DRE

7. Les dimensions calculées d’après les formules (4) et (Æ) pourront être employées avec confiance dans la pratique, parce qu’on y a fait abstraction de la cohésion des terres ; d’où il résulte que la résistance du mur ne fait pas seulement équilibre à la poussée, mais qu’elle lui est supérieure. Cependant, comme ces formules supposent que la base sur laquelle le mur est élevé est incompressible, ce qui n’a jamais lieu, et en outre que toutes les parties de ce mur sont assez bien unies entre elles pour faire une seule masse qui ne peut céder qu’en glissant horizontalement ou qu’en tournant autour d’une des arêtes de sa base, hypothèse très-peu exacte, on devra toujours, pour plus de sécurité, augmenter un peu les épaisseurs données par le calcul.

8. M. Mayniel, à qui l’on doit un grand nombre d'expériences sur la poussée des terres, a calculé, d’après leurs résultats, les épaisseurs suivantes pour les murs de revêtement à deux paremens verticaux : æ exprime partout 1 ’paisseur et À la hauteur.

1° Si le remblai est en terre végétale soigneusement damée ou foulée, dont le mètre cube pèse moyenne- ; P ment 1108 kilogrammes, l’épaisseur sera

Pour un mur en briques....... © — 0,16, en moellons...... æ — 0,15h, en cailloux roulés. æ — 0,14h,

en pierres de taille Z = 0,15h;

en admettant ici, comme plus loin, que le mètre cube de la maconnerie en briques pèse 1750 kil., en moellons 2158 kil., en cailloux roulés 2363 kil., et en pierres de taille 271% kil.

2 Si le remblai est formé en terres mêlées de gros gravier, damées, dont le mètre cube pèse 1546 kil., l'épaisseur sera

Pour un mur en briques....... © — 0,19k, en moellons...... © — 0,19h, en cailloux roulés. © = 0,17h, en pierres de taille Z — 0,164.

POU 5° Si le remblai est formé en sable pesant 1541 kil. par mètre cube, l'épaisseur sera

Pour un mur en briques....... © — 0,55h, en moellons...... æ — 0,30h, en cailloux roulés. æ — 0,30h , en pierres de taille & = 0,26h.

4° Si le remblai est formé en décombres ou débris de roche, dont le mètre cube pèse 1750 kil. , l’épaisseur sera

Pour un mur en briques.......

en moellons......

en cailloux roulés. Æ — 0,21h, en pierres de taille Æ — 0,17h.

5° Enfin, si le remblai est en terres argileuses soigneusement damées, dont le mètre cube pèse 1225 kil., l'épaisseur sera

LT —)0)17h; æ—0;,17h);,

Pour un mur en briques.....

en moellons......

en cailloux roulés. æ — 0,15h, en pierres de taille © = 0,14h.

Ces épaisseurs devront être un peu augmentées dans la pratique, d’après l’observation du paragraphe précédent.

M. Magniel prescrit encore de donner aux murs de revêtement destinés à supporter un remblai de terres savonneuses susceptibles d’être pénétré par les eaux, les épaisseurs suivantes :

Pour un mur en briques....... © — 0,54h, en moellons...... © — 0,49h, en cailloux roulés. © — 0,45h,

en pierres de taille © — 0,44h.

Si ces terres n'étaient point sujettes à être presque saturées entièrement par les eaux, ces dimensions seraient trop fortes, et il suffirait de donner les épaisseurs:

Pour un mur en briques....... © — 0,54h, en moellons...... © — 0,29h, en cailloux roulés. © — 0,27h, en pierres de taille © = 0,24h.

Dans le cas d’un terrain susceptible de se délayer par les eaux et de prendre un talus naturel approchant de l’angle droit, il faut faire + — 90°, et les formules (i) et (#) deviennent

sav]

ne)

Ton. 111.

elles expriment alors les épaisseurs d’un mur qui doit résister à la poussée d’un fluide.

9. L'expérience a montré qu’à épaisseurs égales les murs les plus longs avaient moins de résistance que les autres, il est donc nécessaire, lorsque la longueur du mur est un peu considérable, d'établir des contreforts intérieurs ou extérieurs qui soient liés avec soin à la maçonnerie. Ces contreforts offrent des points d'appui dont la résistance est beaucoup plus grande que l'effort qu'ils supportent, et divisert en quelque sorte le mur en parties indépendantes les unes des autres. Il est évident que plus ils sont rapprochés, moins l’épaisseur du mur doit être considérable.

