RAY
en posant pour abréger dre : GA 4 en MAILLE Free
da? + dy? + di = dW.
Substituant les valeurs (7) dans la formule (2), on obtiendra donc pour la grandeur du rayon de courbure
MO, et en désignant ce rayon par p.….. (8)
duV’i Ep + da px — qdy
La variable q de cette expression étant fonction des deux variables indépendantes æ et y admet, dansles divers ordres, plusieurs dérivées partielles qu’on est dans
l'usage de désigner par Q 8
LE2,"0 ds d'z d'z d'3 tr, = 8, 0 its dx? dædy dy°
de sorte que ses différentielles totales du premier et du second ordre sont :
dz — pdx + qdy, dx — dpdx + dqdy + da? + osdxdy + tdy”,
remplaçant dans (8) dx par sa valeur il vient... (9)
duWit+r FR 8 yda? LE osdædy + tdy”
Telle est l'expression générale du rayon de courbure de la section normale AMB; nous verrons plus loin comment on en déduit la valeur du rayon de courbure d’une section oblique (Voy. SEcr10x).
On peut donner à l'expression (9) une autre forme en \ introduisant les angles #, B, 7, que fait la tangente MT avec les axes coordonnés. Il faut observer pour cela, que du n’est autre chose que la différentielle ou l'élément MM' de la courbe AB, et qu’ainsi l’on a les
rapports da dy dz it DÉCERNÉ £s mis COL
divisant donc par du’ les deux termes du second membre de l'égalité (9) et remplaçant les rapports par leurs valeurs, on obtient (10)
Vire
PT root + 25 cos « cos £ Lt cos 6?
dans laquelle les angles et £ sont liés par une relation particulière. En effet, les coordonnées de Ja courbe AB
REA doivent satisfaire non seulement à la condition générale
da? + dy? + de? = du, mais encore à l'équation différentielle de la surface
dz — pdx + qdy,
ce qui donne GE port + opqdady + (1 + gd = du.
Divisant les deux membres de cette dernière équation par du? et substituant les cosinus aux rapports des différentielles, on trouve... (11)
(1 +- p°) cos? «+ 2pq cos « cos 6 + (1) co £— 1,
c’est-à-dire quel’angle étant arbitraire, les deux autres angles 4 et5 ne peuvent varier qu'en restant soumis à la condition (11).
Lorsqu'on veut n’employer qu'une seule indéterminée dans l'expression (10) on pose... (12) cosG dy
LE = SE —m cosz dæ
cette valeur substituée dans (10) et (11) conduit, par l'élimination de cos? «, à l'expression... (15)
Vprere [tp tam (tan | D EE r + 25m + tm?
c’est cette dernière dont nous avons fait usage au mot Omsizic.
RÉACTION. (Phys.) Lorsqu'un corps agit sur un autre d’une manière quelconque, ce dernier agit sur le premier et lui rend une action égale et en sens contraire que l’on nomme réaction.
On avait admis de tout temps, comme un axiome de physique, qu’il n°y a pas d'action sans réaction; mais on ignorait que la réaction est toujours égale à l’action. C’est à Newton qu'est due la découverte de cette loi, dont l'existence peut être facilement constatée dans les phénomènes du choc des corps. On sait, en effet, que, dans la communication du mouvement par le choc, le corps choquant transmet au corps choqué une certaine partie de la quantité de mouvement dont il est animé; de sorte qu’en désignant par M la quantité primitive de
mouvement du corps choquant, et par N celle qu'il.
communique au corps choqué, ce corps choquant n’a plus, après le choc, qu’une quantité de mouvement représentée par M— N. Le résultat est donc absolument le même que si le corps choqué avait imprimé au corps
choquant une quantité de mouvement — N, c'est-à-
REA dire une quantité de mouvement égale à N et dans un sens opposé à M ; mais le corps choqué a reçu en même temps, dans le sens de M, la quantité de mouvement N; donc l’action qu'il a exercée sur le corps choquant est égale et opposée à celle qu’il a recue de ce corps. Or, la quantité de mouvement acquise par le corps choqué est dite provenir de l’acrion du corps choquant, et la quantité de mouvement égale perdue par ce dernier est dite provenir de la RÉAcTION du corps choqué. Ainsi il est yrai que, dans toute communication de mouvement par le choc, la réaction est égale à l’action. Il est facile de voir à priori qu'il ne saurait jamais en être autrement; car, de quelque manière qu'un corps agisse sur un autre, il ne peut le faire qu'en consommant une partie de sa force précisément égale à celle qu’acquiert le second corps. ;
MaACnines À RÉACTION. On désigne sous ce nom divers appareils hydrauliques mis en mouvement par la réaction d’une veine fluide qui s’écoule.
