POI
étant sollicités par des forces égales et parallèles agissant dans la direction de la verticale. La résultante de toutes ces forces forme proprement le poids du corps, et il est important de ne pas confondre la pesanteur avec le poids, parce que la pesanteur est la force qui imprime des impulsions égales à toutes les particules élémentaires des corps, tandis que le poids n’est que la résultante de toutes ces impressions. Sila composition des corps était homogène, deux corps égaux en volume contiendraient le même nombre de particules matérielles également pesantes, et auraient, par conséquent, le même poids; mais on sait que tous les corps sont poreux et qu’ils renferment ainsi des quantités de matière très-différente sous des volumes égaux. La quantité absolue de matière dont un corps est composé se nomme sa masse (voy. ce mot).
D’après la théorie des forces parallèles, si nous désignons par M le nombre des particules élémentaires ou la masse d’un corps; chacune de ces particules étant sollicitée par la pesanteur, qu’on représente par la vitesse g, que cette force peut imprimer dans l’unité de temps, la résultante des forces agissant sur le système ou corps M aura pour expression Mg (voy. RésurranTE), et comme cette résultante est le poids du corps, en nommant P ce dernier, nous aurons la relation fondamentale
P = Mg,
qui permet de substituer les poids aux masses dans toutes les questions de mécanique où entrent ces dernières.
Deux corps ont des masses égales, et par suite des poids égaux, lorsque, suspendus aux extrémités d’un levier du premier genre à bras égaux, ils se font équilibre. En effet, si nous désignons par M et M' les masses de deux corps et que nous imaginions qu'ils soient suspendus par des fils sans pesanteur aux deux extrémités
d’un levier dont les bras égaux aient une longueur — 4,:
nous pourrons faire abstraction de cés corps et considérer seulement le levier comme s’il était sollicité par deux forces Mg et M'y; or, pour qu'il y ait équilibre, il faut, d’après la théorie du levier, qu’on ait
aMg = aM'g,
relation qui entraîne nécessairement l'égalité M = M. C’est sur ce principe qu'est fondée l'évaluation du poids des corps, au moyen de la balance (voy. ce mot), instrument qui n’est qu’un levier. On prend pour unité de mesure un corps d’un volume déterminé et d’une composition homogène, et ce que l’on nomme le poids d’un corps en général est le nombre qui exprime combien il faut d'unités de poids pour lui faire équilibre dans une balance. Dans notre système métrique, l'unité
de poids, sous le nom de gramme, est un centimètre cube d’eau distillée ramenée à son maximum de condensation ; ainsi lorsqu'on dit, par exemple, qu’un certain corps pèse 20 grammes, on entend qu’en le plaçant dans le plateau d’une balance, il faudrait placer dans l’autre plateau 20 centimètres cubes d’eau distillée pour lui faire équilibre.
On donne en particulier le nom de poids aux corps qui servent à mesurer ou à peser les autres corps. Ainsi, le morceau de cuivre capable de faire équilibre à un centimètre cube d’eau distillée est le poids d’un gramme, qu’on peut employer ensuite à la place de ce centimètre , soit pour peser, soit pour former des multiples de l'unité primitive ou des poids plus grands, comme le décagramme, V'hectogramme, le kilogramme, etc. Voy. Mesure, tome II.
POMPE. (Æydraul.) Nous exposerons, dans cet article, la théorie des diverses espèces de pompes dont nous n’ayons qu’indiqué les dispositions principales, tome IT, page 346.
