NI < 1 DEN

égale à — OA X AB ou — rR ; ainsi l'aire de ce triangle 2 2

est équivalente à la moitié du moment de la force R,; et il en résulte qu'un moment peut toujours être représenté par le double de l’aire du triangle qui a pour base la force et pour sommet le centre des momens. Or, la projection du triangle OAB sur un plan mené arbitrairement par le centre O des momens est un autre triangle OA'B' qui a même sommet que le premier, et dont la base A'B', projection de la droite AB, peut représenter une force R’ différente de la force R représentée par AB; donc la projection du moment de la force AB est équivalente au moment de la force A'B'. Par le point B', menons B'a parallèle à AB, et supposons que la force R soit transportée parallèlement à elle-même au point B'; elle sera alors représentée par B'a — AB; de sorte que, si on la décompose en deux autres forces, l’une perpendiculaire au plan de projection, et l’autre dirigée dans ce plan, la dernière composante sera évidemment B'A’, et nous pourrons dire que la projection du moment d’une force quelconque est équivalente au moment de sa composante suivant le plan de projection. C’est sur cette propriété qu’est établie la liaison des momens ayec les projections des surfaces planes.

8. En effet, soient R, R,, R,, R,, etc., des forces quelconques ; prenons sur leurs directions des droites proportionnelles à leur intensité, et considérons ces droites comme les bases d’autant de triangles ayant pour.sommet commun le centre O des momens, que nous prendrons pour origine des coordonnées, et pour hauteurs les perpendiculaires r, r,, r,,T,, abaissées du centre sur les bases R, R,, R,, etc. : les projections de ces triangles sur un plan formant les angles «, Bet y avec les axes, seront d’autres triangles ayant pour bases les projections R', R',, R',, R',, ete., des côtés R, R,, R,, etc., et pour hauteurs les perpendiculaires r', r,', r,;,7,, Cte., abaissées du centre O sur ces bases.

Les aires destriangles dans l’espace seront ainsi... ({)

. rR, : HAE : r,R;; etc.s et les aires de leurs projections sur le plan (x, 8, y) se= ront respectivement ..…... (m)

cr'R, cris LUS etc.

sn —

418 PRO

Mais, d’après le théorème du n° 3, si nous désignons respectivement par À, B, C les sommes des projections des aires ({) sur les plans coordonnés, nous aurons

ir A + Sri + : r,'R, + ete. = À cos « + B cos 6 + Ccosy, ou TRELNR HR, + etc. = 2A cos« —+- 2B cos 6 + 2C cos 7.

Ainsi, observant que les produits r'R, r,'R,', etc., sont les momens des forces R', R,', R’,, etc., et que les quantités 24, 2B, 2C représentent les sommes du double des projections des aires ({) sur les plans coordonnés, nous

PRO

en conclurons que la somme des momens des projections des forces sur le plan (x, 6, y), qui passe par l’origine, est égale aux trois sommes des momens des projections des mêmes forces sur les plans coordonnés, multipliées respectivement par les cosinus des inclinaisons du plan de projection.

9- On trouverait par des substitutions semblables dans l’équation (g) que

La somme des carrés des momens des projections des diverses forces par rapport à trois plans rectangulaires est constante. :

Enfin les équations (i) feront connaître la position du plan sur lequel la somme des momens est la plus grande, et l'équation (h) donnera la valeur de la somme des momens sur ie plan principal. On nomme cette dernière somme moment principal.