Pour bien comprendre le jeu de ces machines, il faut se rappeler que, lorsqu'un liquide est en repos dans un vase, Les pressions qui ont lieu sur les parois opposées étant égales et contraires, se détruisent mutuellement et ne peuvent donner aucun mouvement au vase (voy. Pression.) Considérons, pour mieux fixer les idées, un vase rectangulaire (fg. 14, PI. XX) rempli d’eau jusqu'au niveau mn, et observons que la pression qui a lieu en À sur une petite partie de la paroi verticale mp est égale au poids d’une colonne liquide qui aurait cette petite partie de paroi pour base, et pour hauteur la distance Am du point À au niveau mn, Si cette pression agissait seule, elle tendrait à entrainer le point A, et par conséquent le vase, dans la direction de la ligne AD normale en À à la paroi mp}; mais comme, sur la paroi opposée ng, le point B placé vis-à-vis du point A est également soumis à une pression qui, si elle agissait librement, entrainerait le vase dans la direction BC opposée à AD, ces deux pressions égales et contraires se détruisent; de sorte que le vase n'éprouve aucune tendance à se mouvoir horizontalement dans un sens ou dans un autre. Ce que nous venons de dire du point À s'applique évidemment à Lous ies autres points de la paroi verticale mp. Supposons maintenant qu'on pratique en B un orifice par lequel le liquide puisse s'échapper; la pression en A, qui ne sera plus contrebalancée par la résistance de la portion de la paroi supprimée, tendra à imprimer au vase un mouvement dans la direction AD, opposée à celle du jet, et en vertu de cette pression, le vase glissera sur la surface horizontale qui le supporte, si toutefois la résistance du frottement n’est pas plus grande que la force de pression. On peut vérifier ce phénomène en faisant flotter sur de l’eau tran-
quille un petit vase plein d’un liquide quelconque et
REA 421 percé d’un petit trou à l’une de ses parois latérales, ou, mieux encore, en employant un appareil très-simple nommé tourniquet hydraulique : à l'extrémité d’un tube de verre, on soude en forme de T un autre tube plus étroit percé à son milieu d’un petit trou qu’on fait correspondre avec l'ouverture du premier, puis on recourbe les bouts de ce second tube perpendiculairement et en sens opposé, en les affilant en becs très-fins, et après avoir rempli d’eau le premier tube, on le suspend à un fil par son extrémité ouverte; l’eau coule dans le tube horizontal, jaillit par ses extrémités, et l'on voit aussitôt tout l'appareil tourner sur lui-même avec une grande rapidité. Les roues hydrauliques dites à réaction ne sont, en principe, que de semblables tourniquets.
Imaginons un gro; tuyau vertical, dont MN (PI. XX, fig. 15) est la base, et qui serait mobile autour de son axe À; à sa partie inférieure est adapté un tube horizontal percé en 4 d’un orifice. Quand cet orifice est fermé, si l’on remplit d’eau le tuyau vertical, le liquide arrive dans le tube horizontal ; mais l'appareil ne prend aucun mouvement, parce que l’équilibre des pressions latérales s’établitimmédiatement. Lorsque, au contraire, l'orifice & est ouvert, l’eau s'écoule, il n’y a plus de pression latérale en a, et la pression qui s’exerce en b à l’opposite pousse le tube dans la direction de & en b; le jet qui sort en a fait donc tourner, par réaction, la machine autour de l’axe C. Si nous supposons que plusieurs tubes semblables à BC et semblablement percés soient disposés autour de MN comme les rayons d’un cercle, nous aurons une véritable roue à réaction.
Daniel Bernouilli a çonstaté par l'expérience que l'effort de la réaction, celui qui a lieu sur la partie b des tubes, est parfaitement égal à l'effort dont le jet sortant est capable, c’est-à-dire qu'il a pour mesure le poids d’un prisme d’eau qui aurait pour base l’orifice g et pour hauteur le double de la hauteur due à la vitesse de sortie. Ce résultat, indiqué d’ailleurs par la théorie, est une vérification directe de la loi de l'égalité entre l’action et la réaction.
