sin (ES ) — AO :coslatÀ

ve qui donne

cos latA 5 7 sin; (lat A— lat B)”

le rayon de la sphère étant pris pour unité. Après avoir décrit une droite égale à AO, dont on déterminera la grandeur soit par la construction graphique dela figure5, soit en la calculant à l’aide des tables des sinus, on cherchera l’amplitude du premier parallèle extrême sur la carte, d’après son amplitude sur la terre. Cette amplitude sera

Am ARE

À désignant le nombre des degrés de l'amplitude terrestre. Le reste de la construction s'effectuera d’une manière analogue à la précédente.

Ces principes sont immédiatement applicables à toutes les autres positions qu'on voudrait donner à la surface conique , car il s’agit uniquement de déterminer la grandeur du rayon d’un parallèle commun à la surface du globe et à la surface conique , ainsi que l’amplitude que doit avoir ce parallèle sur la carte; ces deux quantités déterminent la grandeur de toutes les autres.

5. Projection conique modifiée. Pour éviter l’altération des aires, Flamsteed a employé dans son Atlas céleste une espèce de projection dans laquelle le méridien du milieu de la carteet les parallèles sont développésenlignes droites, tandis que tousles autresméridiens sont courbes, ce qui permet de représenter le quadrilatère compris entre deux méridiens et deux parallèles quelconques sur la surface de la sphère, par un quadrilatère équivalent sur la carte, mais ce qui présente le désavantage d’altérer considérablement la configuration des parties situées vers les limites de la carte. En adoptant la projection de Flamsteed, pour ce qui concerne les méridiens, les géographes ont su diminuer ses inconvéniens en rendant cireulaires tous les parallèles et les faisant concentriques au parallèle moyen de la carte, dont le centre est sur le méridien rectiligne, et qui a pour rayon Ja cotangente de sa latitude comme dans la projection conique pure. C’est d’après la projection de Flamsteed, ainsi modifite, que Bonne et Delisle ont construit les cartes des quatre parties du monde.

Soit done OM (PI. 4, fig. 6), le rayon du parallèle moyen et AB ce parallèle, ayant porté au-dessus et audessous du point M, sur le méridien rectiligne MN, des parties Ma, ab, be, etc. égale chacune à la grandeur, prise sur l'échelle, de 10 degrés, où de 5 ou même de 1 degré, suivant la distance qu'on veut donner aux parallèles, du point O comme centre on décrira les arcs concentriques CD, EF, etc. Nous supposerons que les parallèles doivent être tracés ainsi que les méridiens de degré en degré.

Ceci fait, on divisera chacun de ces ares, à partir du méridien MN et à la droite et à la gauche de ce méridien, en parties égales entre elles et qui seront égales à l'intervalle d’un degré du parallèle correspondant sur

le globeterrestre, puis on fera passer des courbes par

toutes les divisions d’un même ordre. Ces courbes représenteront les méridiens de degré en degré.

Les avantages de cette construction sont évidemment de conserver entre les parties des méridiens rectilignes et celles des parallèles les mêmes rapports qu'elles ont sur la sphère; ses défauts sont d’altérer les rapports des autres méridiens, mais comme elles ne commencent à devenir sensibles que loin du centre du développement, on doit préférer cette méthode à toutes les autres, d'autant plus qu'il est très-facile d'y tenir compte de l'aplatissement de la terre, en calculant les

degrés des parallèles pour un sphéroïde et non pour une sphère.

» Vu la difficulté et souvent même l'impossibilité de tracer des ares de cercle d’un très-grand rayon, l'on a pris le parti de construire ces courbes par points, en les rapportant pour plus de facilité et de précision à des coordonnées rectangles. Sur les cartes gravées au dépôt

——— on y remarque le

de la guerre, ou à l'échelle de 50000

méridien et les parallèles tracées de décigrade en décigrade (de dixième en dixième du grade ou degré centésimal), ces lignes ont une courbure si peu sensible, que les quadrilatères qu’elles forment peuvent être considérés comme rectilignes. Ainsi, pour construire le canevas d’une carte, il ne s’agit que de connaître les coordonnées rectangles des sommets des angles de ces quadrilatères ; sauf ensuite, si le cas l'exige, à tracer les courbes des méridiens et des parallèles à l’aide d’une règle élastique dont l’usage est très-facile.

