VER

introduisant ces valeurs dans les formules, en prenant toujours m — 0, 855, il vient

2 X 0,855 X 96,05 ( 5,256 ) T7 970,415 2174 5 Xo,094/?

d’où l’on obtient ensuite 9— 375082: 0 — 5145 39; et finalement T—0",319;,

valeur qui diffère de 8 centimètres de celle donnée par l'expérience, 0,585. Nous ferons observer, cependant, que cette différence ne dépasse pas les limites de l’approximation dont on peut se contenter dans la pratique, et qu’il est d’ailleurs facile d'obtenir identiquement les

mêmes résultats des formules de MM. de Prony et d’Aubuisson, en employant dans les premières, comme on le fait dans les secondes, la vitesse à la surface, au lieu de la vitesse moyenne dont se sert M. de Prony. Par exemple, ici, où la vitesse moyenne 1,358 correspond à une vitesse de surface — 1", 494, d’après l’obseryation de M. d’Aubuisson, si nous posons — 1, 494, nous trouyerons

et comme toutes les autres quantités sont les mêmes, il viendra

pur X 0,855 X 96,03 LA 5,2562 970,415 5 X0,1158?

nous trouyerons ensuite

et définitivement, ZT — 0,900;

ce qui est le résultat de M. d’Aubuisson. Les deux méthodes sont les mêmes en principe, seulement M. d’Aubuisson résoud par substitutions successives l'équation du troisième degré qui donne la valeur dé æ, tandis que M. de Prony obtient immédiatement cette valeur au moyen des fonctions circulaires, procédé qui n’exige que les règles les plus simples de l’arithmétique, et l'emploi des logarithmes. Voyez pour tout ce qui concerne les remous : Navier, Cours de mécanique des ponts et chaussées. — Bidone, Mémoires de Turin, tom. XX. — Dubuat, Architecturehydraulique. — Bélanger, Essai sur la solution de quelques problèmes d'hydraulique. — Prony, Annales des ponts et chaussées, 1855. — D’Au-buisson, Æydraulique des ingénieurs.

RENTES VIAGÈRES. ( Arith. comm.) Une rente viagère est un paiement annuel fait à un individu pendant toute la durée de sa vie, contre un capital une fois donné par lui, et qui demeure la propriété de l’'emprunteur après la mort du prêteur.

La détermination de l'intérêt d’un capital placé en viager, ou de la quotité de la rente, dépend de la théorie des intérêts composés, de celle des annuités et des probabilités de la vie humaine. Il est d’ailleurs facile de voir que la seule différence qui existe entre une annuîté (voyez ce mot tom. Î) proprement dite et une rente viagère consiste en ce que la durée totale du paiement est fixée pour l’annuité, tandis qu'elle demeure indéterminée pour la rente viagère.

Le principe fondamental de cette espèce de placement

serait, pour que l’opération fût loyale, que le prêteur recût exactement une somme équivalente, intérêts compris, à celle qu’il a prêtée ; mais comme la durée de sa vie est incertaine, et qu’on ne peut établir les calculs que sur sa probabilité d’atteindre tel ou tel âge, l'emprunteur ne sait s’il gagnera ou s’il perdra qu'après la mort de son créancier. Cette circonstance fait de tont emprunt en viager, entre deux particuliers, un véritable jeu de hasard; mais lorsque c’est une compagnie qui recoit des fonds en viager d’un très-grand nombre d’individus, toutes les chances se compensent, et la compagnie n’est exposée à aucune perte, si toutefoisle montant de la rente de chaque individu a été déterminé rigoureusement d’après la durée préalable de sa vie.

Pour fixer les idées, admettons qu'un homme de 65 ans place en viager une somme de 1,000 francs, ct qu'il s’agisse de trouver la valeur dela somme annuelle que la compagnie doit lui payer. La durée probable de la vie de cet homme étant de 10 ans, on peut ramener la question à celle-ci : trouver l’annuité qu'il faut payer pendant 10 ans pour rembourser, avec ses intérêts, un capital de mille francs. Ce problème exige seulement qu’on substitue les chiffres aux lettres dans les formules

connues des annuités. Or, si nous désignons par

À la somme prêtée, a le montant de l’annuité, m le nombre des années de paiemens,

ï le taux de l'intérêt, ou l'intérêt d’un franc par an,

nous aurons (voyez tom. I, pag 85.)

Ainsi, en admettant quel’intérèt soit à 5 pour 100, nous avous ici r—10%09,

A — 1000, Mm—I10;,

et, par conséquent ,

c'est-à-dire que larente viagère devra être de 128 fr. 75 centimes.

Le point essentiel est donc de connaître la durée probable de la vie à un âge donné, ce qui ne peut être que le résultat des observations statistiques sur le nombre des naissances et celui des décès; les tables où sont consignés ces résultats se nomment Tables de mortalité. Jusqu'ici les compagnies d'assurances sur la vie se sont servies en France des tables de Duvillard ou de celles de Deparcieux ; mais il résulte des travaux récens de M. de Montferrand que ces tables ne conviennent plus à l’état

REN actuel de la population. Quoi qu'il en soit, nous nous

servirons ici des nombres de Deparcieux pour indiquer l’usage général des tables de mortalité.