10. Quelquefois le mur derevêtement doit soutenir, outre la poussée des terres, celle d’autres matières superposées sur le terrain rapporté, comme un pavé, un bâtiment, etc. Il devient alors nécessaire d’évaluer l'augmentation de poussée qui en résulte. En supposant le poids distribué uniformément sur la surface du terrain et nommant p la pression sur l’unité de surface, le poids porté par le prisme de plus grande poussée

HBE est exprimé par ph tung(: :) ; il faut donc sub-

stituer Q + ph tang G :) à la place de Q dans les équations d'équilibre, ou, ce qui est la même chose, = wh?t + pht à la place de = olt. L'expression de la

poussée devient ainsi D = (: oh + pur,

celle de son moment, déduite au moyen des considérations indiquées ci-dessus, est

: G SRE D) ke,

et l’on a, pour l’épaisseur æ du mur,

Voyez : Coulomb, Recueil de Mémoires. — Prony, Recherches sur la poussée des terres. — Magniel , Traité de la poussée des terres.

PRÉCESSION DES ÉQUINOXES. (4stron.) La cause et les effets de ce phénomène ayant été suflisamment expliqués dans le deuxième volume de ce dictionnaire, nous nous bornerons à rappeler les formules qui sont le plus en usage parmi les astronomes pour assiguer les variations qu'éprouvent les ascensions droites et les déclinaisons des astres par suite de ce mouvement

rétrograde de la ligne des équinoxes.

Lorsque, dans la théorie du mouvement de la terre dans son orbite, l’on considère le déplacement fort lent de cette courbe, et qu’on la rapporte à une écliptique fixe, telle que celle de 1750, on trouve que son obliquité sur celle-ci s'accroît proportionnellement au carré du temps, mais d’une quantité si petite, qu’il est absolument inutile, pour l’objet que nous nous proposons, d’y avoir égard. Il n’en est pas de même de la variation séculaire de l’angle que l'équateur céleste fait avec le plan de l’écliptique variable; car, depuis 1750 jusqu’à ce jour, il a diminué progressivement de 0'48 par an. En général, soit l’obliquité moyenne; celle de 1790 s’élant trouvée de 28°28'18", on a, au bout de t années,

en négligeant toutefois le terme dépendant du carré du temps, et dont le coeflicient négatif est extrêmement petit.

Le mouvement de précession annuelle luni-solaire, estimé sur l’écliptique fixe, étant désigné par dl', on a, à partir de 1750, |

dl = 50",37572 — +. 0',0002455890,

tandis que la précession générale annuelle mesurée sur l’écliptique actuelle où variable est

dl = 50',21129 + t. 0',0002442966.

Maintenant, si l’on a recours aux formules différentielles (2) (1) obtenues à l’art. Nurariow, lesquelles expriment généralement les variations en ascension droite et en déclinaison, lorsque la longitude d’un astre et lobliquité de l’écliptique changent d’une très-petite quantité, on aura, en faisant ici do —0, puisque l’obliquité moyenne peut être censée constante pendant un petit nombre d'années, on aura, disons-nous,

dA = (cos +- sino tang D sin A)d, dD — sin w cos À . dl.

Cependant il est à remarquer que la variation dA élant comptéé à partir de l’écliptique de 1950, il est nécessaire de lui faire une légère correction pour la rapporter à l’origine actuelle des ascensions droites; ce qui s'effectuera en diminuant cette variation de la petite quantité y = 0',17926. t.

Il résulte de là que si lon fait

M— COS w. dl — p, n —'sMmo eu,

les formules de précession en ascension droite et en déclinaison seront respectivement

dA — m + nsin À tang D, dD = n cos A.

Les coelliciens m, n, sont ce qu’on appelle les constantes de la précession, quoique, dans la réalité, elles varient un peu avec le temps. En effet, M. Bessel a trouvé qu’à partir de 1550

Voy. la Connaissance des temps pour 1829.

Dans le catalogue contenant les positions moyennes des étoiles, le mouvement de précession est Compris sous la dénomination de variation annuelle, à partir du 1°" janvier de l’année à laquelle se rapporte ce catalogue, et il a été calculé pour chaque étoile au moyen des formules précédentes.