» Mais le choix de l’origine des coordonnées n’est pas indifférent. En effet, la grande étendue des pays à figurer exige souvent que la carte soit composée de plusieurs feuilles; or, pour leur donner des dimentions agréables à la vue, les rendre faciles à consulter et les assujettir toutes au même format, on est convenu que chacune aurait 8 décimètres de longueur sur 5 décimètres de hauteur. Ainsi, en prenant d'abord pour origine des coordonnées le centre commun des parallèles , et pour axe des abeisses le méridien moyen de la carte qui la traverse en son milieu, ilest évident que cette origine est située hors de cette carte, et que souvent aussi le méridien principal est hors de la feuille à construire; il ÿ a donc un peu plus d'avantage à prendre pour origine le centre du développement, c’est-à-dire le point du méridien rectiligne par lequel passe le parallèle moyen. Cependant, toutes les fois que les coordonnées des angles des quadrilatères excèdent les dimensions d'une feuille , il sera commode de transporter en outre l’origine à l'un des angles de la feuille sur laquelle on opère, ct de prendre pour nouveaux axes des coordonnées les lignes mêmes du cadre, qui doivent être constamment parallèles aux coordonnées primitives, c'est-à-dire, au méridien principal et à la tangente du moyen parallèle,

» C'est de cette manière qu’on opère pour la nouvelle carte de France; sur cette carte, la courbure des parallèles est réglée d’après celle que prend le parallèle du 50° grade (45° degré sexagésimal), dont le centre est situé sur le méridien reetiligne de Paris, pris pour axe principal des abcisses ; ainsi, à la latitude de ce parallèle moyen, le grade du méridien vaut 1060000 mètres, et non loin du centre du développement, les distances respectives des lieux sont à fort peu près les mêmes sur la sphère que sur le sphéroïde terrestre, De là résulte Ja

possibilité de former très-aisément des cartes chorographiques, par la simple réduction des levés, à l'échelle convenue ; puisque l’on conserve absolument la même projection, et que l’on élude les difficultés et les erreurs auxquelles le passage d’une espèce de projection à une autre espèce donne licu. »

Les calculs nécessaires à la confection des cartes par ce procédé, le plus en usage aujourd'hui, sont assez nombreux. Ils exigent des détails dans lesquels nous ne pouvons entrer, et pour lesquels nous renverrons nos lecteurs au Traité de topographie de M. Puissant, à qui nous avons emprunté les trois paragraphes précédens.

6. Développement cylindrique. Concevons qu’une zone sphérique soit inscrite ou circonscrite dans un cylindre droit, dont l’axe coïncide avec celui de la sphère, et que les plans des méridiens et des parallèles déterminent, par leurs intersections avec la surface convexe du cylindre, les lignes qui représenteront leurs projections sur cette surface développée. Les plans des méridiens couperont la surface courbe du cylindre suivant des lignes droites parallèles à l'axe, tandis que les plans des parallèles formeront sur cette surface des cercles parallèles égaux chacun à celui qui compose la base du Cy— lindre, de sorte qu’en développant la surface du cylindre, ces parallèles deviendront des lignes droites perpendiculaires aux méridiens.

Dans le développement cylindrique, les méridiens et les parallèles sont donc des lignes droites rectangulaires, disposition qui permet aux marins de tracer facilement, sur la carte ainsi construite, le chemin qu'ils ont parcouru, ou de calculer celui qui leur reste à faire. Ces cartes, nommées cartes plates, ont été inventées par don Henri, infant de Portugal; elles ont le défaut d’altérer les rapports de grandeur entre les degrés des parallèles et ceux des méridiens.

7. Cartes réduites. L'utilité de représenter les méridiens par des lignes droites parallèles, dans les cartes marines, vient de ce que la direction d’un rhumb de vent coupe sous le même angle tous les méridiens qu'il rencontre, Ce qui fait parcourir aux vaissaux, sur la surface des mers, une ligne courbe qui ne saurait être représentée sur les cartes à méridiens non parallèles que par une espèce de spirale difficile à décrire. (Voy. Loxonno- 1e.) Dès qu'on eut remarqué les défauts des cartes plates, on sentit la nécessité d'abandonner la projection cylindrique, ou du moins de la modifier. Mercator indiqua le premier qu'il fallait faire croître les degrés du méridien d'autant plus qu'ils s’éloignent de l'équateur, mais c'est à Édouard Wrigt qu'est due la loi de cette augmentation, quoiqu'il soit d'usage de nommer projection de Mercator, la projection cylindrique altérée dont on se sert généralement aujourd’hui.

Pour bien saisir le principe de cette projection , il

CAR faut observer que les degrés des parallèles terrestres comprennent sur la surface du globe une étendue d’autant plus petite qu'ils sont plus éloignés de l'équateur ou que leur latitude est plus grande, tandis que les degrès des méridiens sont toujours égauxentre eux et à celui de l'équateur, du moins en considérant la terre comme sphérique. Or, si l'on désigne par g la grandeur constante du degré de l'équateur, et par la grandeur des degrés

du parallèle dont la latitude est ), le rapport du degré du parallèle au degré du méridien, à la latitude }, sera 7,

ainsi, lorsqu'on fera sur un carte tous les degrés des parallèles égaux au degré g de l'équateur, il faudra que le degré du méridien qui commence à la latitude à ait une grandeur æ telle que son rapport avec le degré g

du parallèle, soit égal à ! , Où qu'on ait 5 Ï

JE, CT ce qui donne + RME

Mais, en considérant le rayon de la sphère comme celui des lables des sinus=— 1, le rayon A m (PI. 4 fig. 5) d’un parallèle est le cosinus de l'arc EA ou de la latitude de ce parallèle ; donc

glly 1 cos):

car les longueurs de deux arcs d’un même nombre de degrés sont proportionnelles aux rayons des cercles dont ils font partie. Tirant de cette proportion la valeur de ; et la substituant dans celle de >, il vient

c’est-à-dire que les degrés du méridien sur la carte doivent être proportionnels aux sécantes de leurs latitudes. Si au lieu de prendre l'intervalle d’un degré on prend

celui d'une minute, on aura évidemment de même

1 du méridien— 1 de l'équateur X séc ).