1. Pompe aspirante. La figure 13, PI. XVII, représente une pompe de ce genre, la figure 14 est sa coupe verticale.
e est le tuyau d’aspiration, ou celui qui plonge dans l’eau , kh le corps de pompe, b le piston qui se meut dans le corps de pompe par un mouvement de va-etvient, imprimé à l’aide d’un levier coudé d. La figure 2 montre le jeu de l'appareil au moment où le piston remonte; alors il pousse au-dessus de lui l’eau contenue dans le corps de pompe et la jette dans le dégorgeoir; dans le même temps, le vide se formant au-dessous du piston, la pression atmosphérique qui agit sur l’eau du puisard la fait monter dans le tuyau d’aspiration; elle pousse la soupape f, nommée soupape dormante , et se répand dans le corps de pompe en suivant le piston. Lorsque celui-ci, parvenu au haut de sa course, commence à descendre, le poids de l’eau ferme la soupape f, et l’eau contenue dans le corps de pompe se trouve isolée ; la résistance qu’elle oppose à la descente du piston soulève la soupape € du piston, de sorte que lorsqu'il est arrivé au bas de sa course, l’eau qu’il avait sous lui se trouve au-dessus. Dans une nouvelle ascension, il trouve devant lui une masse d’eau à enlever, sa soupape se ferme, la soupape dormante fse rouyre,et ainsi de suite. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que le tuyau d'aspiration ainsi que le corps de pompe étaient déjà pleins d’eau au moment où le piston se meut; pour mieux nous rendre compte de la manière dont cette première action s'effectue, imaginons le piston à son point le plus bas et tous les tuyaux vides. Il reste ordinairement entre le piston et la soupape dormante un espace plus ou moins grand, et que les hydrauliciens
allemands nomment l’espace nuisible, pour des raisons que nous verrons tout-ä-l’heure; l’air dont cet espace est rempli lorsque le piston s'élève pour la première fois se dilatant à mesure que le piston monte, et finissant par remplir toute la capacité du corps de pompe, diminue de densité et de force élastique, de sorte qu’il ne peut plus faire équilibre à la pression constante que l'air extérieur exerce sur la surface nn de l’eau du puisard , et qui est transmise à la soupape dormante par l’air contenu dans le tuyau d’aspiration : cette soupape est donc poussée de bas en haut, elle s'ouvre, et l'air du tuyau d’aspiration se mêle avec celui du corps de pompe, pendant qu'une colonne d’eau monte dans le tuyau aspirateur jusqu’à une hauteur telle que sa pression augmentée de celle qui est due à l’air intérieur fasse équilibre à la pression atmosphérique. Si maintenant on abaisse le piston, la soupape dormante se ferme, celle du piston s'ouvre, l’air contenu dans le corps de pompe passe sur le piston, et lorsqu'il remonte de nouveau, la masse d'air comprise entre lui et-la colonne d’eau se trouvant diminuée, cette colonne acquiert uné plus grande hauteur en vertu de la pression toujours constante que l’air extérieur exerce en dehors sur la surface de l’eau du puisard. Ainsi, à chaque montée du piston, l’eau monte dans le tuyau d'aspiration, jusqu’à ce que la densité de l’air contenu dans le corps de pompe soit égale à celle de l’air extérieur, et comme à chaque descente une partie de cet air intérieur passe au-dessus du piston qui le chasse, en remontant, dans le tuyau de décharge, il en résulte qu'après un certain nombre de coups de piston le corps de pompe et le tuyau d’aspiration seront vides d'air, et, par conséquent, que la colonne d’eau acquerra la plus grande hauteur à laquelle la pression atmosphérique puisse faire équilibre dans le vide ; en admettant donc que la distance verticale du piston, au niveau »n de l’eau du puisard ne dépasse pas cette hauteur, lorsqu'il est au plus haut de sa course, le jeu de la pompe se trouvera définitivement établi,
comme nous l'avons exposé en premier.
2. La première condition essentielle du jeu d’une pompe aspirante consiste donc en ce que la plus grande hauteur du piston au-dessus du niveau de l’eau du puisard soit tout au plus égale à la hauteur de la colonne d’eau que la pression atmosphérique est capable de soutenir dans le yide; or, en désignant par À la hauteur moyenne du baromètre dans le lieu où la pompe est établie, et par K celle de cette colonne d’eau, on sait que le rapport des quantités k et K est égal au rapport inverse des densités du mercure et de l’eau ( voy. Hypnonyxa- Mique, tome II), c’est-à-dire qu'on a
d'où
Ainsi, au niveau de la mer, où l’on a À = 0",762, la hauteur K ne peut dépasser 10°,4, mais en observant que la pression atmosphérique varie d’un jour à l’autre dans le même lieu, il faut admettre que, pour les pompes aspirantes, la limite que le piston ne doit pas dépasser dans son ascension ne saurait être à plus de 12 h au-dessus du puisard, À étant la hauteur moyenne du baromètre dans la localité où est la pompe: ce sera de 9 à 8 mètres, selon que l'élévation du lieu au-dessus du niveau de la mer sera de 100 à 1000 mètres.
