égale à l'arc bb’ du cercle A, et la droite bo’ est égale à l'arc bb’, car bM est tangente au cercle en b, ainsi le rapport de bo’ à bo’ est le même que celui de l'arc bb” à l'arc bb’, et ilen résulte évidemment que, si le mouvement du cercle

-est uniforme, la droite mo décrira des espaces verticaux

égaux pendant que le rayon Ab décrira des ares égaux.

La construction de la développante du cercle s’effectue de la manière suivante : ayant décrit un cercle A (PI. 3, fig.) on portera, un certain nombre de fois sur sa circonférence, un arc @m 1 assez petit pour qu'on puisse le considérer comme une ligne droite. Par tousles points de division 1, 2, 3, 4, ete. on mènera des tangentes indéfinies, puis on prendra la première m'1 égale à m1, la seconde m'2 égale à deux fois m1, la troisième m''3, égale à 3 fois m1 et ainsi de suite. La courbe passant par tous les points m, m', m etc. sera la développante du cercle A. ;

Pour tracer le profil d’une came, on prendra le rayon du cercle À égal à celui du cercle primitif considéré par rapport au mentonnet, c’est-à-dire, égal à la distance qu'il y a entre le centre du mouvement ct l'extrémité du mentonnet lorsque le pilon est en repos; après avoir décrit la développante, on prendra le rayon An égal à la distance qu’il doit y avoir entre le centre du mouyement et l'extrémité du mentonnet lorsque le pilon est arrivé au plus haut point de sa course, et, avec ce dernier rayon, On décrira un arc qui déterminera en 0 l’extrémité de la came mo capable de produire l'effet demandé.

Cette manière de faire mouvoir les pilons est sujette à plusieurs inconvéniens dont le plus grave est le choc de la came contre le mentonnet au moment où elle le rencontre avec sa vitesse acquise ; ce qui occasionne une perte de force motrice. On a cherché à y remédier par diverses dispositions dans lesquelles la vitesse du mentonnet, nulle au moment où il est saisi par la came, s’accélère ensuite progressivement, ce qui fait perdre l’avantage de l’uniformité du mouvement. Pour éviter aussi la déviation du pilon, qui résulte de ce qu'il est soulevé par un seul côté, on a essayé de le revêtir d’une crémaillère (Foy. ce mot) ct d’armer l’axe tournant de dents d'engrénage ; mais ce système est encore plus défectueux que celui des simples cames. (Voy. Belidor, Archit. hydraul.; Hassenfratz, Sidérotechnie; Hachette, Traité des machines.)

CARTES. (Géog. math.) La construction des cartes a pour objet de représenter sur une surface plane la situation respective des divers lieux de la terre. (Voy. tom. F, pag. 94).

Pour qu’une carte fût rigoureusement exacte, il faudrait : 1° que tous les lieux y fussent placés dans leur juste position par rapport aux principaux cercles géographiques, comme l'équateur, les méridiens, les parallèles, etc. ; 2° que les grandeurs des différens pays aient entr'elles les mêmes rapports que sur la surface de la terre ; 3° que les différens lieux fussent respectivement sur la carte aux mêmes distances les uns des autres et dans la même situation que sur la terre elle-même. Ces conditions ne sauraient être généralement remplies.

Lorsque l'étendue du terrain qu’on veut figurer est très-petite, la portion qu’il comprend de la surface du

globe ne diffère pas sensiblement d’une surface plane, et il est possible de conserver aux objets les rapports exacts de grandeur qu’ils ontentre eux, mais lorsque cette étendue est considérable, il devient nécessaire, soit d’altérer quelques-uns de ces rapports pour pouvoir conserver l'exactitude des autres, soit de les modifier tous, suivant le but qu'on se propose en construisant la carte, parce que la surface de la sphère n’est point développable, comme celles du cylindre et du cône, et qu’on ne peut, conséquemment l’étendre sur un plan sans qu’il en résulte des déchirures ou des duplicatures.

L'impossibilité de développer la surface de la sphère a fait adopter, pour la construction des cartes, diverses méthodes quireposent en principesur les proprittés des projections (Voy. ce mot, tom. IT). Qu'onimagine, par exemple, un plan qui coupe la terre dans une position déterminée, puis, de chacun des points de la surface courbe terrestre, qu'on conçoive une perpendiculaire abaissée sur le plan, les pieds de ces perpendiculaires reprësenteront les points correspondans de la surface du globe. Il en sera encore de même, si, au lieu d’être perpendiculaires, les droites projetantes concourent toutes à un même point, alors on pourra considérer ce point comme le point de vue d'un tableau, et les intersections des droites avec le plan de projection ou le plan du fableau seront les perspectives des points correspondans de la surface terrestre. Cette dernitre espèce de projection,

nommée sléréographique, est celle qu’on emploie le plus particulièrement pour représenter un hémisphtre entier. Les cartes construites par ce moyen sont donc de véritables perspectives, et l’altération qui en résulte dans les positions respectives des objets dépend de la situation du tableau et du lieu qu’on choisit pour point de vue.