Ainsi, lorsqu'on fait constamment sur la carte la minute d'un parallèle quelconque égale à celle de l’équateur , l'intervalle de deux parallèles consécutifs, ou la différence de leur latitude, correspondante à une minute, doit être égale à 1° Xséc), } étant la latitude du parallèle le plus proche de l'équateur. Pour trouver l'intervalle correspondant à un nombre quelconque de minutes, il faudra former la somme de toutes les sécantes de minute en minute, depuis celle de la plus petite latitude jusqu’à celle qui précède la plus grande, Par exemple,

si l'on veut connaître la distance qu'on doit donner sur la carte aux parallèles dont les latitudes respectives sont 45° et 45° 4°. on devra former la somme

séc 45° séc (45°1')Hséc (45° 2°) Lséc (45° 3°)

et comme cette somme est à peu près 5,66, l’intervalle cherché sera 1° X 5,66 ou 5,66 ; c’est-à-dire qu'il faudra donner à la partie du méridien comprise entre le parallèle de 45° et celui de 45° 4, cinq fois et demie environ la grandeur arbitraire qu’on a prise pour représenter dans la carte une minute de l’équateur. Les cartes construites sur ce principe se nomment cartes réduites ou cartes par latitudes croissantes.

Outre que les calculs sont très-prolixes par le procédé que nous venons d'indiquer, on ne peut compter sur des résultats entièrement rigoureux, car l'arc d’une minute diffère sensiblement de sa corde. Il faudrait, pour plus de précision, diviser cet intervalle en parties trèspetites, comme en secondes , mais il est beaucoup plus simple, dans tous les cas, d’avoir recours à la méthode directe que nous allons indiquer.

Désignons par s la longueur d’un arc du méridien terrestre compris entre l'équateur et le cercle parallèle qui a } pour latitude, ds sera l'accroissement infiniment petit que recoit cet arc, lorsque la latitude } croît de d); désignons en outre par s' la longucur linéaire qu'a, sur la carte réduite, l'arc s du méridien circulaire; il s’agit de déterminer l’accroissement ds’ qui doit représenter sur la carte l’accroissement correspondant ds. Or, d’après ce qui précède, une partie très-petite, prise sur le méridien de la carte, doit être à la partie correspondente du méridien de la terre, dans le rapport du rayon de l'équateur à celui du parallèle de l’origine de cette partie. Soit donc R le rayon de l'équateur, r celui du paralléle de la latitude }, nous aurons

ds: ds=R:r

mais le rayon de la terre étant R, celui du parallèle est R cos ?, et de plus ds — Rd), donc la proportion précédente est la même chose que

ds: Rd) — 1 : cos)

d'où l'on tire

et, en intégrant,

On aura donc ainsi la longueur s° qui représente sur le méridien rectiligne de la carte, l'arc s du méridien circulaire de la terre.

Réalisant l'intégration, on obtient

s'—R log tang + (90° à)

il n’y a pas besoin d'ajouter de constante, parce que s —0, lorsque } — 0.

Dans cette formule, s’est donné en mêmes unités que le rayon R de l'équateur; pour l'avoir en minutes, il faut faire

et de plus, le logarithme énoncé étant un logarithme naturel, on ne peut se servir des logarithmes tabulaires qu’aprèsles avoir multipliés parle module 2,302585093. En tenant compte de ces circonstances, on obtient pour l'expression de s'en minutes,

8 — (35457 ,746) (2,302585) Log tang (45° 1) 7 574 Le] o Ex

le logarithme indiqué étant un logarithme tabulaire. Cette forme se réduit à

5 — (7915 ,704468) Log tang (45°+-1))

Si l'on veut calculer s° à l’yjde des logarithmes, on

Ecaco (0)

Log s —

5,8984896 + Log (Log tang (45° +:))

et les opérations deviennent très-simples. Soit, par exemple, à trouver la longueur de la partie du méridien comprise entre l'équateur cet le parallèle du 48° degré de latitude; on fera }— 48° et on cherchera dans les tables le logarithme de la tangente de 45° 26° — 69"; ce logarithme étant 0,4158226, on aura ensuite

Log (0,4158226) — 9,6189081 Nombre constant — 5,8984896

Log s' — 5,5175977

Pat

d'où s — 3291.

En procédant de cette manière la construction de la table suivante, très-utile aux marins, n’est plus compliquée des interminables additions qu'ont eu à effectuer les premiers qui l’ont calculée. Elle renferme, de dix minutes en dix minutes, les longueurs qu'il faut donner aux

divisions du méridien dans les cartes réduites.

LATITUDES

TABLE