5. Une autre circonstance tend à diminuer la hauteur K, c’est l’espace qui reste entre le piston parvenu au bas de sa course et la soupape dormante. En effet, désignons par e cet espace, par E la capacité totale du corps de pompe, et nommons k' la hauteur de la colonne d’eau — 15,598h, qui représente la pression atmosphérique. Soit, de plus, k la hauteur à laquelle l’eau est parvenue dans le tuyau d'aspiration, après quelques coups de piston, et y la force élastique de l'air compris entre la surface de cette eau et la soupape dormante, ou plutôt # la hauteur d’une colonne d’eau dont le poids mesurerait cette force élastique ; comme celle-ci, plus le poids de la colonne d’eau k fait équilibre à la pression
atmosphérique, nous avons h—=k+»Y, d'où
D'autre part, le piston étant supposé au bas de sa course, la masse d'air quiremplit l’espaceea lamême force élastique que l'air atmosphérique et par conséquent égale à k°. Ceci posé, lorsque le piston se lève, cette masse d'air se dilate et finit par remplir l’espace E; sa densité di-
e ; fee ; minue dans le rapport E° et sa force élastique devient
h' £, ; si la force # de l’air au-dessus de la soupape dor-
mante est plus grande que cette dernière, elle ouvrira la soupape, dont nous ne considérons point ici le poids, une partie de l'air inférieur entrera dans le corps de pompe, # diminuera et deviendra #,, et l’eau s’élèvera d’une nouvelle quantité dans le tuyau d’aspiration. Lorsque le piston descendra, la masse d’air qui vient de s’introduire dans le corps de pompe s’échappera en soulevant la soupape 6, de sorte qu’à la fin de sa course il ne restera entre lui et la soupape dormante, dans l'espace e qu'une quantité d’air égale à la première, ayant toujours la force À. Quand le piston remontera ,
la soupape dormante ne pourra se rouvrir qu'autant qu’on aura
Fu n>DhE)
de sorte qu'après un nombre y d’oscillations du piston à partir de celle où la colonne élevée était #, si les deux forces au-dessus et au-dessous de la soupape dormante se font équilibre, cette soupape ne s'ouvrira plus et l’eau ne s’élèvera pas davantage, quoique le jeu du piston continue. On aurait alors
n G) PE
d'où l’on peut déduire
à cause de la relation ox = k' — kg. Cette expression indique la plus grande hauteur #4 que l’eau puisse atteindre dans un long tuyau d'aspiration. Ce sera donc seulement lorsque la plus grande hauteur K du piston au-dessus du niveau du puisard ne dépassera pas 4 que l'effet utile de la pompe pourra avoir lieu, et l’on voit que K différera d’autant plus de k = 13,5984 que e sera plus grand par rapport à E, ce qui rend sensible comhien cet espace e est préjudiciable à l’effet de l’aspiration. Il est donc important de le rendre le plus petit possible, tout en lui laissant assez de grandeur pour que, par suite du jeu que prennent toutes les pièces du mécanisme qui meut le piston, celui-ci n’aille pas frapper la soupape dormante. Pour un piston dont la course excède 50 centimètres, on peut donner à cet espace 5 centimètres de hauteur, et c’est avec cette condition qu’on admet l'expression ci-dessous
Il faut en général, pour éviter l’arrét, placer la soupape dormante et conséquemment le fond du corps de pompe de manière que le piston, en descendant, s’en approche le plus possible. ÿ
4. L'arrêt pourrait encore avoir lieu si la vitesse du piston en montant était plus grande que celle de l’eau qui s’élève dans le corps de pompe, car alors l’eau ne pouvant suivre immédiatement le piston dans sa course, il s’établirait un vide entre eux qui augmenterait à chaque aspiration et qui finirait par devenir si grand, que le piston ne pourrait plus atteindre, dans sa descente, la colonne d’eau, ce qui arrêterait le travail de la pompe. On évite cet inconvénient en donnant au piston une vitesse modérée et en n’employant pas des tuyaux d'aspiration trop étroits.
5. Lorsque le jeu de la pompe est bien établi, chaque coup de piston fait monter un volume d’eau équi-
lt
valent à un cylindre dont la base est celle du piston, et la hauteur celle de l’espace parcouru. Nommons r le rayon de la base du piston, {la longueur de sa course, et r le rapport de la circonférence au diamètre, le volume d’eau fourni par un coup de piston sera
rr°l,
et, si m est le nombre de coups de piston donnés dans un temps déterminé, mrr°l exprimera la quantité d’eau qui s’écoulera pendant ce même temps par le tuyau de décharge de la pompe.
6. Quant à la hauteur où cette quantité d’eau peut être ensuite portée dans un tuyau d’ascension G placé au-dessus du corps de pompe, elle estillimitée. On cite une pompe aspirante établie dans les mines de sel de la Bavière, qui verse son eau d’un seul jet à 570 mètres de hauteur; il ne s’agit donc que d’avoir une force motrice suflisante. Lorsqu'une pompe aspirante est surmontée d’un long tuyau d’ascension, elle prend le nom de pompe élévatoire.
7. Pour évaluer la force nécessaire à l’élévation du piston, il faut observer qu’il remplit alors deux fonctions différentes : il aspire, d’une part, l’eau qui est audessous de lui etsoulève, de l’autre, celle qui est au-dessus; de sorte qu’il subit deux pressions, l’une de haut en bas, produite par le poids de l’eau supérieure et par le poids de l’atmosphère, l’autre de bas en haut, produite par le poids de l’atmosphère diminué de celui de la colonne d’eau qui est au-dessous de lui. Ainsi, désignant par d, à un instant quelconque de son mouvement, la distance verticale du piston au point de versement, par d'sa distance au niveau de l’eau du puisard, et nommant comme ci-dessus 7 le rayon de la base du piston et X' la pression atmosphérique, nous aurons, pour l'expression numérique de la pression exercée de haut en bas... (a)
et pour celle de la pression exercée de bas en
haut... (b) 10001777 (k'— d').