Euler, Bossut, Navier, et d’autres hydrauliciens, se sont livrés à une foule de recherches sur les circonstances du mouvement et de l’action des molécules fluides dans les diverses parties d’une roue à réaction, Comme ce qu'il importe le plus de connaitre pour la pratique, c’est la limite de l'effet utile, nous nous contenterons ici de rapporter les considérations théoriques au moyen desquelles M. d’Aubuisson détermine cette limite.
Considérons un vase cylindrique ABCD (Pi. XX, fig. 16) contenant de l’eau jusqu’en IK , et auquel on imprime un mouvement de rotation uniforme autour de J’axe vertical EF, L’eflet de ce mouvement étant
422 RÉA
d'imprimer une force centrifuge aux molécuies fluides, la surface de l’eau quittera la forme plane et horizontale; elle s’abaissera vers le milieu O, s’élèvera vers les bords, et prendra enfin dans sa coupe verticale la forme courbe GOH, dont il s’agit de reconnaître la nature:
Observons, pour cet effet, que, puisque le mouvement de rotation est uniforme, la surlace fluide aura une figure permanente, et par conséquent que les molécules liquides seront en équilibre, Ces molécules seront donc également pressées dans tous les sens; de sorte que si l’on prend sur l'horizontale OR une molécule quelconque P, elle sera autant pressée de haut en bas par le filet vertical MP, que de droite à gauche par le filet vertical PR, ou de gauche à droite par le filet vertical OP, Or, sinous imaginons qu’à l'exception des deux filets MP et OP, toute la masse fluide devienne solide, rien ne sera changé aux conditions de l’équilibre, et nousn’aurons plus à considérer que les actions de ces deux filets sur la molécule placée en P à l'angle du petit canal OPM, qui les contient. Pour ce qui concerne le filet MP, puisque la force centrifuge qui agit sur ses molécules est dirigée perpendiculairement aux parois du petit canal, elle est détruite par leur résistance; ainsi les molécules de ce filet n’ont d’autre action en P que ceie qui résulte de leur gravité, et par conséquent la pression en P est égale à la somme de leur poids. Si nous désignons par m la masse d’une molécule et par g la force de gravité, mg représentera son poids, et comme la hauteur mP — x peut représenter la somme des molécules du filet, le poids total sera
myx.
Pour ce qui concerne maintenant le filet OP, puisqu'il repose sur un plan horizontal, l’action de la gravité sur ses molécules est détruite; ainsi il ne peut agir en P que par l'effet del a force centrifuge; mais cette force anime chaque moecule liquide du filet OP d’une maniere très-différemte ; elle croît, à partir du centre O de rotation, où elle est nulle, jusqu’au P, où elle est la plus grande proportionnellement à la distance au centre. En général, si y représente la distance au centre O d’une molécule mn, et v sa vitesse de rotation, l'expression de
sa force centriluge sera
ou plus simplement muy",
en désignant par w la vitesse angulaire du filet OP. - Nommant donc y la distance totale OP, nous aurons
mwy pour la force centrifuge de la molécule placéeerP,
+ RÉA
et comme les forces des autres molécules décroissent en progression arithmétique, ainsi que les distances auxquelles elles sont proportionnelles, la somme de toutes ces forces sera
muy X à = à mon ,
Cette somme étant celle des efforts que font les molécules du filet OP pour se porter de O en P, oupour presser ce dernier point, doit être équivalente à la pression mgæ exercée sur le même point P par la colonne
à 1 verticale MP ; donc — mw°y? = mgx, ou
équation qui nous apprend que la courbe OMH est une parabole conique dont le paramètre est
Pour appliquer ce résultat aux roues àréaction, supposons qu’au point R, sur le prolongement de OP, on ait pratiqué un orifice par lequel l’eau sort du vase pendant qu’il tourne; supposons en outre que le vase reçoive constamment autant d’eau qu'il en perd. Nommons À et H° les coordonnées OR et HR du point R et v sa vitesse de rotation, qui sera égale à Aw, en nommant toujours w la vitesse angulaire du rayon OR. L’équation (1) devant être satisfaite lorsqu'on y fait y—A, æ=— H/, nous avons
ae A? —= w° H , et par suite, AE HE 22)
C'est-à-dire que la hauteur à laquelle la force centrifuge élève l’eau au-dessus de l’orifice R ouvert au niveau de O est égale à la hauteur due à la vitesse de rotation de cet orifice; mais H est aussi la charge en R; donc la vitesse de l’écoulement qui est due à cette charge, sera égale à la vitesse de rotation de l’orifice.
