H—0,676 LT
Nommant b la hauteur CD de la digue sur le fond du lit, et D’ la hauteur BC de l’eau avant l'établissement de la digue, il est évident que la hauteur AB du remous, que nous nommerons H', a pour expression
(2). H'=H+b— pb".
Supposons, par exemple, que la largeur de la rivière soit de 20 mètres, sa profondeur sans la digue de 1",50; que la quantité d’eau qu’elle roule dans une seconde
soit de 75 mètres cubes, et enfin que la hauteur de la digue soit de 2 mètres, nous ferons
et nous trouverons avec ces valeurs
CRE RENUZ H — 0,676 Pa — 1,021,
ce qui nous donnera pour la hauteur H' du remous
bo MD 00,
La détermination de l'amplitude du remous présente des difficultés que les théories nouvelles n’ont point ‘encore vaincues. D’après Dubuat, le premier des auteurs qui se soient occupés de la question, cette amplitude a pour valeur, en la désignant par A,
H° étant la hauteur du remous, p la pente du courant avant l'établissement du barrage, et p' la pente de l’eau ‘exhaussée, immédiatement ayant le point culminant. Funck lui donne pour valeur
sur 2p ?
ce qui s'accorde un peu mieux avec les observations; mais M. Bélanger a montré depuis, que la valeur réelle de A est infinie, c’est-à-dire que le remous se perd insensiblement dans le courant à une distance qu’on ne saurait assigner avec précision; de sorte que toutes les formules employées jusqu'ici pour calculer l'amplitude d’un remous ne font qu’indiquer avec plus ou moins d’exactitude la distance du barrage où l'effet du remous n’est plus apparent. C’est d’ailleurs le point essentiel pour la pratique.
On nomme amplitude hydrostatique, pour la distinguer de l'amplitude réelle, la longueur qu’aurait le regonflement si l’eau surélevée était en repos et indépendante de l’action du courant. Imaginons par le point culminant À une droite horizontale prolongée jusqu’à sa rencontre en E avec la surface naturelle du courant ; cette droite AE sera l’amplitude hydrostatique, et sa grandeur sera donnée par l'expression
P , p désignant la pente naturelle du courant. En observant que la pente p' de l’eau exhaussée est toujours trèspetite par rapport à p, et qu’ainsi l'expression de Dubuat diffère peu de
A — LOS ÿ£
On voit qu’en adoptant sa formule, l'amplitude réelle serait à peu près double de l'amplitude hydrostatique, tandis qu’on ne devrait l’évaluer qu’à une fois et demie cette dernière d’après la formule de Funck. Nous devons dire, toutefois, que depuis les expériences de M. Bidone il n’est plus possible d'admettre que l’amplitude réelle est toujours d’une longueur supérieure à celle de l'amplitude hydrostatique; car les observations de ce savant ont fait connaître des remous où le contraire a précisément lieu. (Voyez les Mémoires de l'Académie de Turin, tome XXWY.)
Si l'obstacle élevé dans le lit de la rivière n'embrassait pas toute sa largeur, qu'il en barrât seulement une partie, toute l’eau, forcée de s’écouler par l'issue qui lui serait laissée, devrait nécessairement y passer plus vite, et comme un accroissement de vitesse ne peut provenir que d'un accroissement de charge, il y aurait une surélévation de la surface du courant en amont de la construction et une chute en aval, circonstances que nous ayons examinées ailleurs dans ce qui concerne les ponts (voy. ce mot), en exposant la formule proposée par Dubuat pour calculer alors la hauteur du remous. Partant du principe que la surélévation de l’eau est égale à la différence entre les hauteurs dues aux vitesses avant et après l’établissement du barrage,
M. d'Aubuisson parvient à une formule qui s'accorde avec les observations d’une manière assez satisfaisante, et dont nous allons rapporter la déduction.