Or, pour projeter un hémisphère, soit en totalité, soit en partie, on suppose ordinairement que l’œil est placé à l’un des points de la surface terrestre et que le plan de projection est celui du grand cercle dont ce point est le pôle, ce qui présente trois cas différens : 1° l'œil étant à l'un des pôles de la terre, la projection a lieu sur le plan de l'équateur ; 2° l'œil étant entre le pôle et Péquateur, la projection a lieu sur le plan de son horizon ; 5° enfin l'œil étant sur l'équateur même, la projection s'effectue sur le plan d'un méridien. La projection est dite polaire dans le premier cas, horizontale dans le seeond, ct on la nomme, dans le troisième, projection sur le méridien. On peut encore supposer l’œil placé au centre de la terre; il en résulte une quatrième projection nommée centrale dont on ne fait point usage. Nous allons examiner successivement les trois premitres,

1. Projection polaire. On reconnait aisément que lorsque l'œil est à l’un des pôles, la projection de ce pôle est le centre même de l'équateur et que les projections des

cercles parallèles à l'équateur sont des cercles concentriques à ce dernier. Quand aux projections des méridiens, elles sont évidemment des lignes droites.

Avec un rayon AO (PI. 3, fig. 15), choisi d’après la grandeur qu’on veut donner à l'hémisphère, on décrira donc un cercle ACBD qui représentera l'équateur et on prendra pour premier méridien un diamètre quelconque AB; à partir du point À on divisera le quart de circonférence AC en neuf parties égales ou de 10 degrés en 10 degrés, puis par tous les points de division on mènera des diamètres (10)(199), (20)(200),(50)(210),etc. Hs serontles projections des méridiens correspondans aux longitudes 10°, 20°, 50°, cte., 90°. Lamème construction effectuée sur l’arce AD donnera les méridiens correspondans aux longitudes 100°, 110°, ete., 180°.

Pour avoir les projections des parallèles à l'équateur, également de 10 en 10 degrés, on mènera par l’extrémité D du dismitre CD, perpendiculaire au premier méridien AB, des droites B(10), D(20), D(30), etc., qui couperont AO en des points m, m',m', cte., et du point O comme centre avec les rayons bm, bm', bm’, etce.; on décrira des cercles qui seront les parallèles demandées. En effet, si l’on conçoit que le cercle ACBD tourne sur le diamètre AB jusqu’à ce qu’il soit perpendiculaire au plan de la figure, le point D deviendra le point de vue, et les points m, m',m', etc. seront les projections sur le rayon AO des intersections du premier méridien par les cercles parallèles à l'équateur.

Après avoir achevé le réseau, il ne s’agit plus que d’y marquer la position des lieux terrestres, d’après leur latitude et leur longitude, d'y tracer le cours des fleuves, les contours des terres et des mers, ete., ete. Dans cette projection, les méridiens et les parallèles se coupent à angles droits comme sur la sphère, mais les degrés égaux des méridiens y sont représentés pour des pogtions de ligne droite inégales, ce qui raccourcit l’étendue des terrains en allant de l’équateur au pôle.

2. Projection sur un méridien. L'œil étant toujours placé au centre de l'hémisphère opposé à celui qu’on veut représenter est, de plus, sur l’équateur même, et alors la projection de ce cercle est une droite perpendiculaire à l’axe du globe. -

Soit done AB (PI. 5, fig. 12) la projection de l’équateur ; avec la moitié de celte droite, pour rayon, on décrira la circonférence APBP'; ce sera le méridien sur lequel on doit faire la projection. La diamètre PP’, perpendiculaire à AB sera l'axe de la terre ct représentera en même temps la projection du méridien qui passe par le point de vue dont le centre O est la projection.

Après avoir divisé comme ci-dessus l’arc AB de 10 en 10 degrés, menons par le premier point de division (10), le diamètre (10)(190) et par le pôle P' tirons les droites P'(10), P'(190) dont la première coupera le dia-

mètre AB en un point m, et la seconde le prolongement de ce même diamètre en un point x; les points m et n seront les projections des extrémités du diamètre du méridien éloigné de 10° en longitude par rapport au méridien AB; du milieu de mn, comme centre, on décrira donc l’arc PmP' qui sera la projection du méridien en question. Cette mème construction, répétée sur les diamètres (20)(200), (50)(210) etc., donnera tous les méridiens compris dans la moitié PAP’ de l'hémisphère, et comme les deux moitiés sont symétriques, il suflira de reporter de O vers A la longueur des rayons compris de © vers B pour décrire les méridiens de la partie PBP.

