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Ainsi l’aire du débouché devrait s'élever à 1011 mètres carrés.
Dans le cas où l’on adopterait ce débouché et qu’on voulût connaître la vitesse que l’eau prendrait sous le
pont, il faudrait faire o — 1011, et la formule (2) donncrait pour cette vitesse
. 5,95 ch — 91,26!
17. Les moyens de calcul que nous venons d’exposer ne donnent en réalité que des valeurs approximatives, mais ils n’en sont pas moins très-utiles pour établir le projet d’un pont. Lorsque l'ingénieur a fixé la grandeur du débouché, il doit procéder au choix de la forme des arches, dont on distingue trois espèces principales :
1° Les arches en plein cintre, décrites par une demicirconférence de cercle (PI. XIX, fig. 3);
2 Les arches en anse de panier (voy. ce mot, tom I), décrites par plusieurs arcs de cerele de différens rayons (PI. XIX, fig. 4);
53° Les arches en arc de cercle, qui sont formées d’un seul arc de cercle (PI. XIX, fig. 5) d’un nombre plus ou moins grand de degrés.
Chacune de ces espèces d’arches présente des avantages et des inconvéniens particuliers.
18. Les arches en plein cintre sont les plus faciles à construire et celles qui offrent le plus de solidité, mais elles obstruent considérablement le passage de l’eau et occasionnent la plus grande contraction de la masse
fluide. On place ordinairement leurs naissances à la hauteur des fondations ou au niveau AB (fig. 3) des basses eaux, de sorte que, dans ce dernier cas, le débouché, au temps des grandes eaux ab, se compose d’un espace mixtiligne CabE, dont on peut calculer l'aire de la manière suivante :
Soit OF — À la hauteur des basses eaux, GF—h celle des grandes eaux, AB — 24 le diamètre de l’arche. Faisons OG = h'— hk — 0 et menons lerayon Oa.
Le demi-débouché CAaGF sera composé d’un rectangle CAOF dont l’aire est égale à AO X OF, c'està-dire à ah.
Plus d’un secteur de cercle AO@, dont l'aire a pour
. du 1 \ expression (voy. SEGTEUR, tom. IT) — AO X are Ama, ou
= 4 X are Am.
Plus enfin d’un triangle rectangle aGO , dont la sur-
ÿ ANT à | face est égale à — aG X GO. Nous avons pour ce der-
nier aG .V/a02 — GO —V/a? — 6; ainsi son aire est e 1 = 1 ————— —— représentée par — QV/ a — & — 5 W/ (a+ 8)(a— 0).
Doublant toutes ces quantités pour avoir l’aire entiére du débouché CabE, nous aurons donc , en nom-
mant cette aire S, S — ah + O/(a + 0)(a — 0) + à X arc Ama,
expression dans laquelle tout est connu, excepté l'arc Ama, dont il faut exprimer la longueur en unités linéaires de même nature que celles employées pour mesurer le rayon a. Pour cet effet, observons qu’en menant la perpendiculaire a@ —GO0—5, le triangle rectangle «Q0
donne
sin Ama — 0 —= 2 :
AO a Ayant calculé à l’aide de cette expression le sinus de l’are Ama, les tables des sinus feront connaître le nombre des degrés de l'arc Ama; et en désignant par % le nombre des secondes de cet arc, comme le nombre des secondes comprises dans une demi-circonférence est 648000, nous aurons, pour la longueur de l’arc Apa,
arc Ama —= AT
la demi-circonférence du cercle dont le
rayon — 1, où le nombre 5,1415926. Aïnsi l’expres-
r étant
sion générale de laire du débouché de larche
ester
S = sai + WG EDG =D + Er. gi,
dans laquelle l'arc # qu’il faut exprimer en secondes est donné par la relation
sin ç —
als
Tous les termes de cette expression peuvent être évalués au moyen des logarithmes, ce qui rend les calculs très-simples.