Si l’eau était fournie au vase par un tuyau ayant même axe, d’une section horizontale considérablement plus grande que celle de l’orifice de sortie, et dans lequel le fluide se maintiendrait en L, pendant la durée du mouvement de rotation, l’eau sortirait en R eu vertu de la hauteur Het de la hauteur de la nouvelle charge LO, que nous désignons par H. Aïnsi la hauteur due à la vitesse de sortie serait H'— H, et lavitesse d’écoulement serait ;
ETCEA UE
RÉA
ou v + V’2H,
puisque V/2gH' — ».
Admettons maintenant qu'un obstacle physique, tel qu'un diaphragme horizontal placé dans le vase un peu au-dessus du point O mette obstacle à l'élévation du fluide au-dessus de l’orifice R, l'effort H résultant de la tendance à s’élever ou de la force centrifuge n’en aura pas moins lieu, n’en produira pas moins son effet sur la
vitesse de sortie, qui sera toujours © +V/2gl.
Ceci posé, voici les conséquences qu’en tire M. d’Aubuisson pour l'effet des roues à réaction.
On sait qu'en nommant P le poids de l’eau dépensée dans l'unité de temps et H la hauteur due à la vitesse de cette eau, sa force est représentée par PH (voy. Eau morrice). Or, dit M. d’Aubuisson, pour que la roue prit la force entière. PH du moteur, il faudrait qu'après qu’on lui aurait donné la hauteur H, l’eau y entrât et la parcourût sans éprouver de changement brusque de vitesse. Afin qu’il en soit ainsi, on évasera autant que possible l'entrée des tubes, on les courbera de manière que leur extrémité soit perpendiculaire au rayon de la roue, et l’on fera sortir l’eau par cette extrémité, comme on le voit à la figure 17, PI. XX. Il faudrait, en second lieu, que la vitesse absolue du fluide, au moment où il abandonne la roue, fût nulle, et par conséquent que sa vitesse relative, dans ce même moment, fût égale et directement opposée à celle de l’orifice de sortie. En appelant v cette dernière et observant, d’après ce qui vient d'être dit, que celle du
fluide sortant est v + V/29H, il faudrait que l’on eût ù = 0 + V/2gH.
Cette condition ne saurait être remplie qu’autant que H serait nul, ou que v serait infiniment grand. Or, le premier cas ne peut exister; l’effet est d’ailleurs proportionnel à H; le second ne peut encore avoir lieu, mais on peut en approcher. Concluons donc que l'effet dynamique d’une simple roue à réaction sera d'autant plus grand qu’elle se mouyra plus vite, sans que, dans aucun cas, il puisse être PH, valeur qu'il atteint, en théorie, dans les roues à aubes courbes.
Ces considérations théoriques sont loin, sans doute, ’être rigoureuses, mais elles font du moins connaître les conditions sous lesquelles on peut espérer le plus grand effet utile possible; et il en résulte que la propriété caractéristique des roues à réaction est entièrement opposée à celle des roues à augets; car, dans ces dernières, le maximum d’effet correspond au minimum de vitesse. On ne peut donc employer avantageusement les roues à réaction que lorsqu'on a des chutes
REC 423
d’eau très-élevées; dans le cas contraire, les roues à augets, qui produisent en général un plus grand effet utile, seront toujours préférables. La danaïde (voy. ce mot) de M. Manoury d’'Hectot était considérée comme la meilleure machine à réaction avant l'invention de la turbine à réaction (voy. Turmixe) de M. Burdin.
On a essayé d'appliquer le principe de la réaction aux machines à vapeur, mais jusqu'ici toutes les tentatives ont été sans succès.
RECEPTEUR. (Méc.) On nomme en mécanique organe récepteur celui qui, dans une machine quelconque, recoit immédiatement l’action du moteur.
RECTIFICATION. (Géodésie.) La différentielle ds d’un arc d’ellipse en fonction de l’abscisse x prend une forme très-commode pour les applications de la géodésie, lorsqu'on exprime cette abscisse en fonction de la latitude du point auquel elle appartient, et qu’on veut assigner la longueur d’un arc de méridien. D'abord, en appelant } cette latitude ou l’angle que la normale en ce point fait avec le plan de l’équateur, et remarquant
dy L que == — cot},ona
dx Lan dé pe ds — — æl/ + Pi — dei + cos
lorsqu'on prend l’origine de l’arc s à l'équateur même, D'un autre côté, l'équation de l’ellipse rapportée à son centre étant
ay? LL bat — a?,
on entire, par la différentiation,
et l’on a alors deux équations entre æ et y, qui don-
nent, toutes transformations faites et à cause de EEE b?
eu a QUE de?
a cos } a(1 — e:) EE V/à — € sin?} rte
e? étant par conséquent le carré de l’excentricité d’une ellipse dont le demi-grand axe est l'unité.