En terminant, nous ferons observer que l’obliquité apparente de l’écliptique est égale à l’obliquité moyenne augmentée du terme 9",426 cos N, en appelant N la longitude moyenne du nœud ascendant de la lune. (Voy. NuTaTIoN.)

(M. Puissant.)

PRESSION. (Méc.) Les moyens généraux de déterminer la pression des solides contre les surfaces qui les supportent ayant été exposés au mot FROTTEMENT, nous nous occuperons seulement dans cet article de la pression des fluides dont l'évaluation est importante pour diverses questions d’hydraulique. Quant à l'emploi des pressions comme moteurs, il en a été question aux mots Force, Mouvemenr et Macnine.

1. Considérons un liquide homogène renfermé dans un vase de forme quelconque et abandonné à lui-même. Il est évident que l’équilibre ne peut exister dans la masse liquide qu’autant que chaque molécule en particulier subit des pressions égales dans tous les sens de la part des molécules environnantes; car, si la pression était plus forte dans une certaine direction que dans la direction opposée, la molécule se mettrait nécessairement en mouvement, Or, lorsqu'une masse liquide est en repos, on peut toujours supposer, sans rien changer aux conditions d'équilibre, qu’une de ses parties soit solidifiée; ainsi, en admettant que toute la masse devienne solide, à l’exception d’un petit canal vertical cd (fig. 6, PI. XX) qui contient une seule file de molécules, les pressions supportées par la dernière, d, de ces molécules, resteront les mêmes; mais la molécule d supporte le poids total de la file cd des molécules, donc, avant la solidification, elle supportait la même pression verticale, et puisque alors elle restait en repos, c'est qu’elle était pressée par le liquide inférieur de manière à faire équilibre à la pression verticale. Imaginons maintenant un petit canal cde toujours composé d’une seule file de molécules et allant aboutir sur une des

parois latérales du vase ; la pression des molecules ren

TT —— rm D PE CT

fermées dans le bras horizontal de sur la molécule d sera évidemment égale au poids des molécules renfermées dans le bras vertical cd, et il en serait encore de même si le bras de, au lieu d’être horizontal, était incliné. On peut donc conclure qu’une molécule quelconque d'une masse liquide éprouve dans tous les sens une pression égale au poids d’une colonne verticale du liquide qui aurat pour base cette molécule et pour hauteur sa distance à la surface libre du liquide. N résulte de cette proposition plusieurs conséquences remarquables :

1° Tous les points d’une tranche horizontale quelconque d’une masse fluide supportent la même pression.

2° La somme des pressions supportées par une tranche horizontale est égale au poids d’un prisme liquide qui aurait pour base la surface de la tranche et pour hauteur la distance de cette tranche au niveau du liquide.

3° La pression normale fg exercée par le liquide sur un point g d’une paroi inclinée BN est égale au poids de la colonne liquide verticale Ag, qui a pour hauteur la distance du point g au niveau du liquide. En effet, cette pression normale fg est celle que supporte la molécule g en contact avec la paroi, et à laquelle la résistance de la paroi fait équilibre; et l’on vient de voir que les pressions d’une molécule, dans tous les sens, sont les mêmes que sa pression verticale.

Si la paroï est horizontale, comme AB, il est visible que la pression exercée en un de ses points b est toujours égale au poids de la colonne liquide verticale ab.

2. Nommant « l’aire d’une paroi, do son élément, z la distance de cet élément au niveau du liquide, et z le poids de l’unité de volume de ce liquide, le poids de la colonne verticale qui a pour base do aura pour expression

w Zdw,

et comme, d’après ce qui précède, ce poids est égal à la pression normale que le liquide exerce contre l’élément do de la surface , la pression totale supportée

par la surface w sera fra,

de sorte qu’en désignant cette pression totale par P, nous aurons l'expression fondamentale …. (a)

= c fat

dont nous avons donné ailleurs la déduction analytique. (Voy. HyprosrariQue, tome II.)

3. Ceci posé, il est facile de voir que le “problème d'évaluer la pression d’un fluide contre une surface qui en est recouverte se réduit à trouver la valeur de de en

fonction de z et à effectuer ensuite l'intégration indiquée.

