N- UE

pour des vitesses V comprises entre les limites V — 0, Y — 5 mètres. Ainsi, après avoir mesuré Ja vitesse du fil de l’eau avec un flotteur (voy. Hypromërne), il serait très-facile d’en conclure la vitesse moyenne si la for-. mule (3) s’étendait à tous les cas; mais cette formule

suppose que la relation des vitesses U et V est indépen-

dante de la grandeur et de la figure du lit du courant, ce qui ne paraît guère admissible et ne permet pas d’es= pérer qu’une détermination ultérieure des tire numériques, d'après de nouvelles expériences ; puisse jamais lui donner un plus haut degré de certitudes

M. de Prony, dans ses Recherches sur la théorie des eaux courantes, a donné la formule suivante, qui fait connaître la vitesse moyenne au moyen de la pente de la

rivière ».1 ESS U — — 0,07 +v/{ 0005 3235 |.

Q est, comme ci-dessus, l’aire de la section;

P le périmètre mouillé, ou la partie du périmètre de la section en contact avec la paroi renfermant le fluide ;

J la pente par mètre.

Cette équation suppose essentiellement que la grandeur de la section et la valeur de la pente sont sensiblement les mêmes sur une assez grande longueur du lit pour que la vitesse moyenne y puisse être regardée comme constante. Dans tous les cas de pratique qui ne s’écarteront pas trop de cette hypothèse, on pourra donc en tirer la valeur de la vitesse moyenne avec une exactitude suflisante.

12. M. de Prony a déterminé les valeurs de ses coefficiens numériques d’après trente-une expérience, choisies et discutées avec beaucoup de soin, mais il ne les a considérées que comme provisoires et devant naturellement subir des modifications, par suite d'expériences ultérieures. Depuis, Eytelwein , en combinant quatrevingt-onze expériences faites sur divers canaux et rivières, a obtenu d’autres valeurs, qui changent l’équation (5) en

(6) ..... U — —\0,0552 +v/{ oo 2786 |.

Nous avons donné la déduction de cette dernière au mot Courant.

15. Il nous reste à faire une observation très-importante ; c’est que le débouché d’un pont ne doit jamais être fixé d’après la quantité moyenne d’eau que conduit le lit de la rivière, mais bien d’après celle qu’il contient à l’époque des grandes eaux. Ainsi, la mesure de la section © et la détermination de la vitesse moyenne U, soit par les formules précédentes, soit par des procédés directs, doivent être effectuées au moment où le niveau de la rivière a atteint sa plus grande hauteur; et, comme à ce moment les eaux sont ordinairement débordées et s'étendent des deux côtés sur une grande surface où elles coulent lentement, tandis qu’elles ont une grande vitesse au milieu du courant, on s’exposerait à commettre de grandes erreurs dans l'évaluation de la vitesse moyenne, si l’on employait aveuglément les formules (4) ou (6). Il faut alors choisir, s’il est possible, un endroit de la rivière où les eaux se trouvent encaissées et où pendant les crues elles ne débordent pas sensiblement; après ayoir mesuré avec soin la section de la

rivière à cet endroit et la vitesse moyenne correspondante, on connaîtra la dépense de cette section, et par conséquent la dépense de la section au lieu du pont projeté; on n’aura donc plus qu’à diviser cette dépense par l'aire de cette dernière section pour connaître la vitesse moyenne cherchée, en admettant toutefois qu’aucun affluent ne vienne augmenter la quantité des eaux entre les deux sections, car dans ce cas il serait nécessaire de tenir compte de l’augmentation de la dépense qui aurait lieu à la dernière section.

Supposons, pour éclaircir la question, qu’on projette un pont en AB (PI. XIX, fig. 1) où la section de la rivière a été trouvée de 1200 mètres carrés ; le lit n'étant point encaissé et sa largeur AB = 400 mètres étant considérable par rapport à sa profondeur moyenne 3 mètres, il serait difficile de connaitre la vitesse moyenne avec une suffisante exactitude; mais à une lieue au-dessus, en @b, la rivière passe entre deux rochers à pic et dans cet endroit sa largeur n’est que de 150 mètres et sa hauteur moyenne de 4,85. Sa vitesse moyenne mesurée en ab étant de 4",10 par seconde, il en résulte que la dépense par la section @b est

150 X 4,85 X 4,10 — 2983 mètres cubes.

Ainsi, s’il n’y avait pas d’affluent, la vitesse moyenne à la section AB serait

Mais, entre les deux sections AB et ab, une petite rivière vient jeter ses eaux dans le lit de la grande, et l'on a trouvé parles mesures de sa section mn et de sa vitesse moyenne, à cette section, que la dépense de cette petite rivière, c’est-à-dire la quantité d’eau qu’elle verse dans la grande, par seconde de temps, est de 150 mètres cubes. Ainsi, le volume d’eau qui passe en AB par se-

conde est égal à 2983 + 190 — 3199 mètres cubes,

ce qui, pour une section de 1200 mètres carrés, donne une vitesse moyenne

Admettons maintenant que le fond de la rivière soit composé de matières peu consistantes et qu'il soit dangereux de resserrer son lit; il faudra, dans ce cas, que le débouché du pont n’augmente pas sensiblement la vitesse moyenne 2",61; de sorte que nous posérons dans la formule (1) v= 2°,61 et nous aurons, en em-

ployant le coeficient de contraction 2 =,0,99, parce

que les avant-becs doivent présenter un angle aigu au courant, 2,01 1200 w — 1200. — — — 1263 mètres carrés,

Le pont projeté devra donc offrir un débouché de 1263 mètres carrés. Nous ferons observer, en passant, que si les naïssances des voûtes étaient placées au-dessous du niveau des grandes eaux, il faudrait employer le plus petit coefficient de contraction m— 0,85.

