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loi 2' 32"

Rapports entre es.l.ff. des Ions, td.sang.alt.iut.

Les trois premières colonnes de ce tableau, vers la gauche , indiquent deux p.ir deux les points de l'Europe qui ont formé , avec le pôle boréal , les trois sommets de chaque triangle, ainsi que leurs latitudes et leurs longitudes. Les deux colonnes suivantes indiquent la moyenne des latitudes,

et la différence des longitudes des deux sommets de chaque triangle adjacents à .sa base. La sixième colonne indique la dillr-rence des angles alternes internes formes par l'arc de grand cercle qui joint les deux sommets méridionaux de chaque triangle avec les méridiens de ces deux points , qui

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forriieiil les deux autres côtés du triangle. Cette différence est le moyen de comparaison des orientations observées aux deux sommets méridionaux.

Enfin, la septième et dernière colonne du tableau indique le rapport qui existe, dans chaque triangle, entre l'angle au pôle, qui n'est autre que la différence des longitudes des deux sommets méridionaux, et la différence des angles allernes internes formés par l'arc de grand cercle qui joint ces deux sommets avec leurs méridiens respectifs.

En examinant attentivement le tableau , on verra que ce rapport décroît avec une certaine régularité à mesure que la latitude moyenne des deux sommets méridionaux du triangle diminue, c'est-à-dire à mesure que ce triangle s'allonge vers l'équatcur et approche de devenir un demi-fuseau. 11 est aisé de concevoir qu'en effet le rapport dont il s'agit doit suivre cette marche décroissante. Si le triangle était infiniment petit, et que les deux sommets méridionaux fussent à une distance infiniment petite du pôle, le rapport serait celui d'égalité, 1 à I . Si le triangle était équivalent à un demifuseau, ce qui suppose que l'un des sommets méridionaux du triangle est aussi éloigné de l'équatcur vers le S. que l'autre vers le N., le rapport serait celui de 1 à 0. Si le triangle était isoscèle, ce qui suppose que les deux sommets méridionaux sont à la même latitude, le rapport s'obtiendrait par la résolution de l'un des deux triangles rectangles dont le triangle isoscèle se composerait , et le rapport des tangentes des deux angles serait égal à celui de l'unité au sinus de la latitude. Enfin , dans le cas ordinaire où les deux sommets méridionaux du triangle ont des latitudes inégales , le second rapport a la valeur qu'il aurait s'ils étaient ramenés l'un et l'autre à leur latitude moyenne augmentée d'une petite quantité.

En effet, la différence entre la différence des longitudes des deuxsommets méridionaux du triangle, et celle des angles allernes internes formés par l'arc qui les joint avec leurs méridiens respectifs, est égale à l'excès sphériquedes trois angles du triangle lui-même, et la somme des deux côtés de ce triangle qui aboutissent au pôle étant constante, Vexcès sphériqne de ses trois angles, qui est proportionnel a sa surface, est d'autant plus

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grand que (es deux côtés approchent plus de l'égalité. Quand le milieu de la base se trouve sur l'équatcur , l'excès sphérique esl égal à l'angle au pôle , c'est-à-dire à la différence de longitude des deux côtés méridionaux; d'où il résulte que la différence des angles alternes internes formés par la base avec les deux méridiens est nulle, et que le rapport est, comme nous venons de le dire, celui de 1 à 0. Il en serait de même si , la base étant oblique , elle avait sou point milieu sur l'équateur.

J'ai été étonné , au premier abord, de la petitesse des irrégularités que présente dans sa marche le rapport qui nous occupe; car il me paraissait naturel de croire que , pour des points placés d'une manière aussi disparate que ceux qui entrent dans le tableau , le rapport de la septième colonne aurait varié d'une manière plus irrégulière. D'un autre côté, si l'on remarque que la marche décroissante de ce rapport n'est pas complètement régulière et présente même des anomalies , on pourra s'étonner que j'aie consigné ici cette série irrégulière. J'aurais pu en obtenir une parfaitement régulière en considérant une suite de triangles isoscèles, qui tous auraient eu le même angle au sommet, et dont chacun aurait eu ses deux sommets méridionaux à la même latitude.

