kil

Ainsi, le poids de toute la construction, y compris Ja surcharge maximum, s'élève à 289594 kilogrammes, et la charge p sur un mètre de longueur du plancher est, par conséquent,

c’est la donnée que nous avons prise n° 9, et d’après laquelle nous avons trouvé que la tension maximum est équivalente à 596630 kilogrammes. En comparant cette tension maximum avec la somme des aires des sections des chaines — 42615 millimètres carrés, on voit que la charge par millimètre carré de la section est

Ga615 = 14 kilogrammes,

ce qui sert de vérification aux derniers calculs.

25. L'hypothèse de légale répartition de la charge sur une ligne horizontale est la plus simple de toutes celles dont on peut partir pour déterminer la forme de la courbe des chaînes; mais elle n’est pas rigoureusement exacte, car, en réalité, le poids du plancher est le seul que l’on puisse considérer comme distribué uni- - formément sur la ligne horizontale liée aux chaînes, et l'unité de longueur de cette ligne se trouve d’autant plus chargée qu’on la prend plus près des extrémités, où les tiges de suspension sont plus longues, ainsi que les parties correspondantes des chaines. Il en résulte que si, en construisant un pont, on avait donné la forme parabolique aux chaînes, cette forme se modifierait lorsque la construction serait abandonnée à elle-même et prendrait une figure intermédiaire entre celles de la parabole et de la chainette, de manière que la courbure des chaînes augmenterait aux extrémités et diminuerait au milieu, ce qui ferait élever le milieu du plancher. Navier donne la formule suivante pour calculer la grandeur de cette élévation

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Ton. mi.

dans laquelle

a est la demi-corde,

f la flèche de la courbe parabolique,

f” la nouvelle flèche ou celle de la courbe modifiée, = le poids total des tiges de suspension,

r le poids par mètre courant du plancher,

s le poids par mètre courant des chaînes.

Si nous prenons pour exemple les données du numéro précédent, qui sont

d’où nous conclurons pour ladifférence des deux flèches [—f —=4— 3,991 = 0",009.

Ainsi, dans le cas de notre exemple, lorsque la construction serait abandonnée à elle-même, le changement subi par la flexion des chaines ferait remonter le plancher au milieu de 0",009 seulement, ce qui serait à peine sensible. Il est facile de voir, en général, que la différence entre f et f sera toujours très-petite, et d'autant plus que l’ouverture de larche sera plus grande.

24. Les longueurs des tiges calculées par l'équation de la parabole ne correspondant pas exactement avec les ordonnées de la courbe modifiée, il résulterait encore de l'emploi exclusif de cette équation que les tiges ne se maintiendraient pas verticales et également espacées, ce qui pourrait avoir des inconvéniens. Dans la pratique, même en se conservant la facilité de régler par des vis la longueur des tiges, il sera toujours plus prudent, après avoir déterminé provisoirement tous les élémens d’un pont suspendu d’après l'équation de la parabole

de recommencer le calcul de la longueur des tiges au moyen de l'équation de la courbe modifiée

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qui contient les mêmes quantités & et f, et dont les autres constantes ont la signification ci-dessus. On doit

consulter pour cet objet un mémoire de M. l'ingénieur Stapfer inséré dans la seconde édition de l'ouvrage de Navier.

25. Une autre cause tend à modifier la courbe des chaînes lorsque le pont est abandonné à lui-même; mais celle-ci agit d’une manière régulière et progressive, et fait varier seulement la longueur des tiges sans qu’elles cessent d’être; verticales; c’est l’élasticité du fer. « Puisqu’une barre de fer, dit Navier, s'étend nécessairement quand elle est tirée par les deux extrémités, l'effet de la charge du plancher d’un pont sera d’allonger les chaines qui le tiennent suspendu, et par conséquent d'augmenter la flèche de la courbe qu'affecteraient ces chaînes si elles étaient formées par des verges inextensibles. Des charges additionnelles placées sur le plancher produiront encore dans la flèche de courbure de nouvelles augmentations, qui cesseront en même temps que l’action de ces charges. Il est nécessaire de soumettre ces effets au calcul, et d’être à même de prévoir l’abaissement durable qui se manifestera à l'instant où les chaînes se trouveront chargées pour la première fois du poids du plancher, et les abaissemens momentanés produits par les charges accidentelles. » Voici les résultats de l’analyse de ce savant. Soit c la longueur de la demi-chaine avant son extension, et c’ sa longueur après, on a... (1)

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p étant le poids total de la construction par mètre courant de longueur, et E une constante dont la valeur est

dans laquelle à désigne l'aire de la section tranversale des chaines exprimée en millimètres carrés.