Examinons d’abord le cas le plus simple. Soit, la surface pressée, le parallélogramme ABCD (PI. XX, fig. 7) incliné d’une manière quelconque par rapport à l'horizon, mais dont les deux côtés AB et CD sont des lignes horizontales, Par un point quelconque Q de la base AB, menons une perpendiculaire QG, cette perpendiculaire mesurera la distance des côtés opposés AB et CD et l'angle GQN qu'elle formera avec l'horizontale MN, sera l’inclinaison de ABCD sur le niveau inférieur du fluide. Nommons

a le côté AB;

b la longueur GQ de la perpendiculaire ;

æ la distance GO d’un point quelconque O de la perpendiculaire à son extrémité supérieure G ;

la distance OE de ce même point O au niveau su-

périeur mn du fluide ; l’angle GQN.

Si nous partageons le parallélogramme ABCD en une infinité de tranches horizontales d’une largeur infiniment petite, la pression sera la même sur tous les points d’une même tranche, et nous pourrons, conséquemment, considérer ces tranches comme les élémens de la surface. Or, la tranche abcd, qui correspond au point O, a pour aire ab X Op ou adx; car ab — AB —a, et Op est l'accroissement infiniment petit de GO = x; ainsi

du — adx.

Nommons À la distance FG de la base supérieure CD au niveau supérieur du fluide, et, menant GH parallèle à mn, observons que le triangle rectangle GHO, dans lequel l'angle HGO — GQN — x, donne

HO — 0G.. sinx —æsin«, d’où il résulte EO = 3 = FG + HO = À + x sin «.

Substituant ces valeurs de ds et de z dans l’équa-

tion (a), elle devient

P— " | (: + æ sin cJaie, et l’on obtient, en prenant l’intégrale depuis ?—0 jusqu'à æ = b, à 1 .

P— 5: (arr + = ab° sin «) .

expression dans laquelle il n’y a plus qu’à substituer les valeurs particulières des quantités @, b, k, « et x, pour

obtenir la valeur numérique de P.

5. Si la surface ABCD était horizontale, l’angle « serait nul et la valeur de P deviendrait

P — sabh,

c’est-à-dire qu’elle serait égale au poids du prisme de fluide qui aurait ab pour base et k pour hauteur ; résultat déjà obtenu quelle que soit la forme de la paroi (voy. tome IT, p. 95), et dont nous avons signalé les conséquences extrêmement importantes.

4. Si la surface était verticale, l'angle « serait de 90°, et comme sin 90° — 1, il viendrait

P —3 C2 + . ab).

Dans le cas où le côté supérieur CD serait à fleur d’eau, c’est-à-dire au niveau de la surface supérieure du fluide, on aurait À — o, et la pression se réduirait à

P — — sab?,

= Elle serait donc alors équivalente au poids de la moitié d’un prisme de fluide ayant la surface ab pour base et b pour hauteur.

5. Proposons-nous, comme application, de déterminer la pression qui a lieu sur les parois rectangulaires d’un réservoir d’eau ABCD (PI. XX, fig. 8); en supposant que ce réservoir, constamment plein, soit un parallélipipède rectangle ayant 10 mètres de long sur 15 de large et 8 de hauteur. Les dimensions des deux plus petites parois seront ainsi 4a—10,b—=8, et celles des deux plus grandes a — 15 et b —8; le mètre étant l'unité linéaire, nous avons de plus 5 = 1000 kilogrammes, et, par conséquent,

Pression sur la plus petite paroi = = + 1000 X 10 X, 8?

Pression sur la plus grande paroi — A

Dans la construction d’un pareil réservoir, il faudrait donc donner aux murs formant les parois des épaisseurs suffisantes pour résister à ces pressions. ( Voy. PoussÉE DES TERRES.) ?