Maintenant, si l’on différentie la première de ces valeurs, on aura
SAUT ax En
et, par suite,
REC
a(1 —e?)d) ds — se(R ne) :
(1 — € sin?))° Si ensuite on intègre entre les limites zéro et }, il viendra ..…... (1)
8— «(1 —e) [ma — = n sin 2). + GP sin 2. | :
série dans laquelle
D m cé DEA She LEA don + 5° RS Ses Tim Aa
ou bien, prenant l'intégrale entre les limites X et }', et faisant pour abrèger 1—}=9Y, 1H) =%, on aura... (2)
s— a(i—e) [men sin y cos p LP sin 29C0S ».….].
Pour faire servir cette formule à la rectification d’un arc de méridien mesuré par une chaine de triangles, il faut déterminer exactement l’amplitude géodésique de cet arc, c’est-à-dire le nombre de degrés et parties de degré qu'il contient, en calculant de proche en proche, par les formules de la Trigonométrie sphéroïdique (voy. ce mot), les différences de latitude des sommets des triangles dont il s’agit; ce qui exige alors qu’on pousse l'exactitude jusqu'aux termes du tréisième ordre inclusivement, afin d’avoir ces différences à un ou deux centièmes de seconde près.
Par exemple, les opérations géodésiques de MM. Biot et Arago, faites en Espagne pour prolonger la méridienne de France jusqu'à l'ile de Formentera, ont donné lieu à de très-grands triangles qui ont été calculés par nos soins au Dépôt de la guerre, et l’on a eu en degrés centésimaux
L3 Latitude géodésique de Montjouy ....... sé 45°,9599",30 Latitude géodésique de Formentera........ . 42, 9626, 24
On a eu, en outre, par parties et par un
milieu. ...... Dos oero uen o— 2°,9074',89 le tout en supposant la terre un ellipsoïde de révolution dont l’aplatissement — Bu ; et comme la formule (2) peut se mettre sous cette forme
= Vo — V'sin o cos ® + V'sin 29 cos 2#;
que, de plus, Log a = 6,8046154, & étant exprimé en
REC
mètres, il est facile de s'assurer qu’en prenant le degré centésimal pour unité, il vient
logarithmes auxquels il faut ajouter 9.7101800 pour avoir l'arc s en toises, et dont le premier serait Log V — 4.9542758 si l’amplitude » était donnée en degrés. Faisant le calcul, qui ne présente aucune difficulté, l’on a enfin
Telle est la valeur que nous avons assignée définitivement à la distance méridienne de Montjouy à Formentera, contrairement à celle de 153605 ,2, rapportée dans la Base du système métrique décimal par suite d’une erreur de calcul. (Voy. page 35 du tome I de la Nouvelle description géométrique de la France, ou le tome XVI des Mémoires de l'Institut, page 455.)
Si dans l'équation (1) l’on nomme Q ce que devient
s lorsque la latitude } est de 90° ou -7, x désignant la
Dim
demi-circonférence d’un cercle ayant l'unité pour rayon; le quart du méridien elliptique aura pour expression ..…. (3)
1 1 1 3 = ai — 6) mr = =ra| 1 — ee —— ct...
Q ( A ) 2 2 Tr ( 4 64 ):
et en divisant celle-ci par (2), il viendra ...…. (4) = TS Q — en LE en, dns d 7 sin o cos + + 2 P sin »y cos 29 | LR Len © PE GRR autre expression dans laquelle n : 3 3 15 == e + Sous pes c!