Pour calculer la nouvelle flèche f', on a la formule approximative ….. (2)

r=V/ic-0

dont on peut se contenter dans le plus”grand nombre des cas. Si l’on veut plus d’exactitude, on doit employer la série

3 ,[c—a 9 fc — a\° 54 fc —a\* D 5/71 2E Ÿ — ET Î = {al a +£( a ) A a )

La formule (1) peut servir également pour calculer l'allongement résultant d’une charge additionnelle uni-

formément répartie sur le plancher, en considérant

alors p comme représentant la charge additionnelle placée sur chaque unité de longueur.

26. Une conséquence très-importante de ces résultats, c’est qu'il ne faut pas, dans le projet d’un pont, donner à la flèche f la grandeur qu’on veut qu’elle ait lorsque la construction sera terminée, cette flèche devant nécessairement augmenter par l'effet de l’extension des chaines sous la charge permanente. Par exemple, le pont dont nous ayons calculé les élémens n°” 22 et 25, dans l'hypothèse d’une flèche f = 4”, se trouverait avoir une flèche f— 4",112 après le tassement. En effet, nous avons trouvé pour le poids total de la con-. struction 189554 kilogrammes. Ce nombre, divisé par

64", longueur du plancher, nous donne pour la charge A D sur un mètre de longueur, 2962. De plus, l'aire de la section des chaines est de 42615 millimètres carrés, d’où

Ainsi, substituant ces valeurs dans la formule (1) avec les autres données, nous aurons ;

250,33 2962 . (32)° 4x 36 PER 8 X 8525300000 + pe le

ce qui nous donnera, sans avoir besoin de tenir compte du dernier facteur,

l’allongement de la moitié de la chaîne sera donc — 0",014, et celui de la chaîne entière —0",028. Cette valeur de c', mise dans la formule (2), donne

be vi (52,344 — 5252 ] = do A d’où nous voyons que l’effet de l’extension des chaînes est de donner à la flèche primitive un accroissement de 0",112. L’effet de la modification de la courbe parabolique, due à l’inégale répartition de la charge (n°25), étant, au contraire, de diminuer la flèche f de la quantité de 0",009, la flèche réelle aura donc en définitive 4,105 de longueur, et ce n’est qu’autant qu’on aurait voulu lui donner cette dimension qu’il aurait fallu employer la valeur f=—4" dans le calcul des élémens du pont.

or. Ce n’est guères que dans les ponts d’une trèspetite longueur que le plancher est horizontal ; dès que . cette longueur est un peu considérable, on lui donne la forme d’un arc de cercle ou d’un arc de parabole; de sorte que les tiges de suspension ne sont plus simplement les ordonnées d’une courbe, mais bien les distances de deux points situées sur deux courbes dif-

férentes. Le calcul dé leurs longueurs se compose alors de deux parties comme nous allons Fexpliquer. Soit AOB (fig. 5, pl. XX) la courbe des chaines, MON celle du plancher, M'N la ligne horizontale tangente commune aux deux courbes au point O. C’est sur cette ligne que nous compterons les abscisses à partir du point O. A chaque abscisse Om = æ correspondra une ordonnée mp appartenant à la courbe des chaines, et une ordonnée mg appartenant à la courbe du plancher. La somme de ces ordonnées pm — mg = pq sera la distance des deux points p et q des courbes, et, par conséquent, la longueur de la tige qui lie ces points. Ainsi, après avoir calculé, au moyen des équations des deux courbes, les deux ordonnées pm et mq, correspondantes à un point m de l'horizontale, par lequel doit passer une tige, on formera leur somme, pour avoir la longueur de cette tige. Supposons la courbe du plancher circulaire; nommons y sa flèche OD = M'M, ety ses ordonnées mg. L’équation du cercle rapportée au point O et à l’axe M'N' étant

dans laquelle r désigne le rayon, observons que cette équation doit donner æ — OM = 4, lorsqu'on y fait yÿ =MM' —; ainsi,

ad — DS > d'où

2 74 tr, Lu

Substituant cette valeur à la place de or, l'équation de l'arc MON devient

aa epiE2 de , a? — | — y,

et ne renferme plus que des constantes données a et f. En la résolyant par rapport à y', on obtient l’expression en 48 CS 2 Ë ER mL ATP mn L vo 27 qui servira à calculer les ordonnées y’ correspondant à des abscisses données æ. Dans les cas ordinaires, la flèche est très-petite par rapport à la demi-corde a, et l’on peut se contenter des deux premiers termes du développement du radical. On a alors simplement , n 2 = 4 — 3 & + a 2 ou même, avec une exactitude suflisante, car l'arc de

cercle en question ne diffère pas sensiblement d’un arc de parabole, ..….. (3)

Ayant donc calculé la partie pm ou y' de la tige par cette dernière formule, on l’ajoutera à la partie gm, calculée, comme nous l'avons enseigné ci-dessus, pour un plancher horizontal M'N'. Les premières évaluations devant toujours être faites dans lhypothèse d’une courbe AOB parabolique, dont l'équation est... (4)

f Y= AT

f désignant la flèche CO, on peut se dispenser de calculer séparément les deux parties y et y, car la somme

des équations (3) et (4) donne

y +y= tas