Soient, par exemple, AB — 24 — 00 mètres; OF — h— 1",20; GO — 6 — 3,55. On aura, en tenant compte du rayon des tables — 10,
Log sin ÿ — 10 + Log 3,55 — Log 10 —9,5502285;
ce logarithme fera connaître
Ayant ainsi la valeur de toutes les quantités qui entent dans l'expression (9), on trouvera
74856, 4 007% (GiS6ob a 36,292.
La somme de ces valeurs donnera définitivement S — 99321,48.
19. On peut arriver au même résultat ‘en calculant séparément l’aire totale GADBE de l’arche, celle du segment aDb, et en prenant leur différence. L’aire totale CADBE, qu'il peut être utile d’ailleurs de connaître, se compose du rectangle ACEB et du demi-cercle ADB ;. elle a pour expression, en conservant les dénominations
précédentes, et en la désignant par I,
L’aire du segment aDb est égale à l’aire du secteur DaOb moins celle du triangle 40b ; pour obtenir l’aire du secteur, il faut observer que le triangle rectangle OaG donne
Ÿ désignant l’angle aOD ou l'arc aD. Calculant, au
moyen de cette relation, la valeur de 4 en secondes de degré, on a ensuite
Aire du secteur 40D = SÛT GiBcoo?
et, par conséquent, ® L4 DaOb — a? ÿ 1 (74 EU re Aire du secteur 648000 Quant à l’aire du triangle a0b, comme on connait les deux côtés a0 — bO — a et l'angle compris a0b = 2#,
on a immédiatement (voy. TRIGONOMÉTRIE, tom. I]) c s Mc REC Ar Aire du triangle aOb — 7% : Sin 2ÿ.
Ainsi, l'aire du segment aDb, que nous désignerons par Il’, aura pour expression
| ll 2.
Pl gsinay,
LR | (015) Moose A: mn Grace =;
et nous aurons, pour l'aire du débouché CabE,
Appliquons ces formules aux données de l'exemple EU ] FE : précédent. Nous avons d’abord
La formule (11) donne Log cos = 10 L Log 5,55 — Log 10 — 9,5502283; d’où Y— 69°12'23",6 et
Substituant ces valeurs dans la formule (12), en obseryant que le sinus de
2 — 138-2445", 2 est le même que celui du supplément de cet are 180° — 94 — 4155 12,8, nous trouyerons
100 X 3,1416 X et — 120,788,
=. 100. sin (4135/19,8) — 55188, et, par suite, I — 120,788 — 53,188 — 89%1,60.
La valeur du débouché S est donc, comme ci-dessus, S = 181,08 — 87,60 — 95%1,48.
On peut employer concurremment ces deux procédés pour la vérification des calculs,
20. Les arches en anse de panier, dont l'usage ne s’est introduit en France que vers la fin du dix-septième siècle, offrent presque autant de solidité et de facilité dans la construction que les arches en plein cintre, lorsque leurs deux diamètres ne sont pas très-inégaux. Elles ont sur ces dernières l'avantage de donner un plus grand débouché, sans qu’on soit obligé d'augmenter considérablement la hauteur. On les forme de 5, 5, 7 ou d’un plus grand nombre d’arcs de cercle, mais il est presque toujours inutile d'employer plus de cinq ares.
La largeur et la hauteur d’une anse de panier ne suffisent pas pour déterminer sa forme , car il est toujours possible de décrire sur deux diamètres donnés une infinité de courbes différentes. La seule condition générale à laquelle toutes ces courbes soient assujéties est que la tangente au sommet soit horizontale et que les tangentes aux naissances soient verticales. On se donne, dans tous les cas particuliers, des conditions particulières qui servent à déterminer les rayons de chaque arc.
Lorsque la voûte n’est pas très-surbaissée et qu’on peut se contenter de décrire l’anse de panier avec trois arcs, on s’assujettit à la condition que les trois arcs soient égaux chacun à la sixième partie de leur circonférénce respective ou soient tous de 60°, ou bien encore à ce que les trois rayons différent entre eux le moins possible. Ces deux conditions donnent des courbes peu différentes entre elles.