Dans le cas, au contraire, où le fond du lit se rapprocherait de la nature du roc et où l’on croirait pouvoir sans danger laisser prendre aux eaux, sous le pont, une vitesse moyenne plus grande que 2",61, par exemple, une vitesse moyenne de 5,50, ce qui permet de donner moins de développement au pont et diminue les dépenses de son établissement, on ferait v = 5,50, et la formule (1) donnerait

14. C’est lorsqu'on veut resserrer le lit de Ja rivière qu'il devient important de considérer si les remous ne seront pas assez considérables pour gêner la navigation et produire des inondations en amont du pont. Le problème à résoudre est donc de trouver la hauteur des remous pour une valeur particulière du débouché. En voici une solution, d’après Dubuat , qui peut être utile dans la pratique, quoique plusieurs circonstances y soient négligées; elle est rapportée par Gauthey dans son beau Traité de la construction des ponts.

Supposons que ACDB (PI. XIX , fig. 2) représente la face latérale d’une pile, et EF la pente naturelle de Ja rivière avant la construction du pont. Le courant se trouvant resserré sur toute la longueur CD, la vitesse et conséquemment la pente de la rivière y seront plus considérables , ct la surface de l’eau , en faisant abstraction des résistances particulières produites par les avant-becs, prendra une inclinaison qui pourra être représentée par la ligne HE. Cette surface en amont s’élèvera nécessairement au-dessus du point H, et nous la représenterons par la ligne MG, qui, sur une petite longueur, est sensiblement horizontale.

Nommons

& laire de la section naturelle de la rivière ;

w l’aire de la section après la construction du pont, ou Ja surface du débouché;

Ü Ja vitesse moyenne de l’eau;

v la vitesse moyenne que prendra l’eau sous les ar-

ches après la construction du pont;

I la pente par mètre de la rivicre :

PON L la longueur des piles — CD ou AB; H la hauteur GK du remous ;

g la force de gravité.

Les vitesses, dans un même fleuve, étant en raison inverse de l’aire des sections correspondantes, on aura

et, conséquemment, les hauteurs dues aux vitesses U et v seront respectivement

las la partie GH de la hauteur du remous correspond

à l'augmentation de la vitesse; ainsi

ro Toutefois, comme le rapport — n’est pas exacteü)

À à TS ment égal au rapport inverse des vitesses ÿ ? À Cause

de la contraction de la veine fluide et des frottemens

sur les parois des orifices, nous lui substituerons la nt O0) :

quantité p—, dans laquelle y est un coeMicient de cor- G)

rection à déterminer par l'expérience; nous aurons alors

Quant à la partie KH de la hauteur du remous, elle dépend de la pente qui se formera sur la longueur des piles : or, avant la construction du pont, cette pente était égale à L. I; elle doit donc être, après,

Lip?

car les pentes augmentent dans le rapport des hauteurs dues aux vitesses, et il résulte

KH — Lip? — — LI.

0) Prenant la somme des deux parties GH et KH, nous aurons définitivement pour la hauteur totale GK —H, à laquelle les eaux s'élèvent en amont, puisque leur niveau doit rester le même en aval

(7)... H= (+ 1) GE de ).

Appliquons cette expression à l'exemple précédent,

dans le cas d’un débouché — 942", et admettons de plus que la pente I ait été trouvée de 0,001, et que la longueur L des piles doive être de 10 mètres. Substituant ces valeurs dans l’expression (7) en observant que

U? ; la hauteur — due à la vitesse U — 2",61 se trouve

toute calculée dans la table des hauteurs (voy. Havw- TEUR), et qu’elle est égale à 0°,3472 ; nous aurons

H— (ossi + 0,001 X 10) Cr CTOL — 1

CiÉ [GC à ] L

Cette grandeur étant peu considérable, on pourrait en conclure que le débouché adopté est suffisant; mais, en général, la formation d’un remous ne pouvant jamais être que préjudiciable, il est très-essentiel de le rendre le plus petit possible. Si la hauteur trouvée H paraissait trop grande , il faudrait augmenter la section « du débouché, et par conséquent diminuer la vitesse », ou bien prendre pour H la valeur qu'on jugerait convenable et la substituer dans l'équation (7) dont on tirerait alors la valeur de w.

15. Lorsqu'il s’agit seulement de calculer H et qu’on veut faire usage de la table des hauteurs dues aux vi-

tesses, on peut donner à l'expression (7) une forme

Q beaucoup plus commode , en remplacant à par le

me

rapport égal vw: ° il vient ainsi

IL (Gr)

Par exemple, avec les données ci-dessus,

on n’a d'autre calcul à faire que celui du second terme

IL ( — )= 0,01 [Éa) — | — 0,00708,

car la table fait immédiatement connaitre

D'où