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MT une tangente de la surface à ce point et MO sa normale. Si l’on imagine un plan passant par les deux droites MT et MO, ce plan déterminera par son intersection avec la surface (1 )une courbe AMB dont il s’agit - de trouver le rayon de courbure au point M.

Observons, pour cet effet, que si l’on prend sur la courbe AB un point M' infiniment proche de M, la normale M'O de ce point M’ coupera la normale MO du point M en un point O qui sera le centre du cercle osculäteur de la courbe AB en M, c’est-à-dire que MO sera le rayon de courbure demandé, et qu’il suffit, pour connaître sa grandeur, de déterminer les coordonnées 7, y,2z du centre O, car la distance des deux points M (æ, y, z), O (x', y x) est donnée par la formule connue (GÉOMÉTRIE AUX TROIS DIMENSIONS, n° 4), (2)

MO=V/(—2) +(y—ÿ+G—2

Or, le centre O est l'intersection de trois plans , savoir du plan de la courbe AB et des deux plans normaux consécutifs passant par les normales consécutives MO etM'O, ou simplement l'intersection de la normale MO par le plan normal au point M'; ainsi les valeurs des coordonnées æ, y, z qui satisferont à la fois aux équations dela normale et à l'équation de ce dernier plan seront précisémentles valeursde +’, y', z'.

Représentons par

y =} les équations de la courbe AB, les équations de sa tangente seront (Voy. PLAN TANGENT) :

RAY æ',y', z' désignant les coordonnées générales etæ, y, z, les coordonnées particulières du point M. Mais l’équation du plan normal au point æ, y, %, étant nécessaire ment de la forme

A (at — æ) + B(y — y) + C(x — 7) = 0,

on a (GÉOMÉTRIE, n° 26)

puisque ce plan est perpendiculaire à la tangente ; son équation devient donc... (3)

(& — ad + (y — dy + (& — 2)ds = 0.

Quant à l’équation du plan normal infiniment voisin, ou passant par le point M', elle se déduit très-aisément de la précédente, car il suflit d’y changer æ en æ + dx, y en y+-dy et z en z+- dz, ce qui donne... (4)

(a — ad + (y — y)dy + (x — xd @— ae + (y — dy + (x — 58 — dx? — dj? — d>

Nous avons en outre pour les équations de la normale au point M... (5)

Maintenant, si nous regardons les coordonnées générales & y', 2’ comme les mêmes dans les équations (5), (4) et(5), elles représenteront les coordonnées du point O commun aux deux plans normaux consécutifs (5) et (4) et à la normale (5). Mais en vertu de l'équation (5), l'équation (4) se réduit alors à... (6)

(a — 2) + (y —y)dy+ (x — 283 | — da? — dy? — dz°

ainsi combinant cette dernière avec les équations (5)on en tirera (7)

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