21. Dans le premier cas, celui de trois ares de Go’, soient DM (PI. XIX, fig. 6) la hauteur de l'arche, CE sa largeur et AB le niveau des naissances. Supposons l’anse de panier décrite, et désignons par R le rayon OD de l’arc du sommet C'DC”, par r les deux rayons égaux AR et QB des deux autres ares égaux AC'et C'B. La question se réduit à trouver l’un quelconque des centres R, O, Q; car, connaissant par exemple le centre R, on décrira de ce point, avec le rayon Ar un arc AG de 60°, puis des points C’et R on mènera la droite CR, dont le prolongement coupera Dm en un point O, qui sera le centre de l’are OC’; quant au troisième centre Q, il est naturellement déterminé par la condition AR = QB.
Or, l'angle C'OC' étant de 60°, le triangle ROQ est équilatéral, et l’on a
RQ = OR; donc, à cause de AR — RC’ et de OC’ = OD,
on à aussi
AR RQ = OR + RC' = ON + ND.
Ceci posé, prenons pour inconnue la distance RN du centre R au milieu N de AB, et désignons AB par 24, et DN par b; nous aurons
RQ = 2RN — 27, le triangle rectangle ORN nous donnera ON — V/OR° — RN° = V/5%, d’où nous conclurons V/3a +b—x+ a.
La valeur de +, tirée de cette équation, est
on peut la calculer ou la construire graphiquement avec beaucoup de facilité. Pour la construire, on prendra NF — a — b, et après avoir construit sur cette base le triangle équilatéral NEF, on abaissera la perpendiculaire EG, puis du point G comme centre avec GE pour rayon, on décrira un arc de cercle qui coupera AB en un point Q tel qu’on aura NQ — x. Le point Q sera donc l’un des centres et servira à déterminer les deux autres, comme nous l'avons dit ci-dessus.
22, La description de l’anse de panier soumise à la condition de trois arcs de 60° ne présente donc aucune difficulté. Pour avoir la valeur des deux rayons OD et ARouR etr, il faut observer que
r—AN—NR—a—x et que R— OR+RC—2%7+7—a+x.
On a donc, en donnant à æ sa valeur précédente..…..(13),
ne Cm
expressions dans lesquelles il n’y a plus qu’à substituer à la place de a et de b les valeurs relatives à chaque cas particulier.
23. Si l’on voulait connaître l'aire de l'arche CADBE, il faudrait évaluer sépatément l’aire du rectangle ABEC celle de l’espace mixtiligne AE DE'B, et prendre leur somme. Pour otenir l'aire AC'DC'B, il faut observer qu’elle est composée des lrois secteurs RAC; (OCC;, QC'B moins le triangle équilatéral ROQ, et comme chaque arc est la sixième partie de la circonférence,
chaque secteur est le sixième du cercle dont il fait partie. On a donc
Secteur RC'A ou QC'B—
OO
Secteur OC'C'— entr.
Quant au triangle ROQ, son aire a pour expression 1 ?
SR . 0Q. sin. ROQ,
ce qui
e e a x 1 se réduit à CR — r})/3, à cause de
OR — OQ = R — retde sin 6° — V5 (voy. Sinus , tom IT).
Nommant 11 l’aire totale CADBE , A la hauteur AC du
rectangle ABEC et rassemblant toutes les aires partielles;"il vient....: (14)
n— 20h + grèr + Rr — ; — Fr}. 5.
24. Pour donner un exemple d’application de ces formules, prenons en hauteur et en largeur les dimensions de l’arche en plein cintre n° 18, c’est-à-dire; faisons AB ou 2a — 20°, DM — 11",20, et supposons DN ou b— 7", ce qui nous donnera AC ou k —4",20.
Ces valeurs substituées d’abord dans les formules (13), nous ferons connaître les rayons r ctR