Ainsi, lorsque l’arc s et l’excentricité e de la terre supposée elliptique seront connus, le quart du méridien s’obtiendra aisément. Par exemple, la valeur ci-dessus de cet arc étant combinée avec celle de l’arc du méridien mesuré sous l’équateur, on trouve l’aplatissement
de la terre de 305
5151658". (Voy. ApcanissemENT.) Ainsi, d'après cette y P
et le quart du méridien de
dernière détermination, le mètre, considéré comme la dix-millionième partie de la distance du pôle à l’équa-
en re 5"o! 11,375, c’est-à-dire un peu plus
teur, serait de long que le mètre légal fixé par les lois françaises à 5" 0" 11 ,296 de l’ancienne toise de l’Académie prise à
13 degrés de Réaumur.
drame:
REC Il est facile de s'assurer que si l’on prend le logarithme de chaque membre de la série (3), l’on aura
g = 0,4542945 étant le module des tables. Ainsi, réciproquement,
2Q 1 Log a = Log — +» É ou + me)
lorsqu’au lieu de e? on met sa valeur 24 — 4? # étant l'aplatissement de la terre. (Voy. ce mot.) De même, à
cause de b— ai —€#,0ona
) " Log b — Log © — à (: æ + 6 au),
et comme le rayon terrestre est exactement
on obtient avec un peu d'attention cette série
20 AT Log r — nine tr gte
1 1 = J c 2 n° AG n2 4 4) —- = — sin = y). Sin.
me sin} + pe À me ñ
laquelle rentre dans les deux dernières, en faisant successivement À} — 0 et } — 90°.
Le rayon p de courbure d’un arc de méridien, en un point dont la latitude est }, étant déterminé de grandeur par l'intersection de deux normales consécutives au même point, il est évident que le triangle infinitésimal formé par ces deux lignes et par l’arc ds donne
ds D pe; partant
root)
2 ein? 1?
(1 — e? sin? ))
et si l’on désigne par M l’arc d’un degré du méridien, l'on aura T a (1 —e;) M—<. ns 180 RU TASE (1 — e? sin?)
ou, réduisant en série et ne conservant que les termes en &?,
résultat qui fait voir que, sur la terre, les degrés des méridiens croissent à très-peu près comme les carrés des sinus des latitudes correspondantes, en allant de l'équateur vers Les pôles, Il ne faut pas croire cependant Tom. 11.
RÉE
que cette loi se vérifie constamment ; car les irrégularités de notre globe, qui se manifestent en différens lieux, la troublent quelquefois d’une manière très-sen- Sible. (Voy. FIGURE DE LA TERRE.)
(M. Puissant.)
RÉFRACTION TERRESTRE, (Géodésie.) Les objets situés près de la surface de la terre et vus de loin paraissent ordinairement plus élevés qu’ils ne le sont effectivement, parce que la trajectoire lumineuse qui en transmet l’image tourne sa convexité vers le ciel. (Voy. RÉFRACTION ATMOSPHÉRIQUE , tome IL.) Par exemple, l’objet D (PI. XX, fig. 18), observé du point A à la distance de 12000" au moins, est vu en D’ par l’effet de la réfraction, c’est-à-dire suivant la tangente AD’ à la trajectoire AMD, et l'angle D'AD est la mesure de cette réfraction. =
Comme la courbe que décrit la lumière a peu d’étendue, on la remplace par son cercle osculateur, et alors l’angle de réfraction DAD' ayant pour mesure la moitié de l’arc AMD, est sensiblement proportionnel à la distance horizontale AB, interceptée entre les deux verticales des points A, D. Si donc r désigne la réfraction, et que C soit l’angle de ces deux verticales, on aura généralement
r—=nC,
ñ élant un Coeflicient constant pour le même état de l’atmosphère et variable avec lui. Pour en déterminer la valeur par ‘observation, appelons à la distance zénithale apparente ZAD', et 5’ la distance zénithale apparente Z'DA”; et supposons que ces deux distances réciproques soient prises au même moment par deux observateurs , afin que les circonstances atmosphériques soient les mêmes de part et d’autre (voy. Arriruve). Les distances zénithales vraies seront respectivement d+r— ZAD et + r— ZDA; puisque, par supposition, la réfraction élève les objets À, D d’une même quantité; et le triangle ACD offrira nécessairement cette relation
ro Er—180 lc, laquelle donne | Gosu PR, est + à).
Ainsi l’on a
Telle est l’expression trigonométrique du coefficient de
la réfraction. Pour l’obtenir numériquement , on éva-
luera en secondes l'angle au centre de Ja terre C, au >4
426 RÉF
moyen de l'arc AB — K donné par la triangulation, et
‘on aura C = =——— » R — 6566198" étant le rayon one R sin 1° ? 9 y terrestre.
