P? + P? EP A+ BE C

ce qui nous apprend que la somme de projection des aires À À, X', élc., sur trois plans rectangulaires est toujours la même.

5. Lorsqu’on projette successivement les mêmes aires 2, X,\', etc., sur divers plans, la somme des projections Yarie nécessairement de grandeur en passant d’un plan

PRO

à un autre, et il doit conséquemment se trouver un plan sur lequel elle est la plus grande possible. L’équation (9) donne les moyens de déterminer la position de ce plan de la plus grande projection, et qu’on nomme ïe plan principal. En la résolvant par rapport à P, on trouve

p=/[at+w+cp—r|

Or, la plus grande valeur que puisse avoir la somme P des projections est évidemment lorsque P' et P’ sont nuls : ainsi cette plus grande somme des projections des aires }, X', X', etc., sera donnée par l’expression .….. (h)

r=vy[a+w+c)

et pour déterminer le plan sur lequel elle a lieu, il ne s’agit plus que de connaitre les valeurs des inclinaisons «; B, y du plan P correspondant à l'hypothèse (k). Observons pour cet effet qu’en multipliant respectivement les deux membres des égalités (c) et (c') par cos«, cos x’, COS «”, il vient

P cosu — À cos? « + B cos B cos « + G cosy cos «, P'cosu'— À cos? «+ B cos B'cos «+ C cos y'cos x’, P'cosa'= À cos? &'ÆB cos f'cos «+ C cos y'cos &’,

d’où, en prenant la somme et en réduisant d’après les relations (e).et ([),

P cosu + P'cosa + P'cosx = A,

on trouverait de la même manière, en multipliant les expressions (c) et (c') par cos £, cos &', cos fr,

P cos 8 + P'cos B + P'cosf = B;

et en multipliant les mêmes expressions par cos y, cosy, COS y;

P cosy + P'cosy + P’cosy = C.

Mais, dans l'hypothèse P'—0, P'—0, ces dernières égalités se réduisent à ..... (i)

A=Pcose, B—Pcosf, GC —P cos.

Ainsi,

COS «x —

ml >

B C , CO PR) COSy =D»

ce qui devient, en substituant à P sa valeur (h),.... (k)

COS x —= 19", NA MONS) VA + B? + C* cos 5 — APR VS ETS

PRO

Done, lorsqu'on connaîtra la somme des projections A, B, C, sur trois plans rectangulaires quelconques, les expressions (4) détermineront immédiatement les inclinaisons du plan de la plus grande projection, ou du planprincipal, par rapport à ces trois plans coordonnés. Comime cette détermination du plan principal ne dépend que des inclinaisons #, 5, y, on voit qu'il existe une infinité de plans principaux parallèles entre eux, et qu’en général la somme des projections d'un nombre quelconque d’aires est la même sur tous les plans parallèles entre eux.

6. Il est encore facile de voir que la somme des projections des aires }, }', }”, ete., est la même sur tous les plans également inclinés sur le plan principal; car, en nommant Q la somme des projections sur un plan quelconque dont les inclinaisons par rapport aux plans coordonnés sont 4, b, e, on a, d’après la relation (c),

Q = A cosa HB cosb + C cose.

Mais si #, 8, y désignent toujours les inclinaisons du plan principal, on a aussi

A—"Picose;, B—P'cos8, C — Pcosy,

d’où, substituant ces valeurs dans l'équation précédente,

Q— P (cos a cos « + cos b cos £ + cos c cos y).

Or, la quantité cos a cos 4 + cos b cos 6 HE cose cos y est équivalente au cosinus de l’angle formé par le plan principal (x, 6, y) avec le plan quelconque (a, b, c); donc, nommant 0 cet angle d’inclinaison, la valeur de Q se réduit à

Q— P cos,

ou, remplaçant P par sa valeur (k), Q— cos0. V/A? + B? + C?,

Cette dernière expression nous montre que la somme Q des projections est la même pour tous les plans qui font un même angle 6 avec le plan principal, et que cette somme diminue à mesure que l’angle 0 augmente. Lorsque 9 — 90°, on a cos 4 = 0, et, par conséquent,