Soit æ la hauteur de l’exhaussement, L la largeur moyenne de la rivière ayant le rétrécissement, L la largeur de l’espace rétréci, V la vitesse à cet espace, v celle de la rivière lorsqu'elle était libre, et À la profondeur de ?’eau à cette même époque : la section de la masse fluide était alors Lh; après le rétrécissement elle sera l (k + æ), ou plutôt ml (h — æ), m étant le coefficient de contraction à l’entrée de l’espace rétréci. Puisque les vitesses sont en raison inverse des sections, On aura
V:0—=Lh:ml{(h+x), d'où Lh = Ge La hauteur due à cette vitesse sera
2g mE(h+x)”?
et comme la hauteur due à v est 55 , on aura donc
Lh 2 T = 0,051 v? Gras) 7 2 ë
Dans l'application, on négligera d’abord la fonction h
Ta ce qui donnera une première valeur de æ, à
l’aide de laquelle on en obtiendra une seconde qui sera
et en remplaçant 2g par Sa valeur, ..….
plus rapprochée, et qui, à son tour, en donnerait une troisième, si on voulait plus d’exactitude. Lorsqu'il s'agira des remous occasionnés par les piles des ponts, L sera la somme des intervalles compris entre les piles, et L la largeur de la rivière près du pont; le coefficient m aura pour valeur 0,855 ou 09, suivant les cas. (Voy. Ponr.)
M. de Prony a proposé les formules suivantes, qui donnent immédiatement la hauteur z du remous sans tâtonnemens ni substitutions successives.
Soient :
Q le volume d’eau débité pendant une seconde de temps;
> la section transversale du courant, avant le rétrecissement ;
h la profondeur de l’eau, idem;
w la vitesse moyenne, êdem;
L la largeur de l’espace rétréci ;
m le coefficient de contraction.
On calculera d’abord les quantités auxiliaires suivantes :
Ann HE.
oml = an ( x)
tang Ÿ = ang (45° + = g)
puis on aura la valeur cherchée …... (4)
D = —— — — —h T rtang (2ÿ — 90)
On pourra vérifier le calcul numérique de æ à l’aide des deux formules
3 re, tang 0 — 7e (as — . e)
FrocD
Prenons pour exemple l’application que M. d’Aubuisson fait de sa formule au remous du pont de Minden sur le Weser.
« En 1804, au rapport de Funck, il fut fait plusieurs expériences sur l’exhaussement auquel le pont de Minden donnait lieu : la largeur moyenne du fleuve en amont était de 180®,71 et sa profondeur moyenne de 5,971:
hauteur du remous fut trouvée de 0",383. La somme des ouvertures du pont, ou /, était 96°,03. »
« La vitesse moyenne en amont du remous était, d’a-
il roulait alors 1318 mètres cubes d’eau, et la
près ce qui vient-d’être dit, de
De Na
mais comme dans les questions relatives aux remous, c’est la vitesse de la couche supérieure qu’il faut introduire dans le calcul, et que, d’après des observations faites sur de grands fleuves, comme le Weser, elle est près d’un dixième plus considérable que la vitesse moyenne, nous ferons v— 1", 394. Devant les piles, ily avait des constructions destinées à arrêter les glaces et qui gêénaient l'entrée de l’eau sous les arches; nous donnerons, en conséquence, au coefficient de contraction la plus grande valeur indiquée par Eyletwein, 0, 855. . nous avons de plus L ==180,7 eth—5,37. »
« Avec les valeurs numériques, la formule (3) deviendra
F Etui æ— 0,051(1,494) | (555 X 96(5,57 + &) “à
mi
Négligeant d'abord ; On a pour
premicrevalengdep 0.1. le OH laquelle indique pour deuxième valeur, , . . . 0, 358 puis on a en troisième valeur,, , . , . . . . O0, 970 et, finalement, en quatrième, , . . . . . 0, 569 Cette dernière valeur est le résultat du calcul,
celui de l'expérience était, . . . . . . . . O0, 383
a Les variations qu’éprouve continuellement le coefficient de contraction, ainsi que celui qu’on adoptera pour réduire la vitesse moyenne à celle de la surface, ajoute M. d'Aubuisson, ne permettront jamais de résoudre ayec une grande exactitude les questions relatives aux remous. Dans la pratique, également, leur hauteur et leur amplitude ne sauraient être prises trèsexactement; et de tout côté, on ne peut avoir que des approximations. »
On voit, d’après cet exemple, qu’il faut poursuivre les substitutions jusqu’à ce qu’on ait obtenu deux résultats qui ne diffèrent plus que d’une unité de l’ordre des chiffres qu’on veut négliger. Les formules de M. de Prony sont beaucoup plus expéditives; mais elles ne donnent pas, du moins avec les élémens que nous venons d'employer, un résultat aussi approché. En effet, nous
avons ici :
ainsi :
Ùv — ES 1 ,358, o