Les opérations trigonométriques ont fait connaître
que dans l’état moyen de l'atmosphère n — 0,08; la réfraction est donc environ “- de l’are qui mesure la distance à laquelle se voient les objets. La Base du système métrique décimal, par Delambre, offre pour la première fois un grand nombre d'exemples de cette détermination.
C’est aussi par le jeu des réfractions, souvent si déréglées dans les basses régions de l'atmosphère, que la valeur de n est quelquefois négative, et que se manifeste en certains lieux échauffés par la présence du soleil, le phénomène singulier connu sous le nom de mirage. (Poyez un mémoire de M. Biot ayant pour titre : Àecherches sur lesréfractions extraordinaires qui s'observent près de l'horizon.)
La théorie de la réfraction terrestre étant une conséquence de celle des réfractions atmosphériques en général, c’est principalement dans le livre X de la Mécanique céleste que le lecteur verra sur quelles considérations physiques et analytiques elle est fondée. Quant à ses applications , elles sont l'objet d’une note que nous avons insérée dans le Compte rendu des séances de l'Académie des sciences (15 mai 1857), et subséquemment dans le deuxième volume de la Nouvelle description géométrique de la France, page 24; nous en donnerons bientôt une idée.
Nous ne terminerons pas cet article sans faire voir comment on pourrait déterminer avec une certaine précision les hauteurs relatives d'une suite de sommités visibles les unes des autres, en observant simplement les distances zénithales réciproques de ces sommités comparées une à une, mais dans des circonstances atmosphériques très-favorables.
D'abord on remarquera que la formule donnée au mot Acrirupe, et par laquelle on calcule la différence de niveau de deux stations, à l’aide de leurs distances zéni-
thales réciproques, peut, en développant le dénominateur, se mettre sous cette forme (1)
2R tang : C tang : (9° — à)
puisque R étant le rayon moyen de la terre, on a CE. | , : :
K—2Rsin : C, l'angle C étant celui des verticales
des deux stations. Or il existe entre cet angle, les distances zénithales apparentes 5, d'et les réfractions correspondantes r,r', la relation (2)
Sd +r+r = 180 +C,
RÉF
et comme généralement r—nC, r =#C d’après ce qu’on vient de démontrer, il est évident que l’on a, en supposant 7 —=T',
go — À (3-3) cree ON — 1
ainsi, sans erreur sensible
cot : (+5) tang = C — EE
Il suffit donc de connaître le coefficient n de la réfraction pour pouvoir évaluer l'angle C des verticales, et par suite la différence de niveau (1). On s’écartera trèspeu de la vérité en supposant n — 0,08 comme nous l'avons dit ci-dessus; et l’on pourra même, à cause de la petitesse de C et de la demi-différence des distances zénithales, réduire la formule (1) à la suivante (2)
2R cot + (à + à)
dE —
ES: tang : (9° — à).
Ce procédé mériterait d'autant mieux ’être employé dans une exploration scientifique, qu'il procurerait le moyen de niveler promptement, à peu de frais, et avec un certain succès, les hauteurs relatives de tous les points qui offriraient le plus d'intérêt aux géologues : c’est même en suivant cette marche que l’on obtiendrait d’une manière approchée les distances respectives des objets qui auraient été observés ; puisqu'elles se déduiraient naturellement de cette expression
F=2R on
Quoique la théorie physique de la réfraction terrestre, telle que Laplace l’a exposée au livre X de la Mécanique céleste, laisse encore à désirer pour être en parfaite harmonie avec les phénomènes naturels, elle ne conduit pas moins à des résultats très-satisfaisans dans tous les cas où l’état de l'atmosphère s’écarte peu de l'hypothèse de cet illustre géomètre. Par exemple, il a démontré que le coefficient de la réfraction, que nous avons désigné cidessus par n, et qui est proportionnel à la densité de l'air dans le lieu de l'observation, a pour expression
r PP;?
en appelant P le pouvoir réfringent de l’air, p sa densité, .
r le rayon de terre supposée sphérique, et l le rapport de la densité du mercure à celle de l'air, multiplié par la hauteur du baromètre dansle même lieu; auquel cas 1— 7960. (Géodésie, tom. II, p. 25; voyez aussi le supplément à cet ouvrage, p- 18.)
