RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES TRES-PEU COURBES

Nous ferons d'abord observer que Legendre a ramené la résolution d’un triangle géodésique quelconque, mais peu étendu, à celle d’un triangle rectiligne de mème espèce, et cela au moyen de ce théorème, que tout

triangle sphérique très-peu courbe répond toujours à un triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur, mais dont les angles opposés à ces côtés sont ceux du triangle sphérique, diminués chacun du tiers de l'excès de leur somme sur deux angles droits.

Nous ne rappellerons pas l’élégante démonstration que Lagrange en a donnée dans les premiers cahiers du Journal de l'Ecole Polytechnique, et que Legendre a reproduite dans sa Trigonométrie ; mais en voici une autre moins connue et qui nous parait fort simple.

Supposons qu'au triangle sphérique dont les données sont les deux côtés a, b, et les deux angles opposés À, B, corresponde le triangle rectiligne a, b et A’, B', et que l’on ait A'= À — x, B'— B—%; on demande de déterminer æ.

Par la propriété du triangle rectiligne

mais, à cause de la série connue

SNA A — —— DNS ER , Si TES 5e etc. ,

on à à très-peu près, vu l'extrême petitesse de @ par rapport au rayon de la terre,

&a—sinma« = Sin Sr +2 (+5):

par conséquent,

sina (ie) sin(A— x) = (rs).

sin b (: a 6) sin (B—x) sin B\i1—xcotB

D'ailleurs le triangle sphérique correspondant don-

sin & sin À

Dant — — —— £ si i » JS TD Sing’ 22; en simplifiant, chassant

les dénominateurs 4° ordre,

a—b? 1 &d—b FE SG cot B — cot À (QUE

valeur qui est précisément le tiers de l’aire du triangle

et négligeant les quantités du

sin À sin B sin(A—B) $

sphérique considéré comme rectiligne, ainsi qu'il est aisé de le démontrer. Mais la somme des trois angles

d’un triangle sphérique est À + B+ C— AL B'+ C+s:— 180° + Se

> étant l'aire de ce triangle, lorsque l'unité d’angle est

le quart de la circonference et l'unité de surface le quart

de l'hémisphère. Or cette aire diflérant extrêmement

peu de celle du triangle rectiligne dont les côtés seraient

a,b,c,lonaæ—;>, et, par conséquent,

A'— À — partant,

AHBHC=A—S5+HB— 324042.

Enfin

CEC—;xsz.

Maintenant il est évident que si avec les données @, €, A, C du triangle sphérique, on formait un second triangle rectiligne a, c. A—y, C—y, on aurait