6. On nomme centre de pression le point où la résultante des pressions de tous les élémens de la paroi vient la rencontrer, et où, par conséquent, la pression totale peut être censée appliquée. Ce centre se confond avec le centre de gravité pour les parois horizontales dont tous les points sont également pressés; mais pour les parois latérales, comme la pression augmente avec la distance au niveau du fluide, le centre de pression est toujours plus bas que le centre de gravité. On déter=

mine sa position au moyen de la théorie des forces parallèles, en opérant de la manière suivante. Reprenons l’expression générale

P— as [Q + æ sin «)dæ, dont la différentielle dP = ax (h + x sin «)dæ

représente la pression élémentaire qui a lieu sur l’élément abcd (fig. 7). Or, si l’on multiplie cette pression élémentaire par la distance æ de l’élément à la droite CD, et qu’on fasse la somme des produits semblable pour tous les élémens, cette somme sera égale à la pression totale P multipliée par la distance de son point d’application à la même droite CD. Nommant donc t cette distance inconnue, on aura

act fa — æ sin «)dæ = 45 fon — æ sin «)xdx,

les deux intégrales étant prises depuis æ= 0 jusqu’à æ — b. Retranchant les facteurs communs & et x et intégrant entre les limites prescrites, on obtient

__ 3hb + absin« 7 6Gh+ Gbsine

Connaissant la valeur de t, le centre de pression se trouve déterminé; car ce centre devant se trouver nécessairement sur la ligne RS qui partage tous les élémens du parallélogramme en deux parties, si l’on prend Gt—t et qu'on mène to parallèle à CD, le point o où cette parallèle coupe RS est le centre de pression.

7. Quand la paroi est horizontale, « est nul et la valeur de f se réduit à

‘Il est facile de voir que cette valeur coïncide avec le

centre de gravité, ce qui devait être.

Si la base CD est à fleur d’eau, cas pour lequel k—0, on a simplement, quel que soit l'angle «, dont le sinus disparait,

Ainsi le centre de pression d’un parallélogramme dont un des côtés est à fleur d’eau se trouve aux deux tiers de la droite qui joint les milieux des deux bases horizontales, à partir de la base supérieure. Ce résultat, dans le cas d’un rectangle, est identique avec celui que nous avons obtenu pour la poussée des terres. (Voy. ce mot.)

8. Si la surface pressée avait une autre forme que celle d’un parallélogramme , les procédés généraux de la détermination de la pression et de son centre de pression seraient toujours ceux que nous venons d'indiquer; il n’y aurait de différent que le calcul relatif aux expressions particulières de x et de ds en fonctions d’une variable commune. Prenons pour exemplele trapèze ABCD (PI. XX, fig. 9), dont les deux bases parallèles AB et CD sont horizontales. Faisons AB — mi, CD —#, prolongeons les deux autres côtés AC et BD jusqu’à ce qu’ils se rencontrent en un point Q, duquel nous abaisserons la perpendiculaire QH sur les deux bases parallèles. Imaginons par cette perpendiculaire un plan vertical qui coupe le fond du vase suivant l'horizontale MN et le niveau du liquide suivant !’horizontale mn. Enfin, partageons le trapèze en une infinité de tranches parallèles et horizontales d’une largeur infiniment petite; nommons ds l’une de ces tranches ab, z sa distance EO au niveau du liquide, x sa distance OH à la base supérieure CD, et nous aurons, comme ci-dessus (n° 2), pour l’aire de la tranche, ab X dx, et pour la pression qu’elle supporte

ab X szdx.

Il reste donc seulement à trouver la valeur de ab. Or, faisant QH = y, nous avons

ab : CD — Q0 : QH, ou adb:n—=y—x:7y,

ce qui donne

ab = CIE =) .

y Mais, quand x = GH — b, on a ab — AB — m; ainsi m ="), y d’où D:

Ainsi la pression sur l'élément ab est définitivement Loi 5 (nb — nx + mx) zdx,

et la pression totale sur le trapèze est l'intégrale de cette quantité prise depuis & = 0 jusqu'à x = b,

Pour pouvoir effectuer l'intégration, il faut encore exprimer z en fonction de æ. Menons donc HR parallèle à MN; désignons par « l’angle RHO égal à l’angle HGN d'inclinaison de la paroi, et par h la distance FH de la base CD au niveau du liquide. Nous aurons

OR = OH. sinu — xsine, 3 = ER + OR = h + xsine,

d'où, définitivement, nommant P la pression totale = 2 (nb — nœ + mæ) (h + x sinx)dr.

Intégrant entre les limites o et b, on trouve ..…. (b)

Po (a 0h + m) GW (n + am)sina).