Toutefois, il est plus exact de multiplier l'expression précédente de n par le facteur (1— 1) dans lequel + est un coeflicient dépendant de la loi du décroissement de la chaleur dansl’atmosphère, coefficient en général trèsyariable, mais que l’on peut supposer ordinairement égal à 0,00001593, d’après M. Plana. D’un autre côté, selon les expériences très-précises de MM. Biot et Arago, l’on a à Paris
ge — 0,00014713,
sous la pression 0°, 76 et à la température zéro, l’air étant parfaitement sec; et comme d’ailleurs
en désignant par k, la hauteur du baromètre réduite à la même température zéro, par { la température actuelle de l'air; et le coefficient def, sayoir 8— 0,00575, étant la dilatation d’un volume d’air pour un degré centigrade ; on a très-approximativement
Log n — 3.09095 + Log h, — Log (1 + ft)
+ Log G — 00000134)
et Log ; — 6.09909 — Log (1 + Gt);
mais il faut réduire préalablement à zéro de température la longueur k de la colonne mercurielle du baromètre, c'est-à-dire faire
t' désignant la température indiquée par le thermomètre
du baromètre, et f— — 0,00018 étant la dilata-
tion cubique du mercure.
C’est en déterminant ainsi le coefficient de la réfraction que les différences de niveau par les opérations trigonométriques accompagnées de mesures barométriques contemporaines, peuvent s’obtenir souvent avec un degré de précision suflisant, en faisant seulement usage de l’une des distances zénithales des deux objets mis en comparaison. Pour en donner un exemple , choisissons quelques-uns des élémens angulaires et météorologiques recueillis au Mont-d’Or et au Puy-de-Dôme, à l'occasion de la mesure d’un arc de parallèle (Nouvelle description géométrique de la France, tom. XL, p. 650.)
1° Au Mont-d'Or, en septembre 1811, après 20 ré-
pétitions, on a eu pour la distance zénithale du Puy-de- Dôme, réduite au sommetdu signal... Z—90°55'48",54
Alors le baromètre marquait, , 0%,59605 — h le thermom. du barom, , —L14°,55 — #
De plus, par la triangulation l’on a eu
le thermomètre libre .
Log K — 4. 4709248,
K étant la distance horizontale comprise entre les deux signaux. Si donc on désigne par C l’angle des verticales des extrémités de K, et que l’on sache d’ailleurs que le rayon R de la terre, ou plutôt la normale àla station du Mont-d’Or, a pour logarithme,
LogR = 6 . 8053366,
on trouvera facilement
2° Au Puy-de-Dôme, en juin 1812, et par dix répétitions, la distance zénithale du Mont-d’Or, réduite au sommet du signal de cettestation, était Z'=89°17"48",91
0%,64407 = k sig = + 15 = t.
Il s’agit maintenant d'évaluer approximativement les réfractions locales au moment même de la mesure des
distances zénithales : or on a en général
Alors le baromètre marquait, . le thermom. du barom, .
le thermomètre de l'air, , .
Réfract. 9 — nC,
et d’après les hauteurs barométriques et thermométriques relatives à la situation du Mont-d’Or, et introduites dans l’expression précédente de Log n, il vient, à
cause de
— 0,00011983 ; Log ( — :) = 6.02490,
il vient, disons-nous, 3.09095 Log h — 9.77525 c. Log (1 + Bt) — 9.97947 c. Log (1 +51) = 9.990887 Log G — :) — 6.02490
Log C — 2.98001
enfin. . . Log 9 = 1.84949 ; réfraction Ÿ = 70',71-
Opérant de la Même manière pourla station du Puyde-Dôme, on a d’abord
ensuite on a
Log k — 9.808953
c. Log (1 + £t) — 9.97625 ce. Log (1 + Bt) — 9.99866
Log n — 8.89602 Log C — 2.98001
Log 9'— 1.87605 , réfraction 4 — »#5",16.
La somme de ces deux réfractions locales, savoir 680 —= 145",87 — 2'25",87
étant ajoutée à celle des deux distances zénithales apparentes Z, Z', on a, pour la somme des distances zénithales vraies,
Z+ZL' +60 —:80"16 3,32 mais il faudrait 180° + C — 180.15.55, p2
donc l'erreur est de 8",30
et doit être, en plus grande partie, attribuée à la formule par laquelle nous avons évalué lesréfractions; mais elle est si faible, que son influence sur la détermination de la différence de niveau par une des deux distances zénithales ne saurait être d'aucune importance. En effet, en évaluant cette différence de niveau au moyen de la formule connue
__KocotZ K?
Un Co) R sin? Z ?
cos C
dE
on a par le Mont-d’Or, dont le sommet est élevé de 1886® au-dessus du niveau moyen de l'Océan,