En effet , la pression due à l’eau supérieure ne dépend que de sa hauteur verticale et de la surface de la base du piston (voy. HyprosrariQue, n° 10, tom. IT) ; elle se mesure donc par le poids d’un cylindre d’eau dont le volume est égal à
rrd.
Ainsi, en exprimant r et d en mètres, la quantité r’rd représente un nombre de mètres cubes d’eau
Ton. ru.
dont chacun pèse 1000 kilogrammes, et, par conséquent,
1000 r?rd
représente, en kilogrammes, le poids du cylindre d’eau ou la pression supportée par la base du piston. De plus, h'étant la pression atmosphérique sur l’unité de surface, r°xh' est la pression atmosphérique sur la surface
7, et
1000 rh
cette même pression exprimée en kilogrammes.
Or, les deux pressions (a) et (b) agissant en sens inverse, leur résultante ou la charge effective du piston sera
Observant que d+ d'est la distance verticale du niveau du puisard au point de versement, on en conclura :
Quelle que soit la hauteur à laquelle une pompe verse son eau, quels que soient le diamètre et l'inclinaison des tuyaux d'aspiration et d'ascension, le piston porte toujours une charge d’eau égale au poids d'une colonne de ce fluide, qui aurait pour base celle du piston même et pour hauteur la différence de niveau entre la surface du puisard et le point de versement.
8. Cette charge, qui en faisant d + d'= EH aura pour expression
n’est pas la seule résistance que le moteur ait à vaincre pour faire agir la pompe, il doit surmonter de plus les résistances passives suivantes :
1° Le frottement du piston contre la paroi du corps de pompe;
2° Le frottement de l’eau contre ces mêmes parois et contre celles des tuyaux ;
5° La résistance que le liquide éprouve lorsqu'il eñtre dans le tuyau d'aspiration et qu’il passe par l'ouverture de la soupape dormante;
4" Le poids de la soupape ;
5° Enfin l’inertie de la masse d’eau à mettre en mouvement.
Ces diverses résistances ne peuvent être encore évaluées rigoureusement ; mais, à défaut de formules exactes, nous allons rapporter les déterminations approximatives qui résultent des recherches de M. d’Aubuisson, elles sont suffisantes pour guider dans tous les cas ordinaires de pratique.
9. La résistance due au frottement du piston dépend : 1° du nombre des points du pourtour du piston en contact avec les paroïs du corps de pompe, nombre qui est
* de la pression de chacun
proportionnel au rayon r; 2 de ces points contre les parois, laquelle est proportion nelle à la hauteur totale H de la charge; 3° du poli et de la nature des surfaces frottantes.
Désignant par . un nombre à déterminer par lexpérience, et qui dépendra principalement du poli des surfaces, nous aurons donc pour l'expression de cette premire résistance passive
la valeur approximative de y est, d’après les hydrauliciens allemands, pour des corps de pompe, en
urH ;
Laiton bien poli. . . . . . 14 Fonte simplement forée.. . 3o Bois assezlisse..... "1 50
Bois dégradé par l’usage. . 100
Il n'existe encore aucune observation positive à ce sujet. Pour évaluer la résistance due au frottement de l’eau, nommons
D le diamètre du corps de pompe;
L sa longueur;
D' le diamètre du tuyau d'aspiration; L' sa longueur;
D le diamètre du tuyau d’ascension ; L' sa longueur ;
v la vitesse du piston.
Remarquons d’abord que la vitesse de l’eau n’est pas la même dans les divers tuyaux; un même volume d’eau devant passer, dans un même temps, par chacune des sections (voy. Courant D'EAU, n° 18), et les aires de ces sections étant entre elles comme les carrés de leurs diamètres, les vitesses sont entre elles dans le rapport inverse de ces carrés; de sorte qu’en nommant & la vitesse de l’eau dans le tuyau d’aspiration et 9 sa vitesse dans le corps de pompe, nous avons
uw —= 0. DA .
De même, u' désignant la vitesse de l’eau dans le tuyau d’ascension,
Or, V étant en général la vitesse de l’eau qui parcourt une conduite dont la longueur est L, l’aire de la section S et la circonférence de cette même section P, {a résistance due au frottement contre les parois est exprimée par (voy. COURANT D'EAU, n° 25)