Signalons, avant de passer outre, les conséquences de ce résultat. Si les deux côtés n et m étaient égaux, le trapèze deviendrait un parallélogramme, et l’on aurait, comme ci-dessus (n° 2), en faisant m— n — a

P— c (arr += ab sina).

Si le côté AB — m était nul, le trapèze se changerait en un triangle d’une base n et d’une hauteur b, et la pression deviendrait

P=5 (nor +ant sin a).

Cette dernière formule donne le moyen de calculer la pression sur une paroi plane rectiligne quelconque; car toutes les figures rectilignes peuvent être décomposées en triangles.

Si l’on veut connaître maintenant le centre de pression du trapèze, il faut observer, comme nous l’avons fait au n° 6, que la somme des pressions élémentaires multipliées par les distances respectives æ des élémens au côté CD, est égale à la pression totale P multipliée par la distance de son point d'application à la même droite; de sorte qu’en nommant t cette distance inconnue, on a l'équation

tP— nf (no — nt + me) (ht + x sin «)dr,

ou, en intégrant le second membre entre les limites D— 0 %— 0,

P—5S G b'h(n + 2m) + = b'(n + 3m)sin «).

Substituant à P sa valeur (b) et tirant la valeur de t, il vient, toutes réductions faites,

__ 2bh(n + 2m) + b?(n + 5m) sin «

6h (n + m) Æ 20 (n 5m) sin &

41% PRE Ainsi, prenant sur GH, à partir du point H, la partie Hit, et menant {0 parallèle à CD, le point o où cette droite rencontrera la ligne menée par les milieux des côtés opposés AB et CD sera le centre de pression; car ce centre doit se trouver nécessairement sur la ligne des milieux et à une distance t de CD.

Lorsque le côté CD est à fleur d'eau ou que k = 0,

on a simplement

b(n +53m) 2(n+em)?

ce qui nous montre que la position du centre de pres-

sion est alors indépendante de l’angle d’inclinaison & du trapèze.

Si, le côté CD étant toujours supposé à fleur d’eau, l’on avait m— 0, et dans ce cas le trapèze deviendrait un triangle ayant son sommet au fond du vase, la yaleur de { se réduirait à

c'est-à-dire que le centre de pression occupe le milieu de la droite menée du sommet au milieu de la base.

Dans le cas de n = 0, où le triangle a son sommet à fleur d’eau, on a

c’est-à-dire que le centre de pression est situé aux trois quarts, à partir du sommet, de la droite qui joint ee sommet au milieu de la base.

Il est facile de voir que, dans tous les cas, le centre

de pression d’une paroi inclinée est plus bas que le.

centre de gravité de cette paroi.

9. On déduit facilement de ces résultats que lorsqu’un liquide est renfermé dans un vase prismatique à base horizontale, les centres de pression de toutes les parois latérales sont situés sur le polygone formé par l'intersection de ces parois et d’un plan parallèle à la

è D DE: A s c base distant du niveau du liquide des 3» à partir de ce

niveau, de la hauteur du liquide dans le vase. Dans un vase cylindrique, la ligue des centres de pression est un cercle.

Pour un vase conique dont le sommet serait en bas, la ligne des centres serait un cercle situé à égale distance du niveau de l’eau et du fond. Si le sommet était

S : : 3 en haut, la ligne des centres serait placée aux z de la

hauteur à partir du niveau du liquide.

10. La propriété caractéristique des fluides en repos étant de transmettre dans tous les sens les pressions qu’on exerce sur eux, si la surface libre d’un liquide

PRO

éprouvyait uné pression quelconque, le centre de pression d’une paroi ne changerait pas; mais il faudrait ajouter à la pression due au poids du liquide et considérée comme appliquée à ce centre la totalité de la pression étrangère. (Voy. HyxprosrariQue, tome I. Voy. aussi, dans ce supplément, les mots Réacriox et RÉSISTANCE. )

PROJECTIONS DES SURFACES PLANES. La liaison qui existe entre les propriétés des momens (voy. ce mot) et celles des projections rend la considération de ces dernières très-utile dans les questions de haute mécanique, Nous indiquerons ici les propositions les plus importantes qui les concernent. Elles reposent sur le théorème fondamental suivant :

1. Taéorkue. La projection d'une surface plane, sur un plan, est égale à l'aire de cette surface multipliée par le cosinus de son inclinaison sur le plan de projection.