Les projections des parallèles à l'équateur devant passer par les points correspondans de division (80) et (100), (70) et (120), etc., et leurs centres étant tous situés sur le prolongement de l’axe PP, on déterminera ces centres en menant du point B une droite à chacun de ces points; par exemple, B(40) et B(120), dont la première coupe l'axe en m et son prolongement enn;mn étant le diamètre du parallèle (40)(120), du milieu de cette droite, comme centre, on décrira l'arc (4o}m (120) qui sera la projection du parallèle demandé, et ainsi des autres.

Cette projection est employée pour la construction des mappemondes; elle a l'avantage de représenter d’une manière un peu plus exacte que la précédente les distances des lieux à l'équateur et au premier méridien ; mais elle rend les degrés de l’équateur inégaux, ce qui raccourcit toutes les parties situées vers l'axe. On construit depuis peu de temps des mappemondes dans lesquelles les espaces sont moins altérés, en remplaçant la projection stéréographique par la projection suivante qui n’est plus une perspective du globe.

Après avoir divisé en parties égales, par exemple, en 18 (PI. 4, fig. 1), chacun des diamètres rectangulaires AB et PP’, on divise en 9 parties égales chacun des arcs AB et AP’, puis on fait passer d’une part des arcs de cercle par tous les points de division m et par les pôles P et P'et de l’autre par tous les points de division n et par les points correspondans (10), (20), ete. ; les premiers représentent les méridiens et les seconds les parallèles à l’équateur ; les uns et les autres de 10 en 10 degrés.

3. Projection horizontale. Dans cette projection, c’est l'horizon rationnel qui est le tableau, le point de vue est le pôle de l’horizon, et le méridien qui passe par ce pôle et qu'on nomme méridien principal est une ligne droite, sur laquelle se trouve le pôle de l'hémisphère représenté.

Soit ABCD (PI. 4, fig. 2) l'horizon d’un lieu, son centre O sera la projection du point de vue et on pourra choisir un diamètre quelconque AC pour représenter le méridien principal. Ayant mené le diamètre BD per-

Tom, nr.

CAR 25 pendiculaire AC, ainsi que le diamètre pp' qui fait avec AC un angle pOA égal à l'élévation du pôle au-dessus de l'horizon, on tirera les droites Dp et Dp' qui couperont AC prolongé en deux points P et P' dont le premier sera la projection du pôle supérieur et le second la projection du pôle inférieur. Les projections des méridiens, qui passeront toutes par les pôles P, P', auront en même temps leurs centres sur la droite MN perpendiculaire sur le milieu de PP’.

Pour trouver ces centres, on décrira du point P avec le rayon PE le quart de cercle EQ qu’on divisera en neuf parties égales, si lon ne veut avoir les méridiens que de 10 en 10 degrés; on ménera ensuite du point P à chacun des points de division une droite, qu’on prolongera jusqu’à ce qu’elle rencontre MN; les points d’intersections «&, b, ce, ete., ainsi obtenus, seront les centres de méridiens qu’on décrira avec leurs rayons respectifs aP, bP, cP, etc. Le point E est le centre du méridien DPB perpendiculaire au méridien principal AB.

La construction des paralleles ne présente pas plus de difficulté. Après avoir divisé la circonférence ABCD en 36 parties égales à partir du point p, on mènera aux deux divisions également éloignées de p, des droites Di) et D(1'), D(2) et D(2°), etc., et les intervalles vw, v'u', vu’, etc., déterminés par ces droites sur le méridien AB seront les diamètres des parallèles. La projection de l'équateur passera par les points B et D qui marquent l’est et l’ouest de la carte; une moitié seule de ce cercle se trouve projetée parce qu'il est coupé en deux parties égales par le plan de l'horizon.

Les altérations que cette espèce de projection occasionne ne sont pas symétriques par rapport au pôle.

4. Des projections par développement. Les constructions que nous venons d'indiquer deviennent très-embarrassantes pour les cartes particulières où les rayons des méridiens et des parallèles sont d’une longueur considérable, aussi les géographes préfèrent-ils dans ce cas les projections dites par développement à la projection stéréographique. On en distingue de deux espèces : les premières se nomment développemens coniques, les secondes, développemens cylindriques.

On sait qu'une zone sphérique d’une très-petite largeur ne diffère pas sensiblement de la surface convexe d’un cône tronqué, et comme cette dernière est exactement développable sur un plan, on peut obtenir, en opérant ce développement, une représentation d'autant plus exacte de la zone que celle-ci est plus étroite et se confond mieux avec la surface du cône.

Considérons, par exemple, la zone sphérique dont ab (PI. 4, fig. 5) est la largeur, si nous imaginons un cône tangent au parallèle moyen M de cette zone, les surfaces du cône et de la zone, coïncidentes à ce parallèle, s'écarteront à sa droite et à sa gauche et en pro-

jetant les lignes géographiques de la zone sur la surface du cône, les projections des méridiens feront entre eux des angles moindres que sur la sphère, et les projections des parallèles seront plus grandes que ces parallèles, tant à la droite qu’à la gauche du parallèle moyen.

Si, au lieu d'employer le cône tangent, nous prenons le cône inscrit, la corde ab est alors le côté du tronc de cône dont la surface développée doit former la carte, et il est facile de voir que cette carte sera parfaitement exacte sur les parallèles extrêmes a et b; mais que les parallèles intermédiaires seront trop petits.

Par une disposition intermédiaire entre le cône tangent et le cône inscrit, on peut encore diminuer l’altération des parallèles, comme l’a fait Delisle dans sa carte générale de Russie, Ce géographe a choisi pour la surface conique représentative d’une zone, celle qui la coupait suivant deux parallèles placés chacun à égale distance du parallèle moyen et de l’un des parallèles extrêmes. Le celte manière, les dimensions des parallèles communs au cône et à la sphère ne sont point altérés, et l'étendue de la carte diffère peu de l'étendue terrestre correspondante, parce que l'élargissement des parties inférieures se trouve à peu près compensée parle rétrécissement des parties supérieures.

Quelle que soit celle de ces dispositions qu’on veuille adopter, les intersections des plans des parallèles avec la surface conique déterminent sur cette surface les projections des parallèles, et les projections des méridiens sont des lignes droites qui concourent au sommet du cône. Il en résulte qu’en développant la surface conique, les parallèles deviennent des ares de cercle dont le centre commun est au sommet du cône, et que les méridiens demeurent des droites concourantes àce sommet, ce qui conduit aux constructions que nous allons exposer, en prenant pour premier exemple le cas du cône tangent au parallèle moyen.

Observons d’abord que, dans le développement, le rayon du parallèle moyen M (fig. 3)est la droite MO, cotangente de l'angle ECM ou de la latitude de ce parallèle; ainsi, après avoir tracé (fig. 4) une ligne indéfinie AO, on prendra une longueur OM sur cette ligne, égale à la cotangente du parallèle moyen de la carte, puis du centre O avec OM pour rayon, on décrira un are indéfini NN'; cet arc représentera le parallèle moyen de la carte.

Supposons maintenant que l'amplitude de ce parallèle moyen ou que sa partie comprise entre les limites de l'espace terrestre qu’on veut représenter soit de 50 degrés. Comme dans la sphère, le rayon de ce parallèle est MR, tandis qu’il est MO dans Ja carte, et que les nombres de degrés contenus dans deux arcs égaux sont entre eux dans le rapport inverse des rayons, on aura,

si NN représeute l'amplitude du parallèle moyen sur la carte,

MR angle NON'— NO 50° Ayant done calculé le nombre des degrés de l'angle NON’, on construira cet angle en faisant de chaque côté de OA un angle égal à sa moitié.

Pour décrire les parallèles extrêmes, on prendra sur l'axe AO de la carte deux parties Ma et Mb égales chacune à la moitié de la différence ab de latitude de ces parallèles extrêmes ; si, par exemple, cette différence est de 40 degrés, on prendra la longueur de 20 degrés sur l’échelle de la carte et on la portera de M en @& et en b, puis du centre commun O on décrira les ares DD’ et EE”.

Si l’on veut que les méridiens et les parallèles soient distans les uns des autres de 10 degrés, on partagera NN'en 5 parties égales et ab en 4, puis on mènera les lignes de la figure. DD'E'E sera le réseau de la carte.

C'est de cette manière qu'ont été construites la plupart des cartes particulières des empires.

Dans le cas du cône inscrit, il s’agit de déterminer préalablement la grandeur de AO (PL 4, fig. 5), rayon du premier parallèle extrême. Or l'angle O a pour mesure

2 AP'— 1 BP— — : (90° AE) — : (g0°— BP) LAE—2DP,

ou + lat À — : lat B, et on a dans le triangle rectangle AOm