Une surface plane quelconque, rectiligne, curviligne ou mixtiligne, pouvant toujours être décomposée en triangles rectilignes finis ou indéfiniment petits, il suffit de démontrer que ce théorème a lieu pour un triangle. Soit donc ABC ce triangle (fig. ro, PL. XX) et A'B'C'sa projection sur un plan situé d’une manière quelconque dans l’espace. On sait que l’aire A'B'C' se trouve déterminée par les pieds des perpendiculaires AA’, BB’, CC abaissées des sommets du triangle ABC sur le plan de projection ; ainsi cette projection A'B'C' peut être considérée comme la base d’un prisme triangulaire tronqué, dont les trois arêtes sont AA'BB'CC'. Or, le volume d’un prisme tronqué (voy. ce mot) est équivalent au tiers du produit de sa base par la somme des perpendiculaires abaissées des trois sommets opposés sur cette base ; donc, comme ici les arêtes sont perpendiculaires à la base A'B'C’, nous avons :

‘ : 1 L LL ‘ volume — aire A'B'C'X 3 (AA + BB'+ CC).

Mais si nous renversons le prisme de manière que ABC devienne sa base (fig. 11, PI. XX), nous aurons encore, pour l'expression de son volume,

1 4 , ; volume — aire ABC X 3 (A'a + B'b + C'e),

A'a, Bb, C'e étant les perpendiculaires abaïssées des sommets A'B'C' sur la base ABC. Il en résulte évidemment .….. (a)

— site ABC X ; (A'a + B'b + C'e).

aire A'B'C' X 7 (AA°—Æ BB'+ CC')

Observons maintenant que les angles respectivement

PRO

formés par les arêtes AA’, BB', CC’ et les perpendiculaires A'a, Bb, C'e sont les mêmes, et que l’un quelconque de ces angles, aA'A, mesure linclinaison des deux plans ABC, A'BC' (voy. GÉOM. AUX TROIS DIN., n° 50); de sorte qu’en désignant par « cêt angle d’inclinaison, nous avons

a —= angle aA'A — angle bB'B — angle cC'C.

Menant, dans le plan ABC, les droites Aa, Bb, Ce, les triangles A'aA, B'bB, C'eC, respectivement rectangles

en a, en b et en c, nous donneront A'a— AA'.cose, B'b — BB’. cosu, G'e— CC’. cos,

d’où nous conclurons A'a=E Bb + C'e — (AA'<+ BB'+- CC') cos «.

Comparant cette égalité avec (a), il viendra aire A'B'C' X Z (AA BB + CC') — aire ABC X x (AA' + BB'+ CC')cose,

et nous obtiendrons définitivement, en supprimant les facteurs communs,

aire A'B'C'— aire ABC . cos,

ce qui est le théorème en question.

2. On déduit immédiatement de cette propriété un théorème très-remarquable sur les projections, et dont voici l’énoncé :

La projection d'une surface plane sur un plan est égale à la somme des projections de cette même surface sur trois plans coordonnés, multipliées respectivement par les cosinus des angles qui mesurent les inclinaisons du plan de projection sur les plans coordonnés.

En effet, désignons, pour ne pas les confondre, par À et A’ deux plans situés dans l’espace, et nommons u, GB, y les angles que le plan A fait avec trois plans rectangulaires coordonnés, et «’, f', y les angles que le plan A fait avec les mêmes plans coordonnés. Si de l’origine des coordonnées nous abaissons une perpendiculaire sur chacun des plans A et A’, l'angle de ces deux perpendiculaires mesurera l’inclinaison des deux plans ; et comme, en outre, les angles d’un plan avec les axes sont les mêmes que les angles de sa normale, nous aurons (Géo., n° 16), en nommant » l'angle d’inclinaison des plans À et A,

COS 9 — COS « . COS& = cos 8. cos BG cos y. cos y’.

Or, si nous représentons par } l'aire d’une surface plane

renfermée daus le plan 4, et que nous multiplüons

PRO par 2 les deux membres de l'équation précédente, il viendra ..... (b)

COS 9 — À C08& . COS& A cCOsB. ÉosE'+Icosy. cosy,

relation qui constitue le théorème énoncé ; car, en vertu du théorème fondamental (1), à cos » est la projection de l’aire } sur le plan A’, et } cos #, } cos £» À cosy, ses projections sur les trois plans coordonnés,

3. Pour généraliser ce dernier théorème, nommons ),X,»', etc., des aires situées sur divers plans et projetées toutes sur un plan formant les angles 4, B, y avec les plans coordonnés, et désignons Pare

ÿ Vinclinaison de l'aire À sur le plan de projection,

a, D, c, les angles de l'aire À avec les plans coordonnés, 9’, l'inclinaison de l'aire À sur le plan de projection,

a, D, c', les angles de l'aire } avec les plans coordonnés, g' l'inclinaison de l'aire X sur le plan de projection,

a, b',c', les angles de l'aire X” avec lés plans coordonnés,

GEC- Eee lEICS.. ce

Nous aurons, en vertu de la loi (b),

À COS ÿ — À cos a cos æ + } cos b cos B +) cos e cos +, *'cos g —X cos a’ cos « + X'cos b'cos B+X'cos c’cos y, X'cos g'= cos a’ cos « + X cos b’ cos B + cos c'cos 7,

etc. . —etc.,

d’où nous tirerons, en additionnant,

cos 9 + X' cos # Æ X cos s etc. — — (à cos a + \ cos a + X cos a" + etc.) cos «, + (cos b +) cos D Y co$ D etc.) cos £, + ( cos e + X cos c'H-X" cos € + ete.) cosy,

—+etc.,

expression que nous pourrons mettre sous la forme plus simple ..….. (c)

P — À cos + B cos 6 + Ccos,

en désignant par P la somme des projections des aires à, X', à", etc., sur le plan de projection, et par A, B, C la somme des projections de ces mêmes aires sur les trois plans coordonnés. Ainsi, quel que soit le nombre des aires }, \, X', ete., et leurs positions dans l’espace, la somme de ïeurs projections sur un plan quelconque est équivalente à la somme de leurs projections sur les trois plans coordonnés, muhipliées respectivement par les cosinus des angles qui mesurent les inelinaisons du plan de projection sur les plans coordonnés.

4. Supposons que, sans rien changer à la position des plans coordonnés, on projette encore les aires 1), l',ete., sur deux autres plans formant respective

ment avec les plans coordonnés des angles «', re y et

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a, £', 7, on aura évidemment, en nommant P et P'les sommes des projections sur les nouveaux plans... (c’)

P'—Acosu + Bcosf + Ccosy, P'— A cos’ + B cos ff + C cos y.

Joignant l'équation (ec) à ces deux dernières, Les élevant toutes trois au carré et additionnant, il viendra ..….. (d)

PP? pP? + pi — A? (cos? « + cos? B + cos? y) + B? (cos? f + cos? G' + cos? F') + C£ (cos? y HE cos? y + cos? y) + 2AB (cos « cos 5 + cos «' cos G —+ cos x cos G') —- 2AC (cos « cos y + cos «cos y + cos «” cos y) + 2BC (cos £ cos y + cos G' cos y — cos f' cos y").

Ceci posé, observons que «si les plans de projection P, P', P'étaient rectangulaires, on pourrait considérer leurs intersections comme trois nouveaux axes coordonnés; mais alors les angles des nouveaux axes avec les anciens mesurent les inclinaisons des nouveaux plans coordonnés sur les anciens plans, et sont conséquemment, d’après l'hypothèse &, 6, y; «', B', y; a, 5, J : de sorte que

l'ancien axe des® fait avec les nouveaux axes les angles &, «', 2’,

l'ancien axe des Ven ae MR An Tee les angles £, B'; (',

A'ancientaxe des 20e selhneher eme .…. les angles y; 7 7» et l’on a (Géo., n° 153) les relations .…. (e)

cos? « + cos? «+ cos? «& — 1, cos? 8 + cos G + cos! — 1, cos? y + cos? y cos? y — 1.

De plus, l'angle formé par deux quelconques des nou-

veaux axes étant droit, on a encore (G£om., n° 16)

COS & COS B + cos a’ cos B’ + cos «’ cos & — 0,

COS « COS y + cos «COS y + cos « cos y = 0,

cos B cos y + cos £'cos y + cos G' cos y — 0. Substituant ces valeurs dans l'expression (d), elle devient... (g)