Chacun d'eux se serait décomposé en deux triangles rectangles, et dans chacun de ceuxci on aurait pu calculer la différence des angles alternes internes formés par la base avec les méridiens extérieurs au moyen de la formule : tang C = sin a tang B , où a représente la latitude comptée, comme a l'ordinaire , à partir de l'équateur, et U l'angle au pôle; formule dans laquelle on lit que , dans ce cas , le rapport de la septième colonne décroîtrait régulièrement du pôle où il serait 1 : 1 , à l'équateur où il serait 1 : 0. Mais il n'y a aucune raison pour remplacer une formule très simple par un pareil tableau, qui, lui-même, n'aurait pu être appliqué à des triangles non isoscèles, et même à des triangles isoscèles où l'angle B aurait eu une valeur différente de celle employée, que d'une manière approximative, et sans qu'on pût apprécier le degré de V approximaiion , tandis que le tableau que je présente fait voir, d'un coup d'oeil, de quel ordre est l'erreur, toujours assez peu

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considérable, que Ton est exposé à commettre pour das points de latitudes différentes, et tous renfermés dans l'étendue de l'Europe , en remplaçant le calcul d'un triangle sphén'que par uiie simple proportion dont il fournit !e rapport. Il demeure bien entendu que ce tableau, de même que la projection sléréographique dont j'ai déjà parlé, n'est qu'un instrument expédiiif de tâtonnement, et que si l'on veut obtenir un résultat absolument rigoureux , il faut prendre le temps d'exécuter le calcul trigonométrique; mais, en pareille matière,. on a plus à craindre d'être induit en erreur par les illusions qu'un simple calcul approximatif aurait fait disparaître , que par les inexactitudes que ce calcul pourrait renfermer.

Les géologues qui se livrent à des rapprochemeuis entre les directions des différents accidents que présente l'écorce terrestre doivent toujours être en garde contre les illusions qui résultent de la forme sphérique de la terre, et de la manière dont elle est représentée sur les caries géographiques.

Au moyen du tableau ci-dessus on pourra dissiper ces illusions , pour ainsi dira d'un trait de plume, et son emploi pourra âtre utile, non seulement pour les calcuisqui me l'ont fait construire, mais pour une foule de tâtonnements géométriques relatifs à des comparaisons de directions.

La combinaison élémentaire sur laquelle ces tâtonnements reposent consiste essentiellement à examiner si deux petits arcs de grands cercles placés sur la sphère, à quelque distance l'un de l'autre, sont exactement ou à peu près parallèles entre eux.

Ces deux petits arcs, d'après la définition rappelée ci-dessus, seront exactement parallèles entre eux , si un même grand cercle les coupe l'un et l'autre perpendiculairement par leur point milieu; mais ils seront déjà très voisins du parallélisme, si l'arc du grand cercle qui joint le milieu de l'un au milieu de l'autre est peu étendu et fait avec eux des angles alternes internes égaux. En effet, ils feront alors partie des deux côtés d'un fuseau de peu de largeur, dont le milieu de l'arc de jonction sera le centre; ils occuperont sur lesdeuxcôtés dece fuseau des positionssymétriques; et, prolongés l'un et l'autre jusqu'à l'équateur du fuseau, ils y seront exactement

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parallèles. Considérés dans les points même» où ils ont été observés , ils ne peuvent être parallèles l'un à l'autre que par l'intermédiaire d'un grand cercle de comparaison. Il est assez naturel de choisir pour grand cercle de comparaison l'un des deux arcs prolongé, et, dans ce cas, le défaut de parallélisme que les deux arcs présenteront dans les points où on les a observés, a pour mesure Vexcès sphérique du triangle formé par l'arc de jonction des points miliiu des deux arcs, par l'un des deux arcs prolongé:^ et par la perpendiculaire abai.ssée sur son prolongement du point milieu de l'autre arc. A moins qno ci; triangle ne soit très grand, ce qui suppose les deux points très éloignés l'un de l'autre, Vexcès sphe'rique dont il s'agit sera toujours peu considérable; les deux petits arcs pourront donc, dans le plus grand nombre des cas, être cousidérés comme sensiblement parallèles, si l'arc qui joint leurs points milieu forme avec eux des angles alternes internes égaux.

Réciproquement, si, en un point donné, on veut tracer un petit arc de grand cercle parallèle à un autre petit arc de grand cercle existant en un autre point de la sphère, il suffit de joindre les deux points par un arc de grand cercle, et de tracer le nouvel arc de manière qu'il fasse avec l'arc de jonction le même angle que l'arc observé.

En opérant de cette manière pour transporter une direction d'un point à un autre, on se rapproche autant que possible du procédé par lequel on trace, pur un point donné d'un plan, une parallèle à une droite donnée dans ce plan. On a égard à la convergence des méridiens vers le pôle de rotation de la terre, comme on aurait égard sur un plan à la convergence de rayons vecteurs vers ui foyer; mais on fait abstraction, du reste, des effets de la courbure de la terre.

Pour se rendre raison de cette espèce de départ qu'on opère ainsi entre deux effets provenant l'un et l'autre d'une même cause, la sphéricité de la terre, il suffit d'imaginer qu'on détache le réseau des points d'observation de la partie de la sphère terrestre à laquelle il appartient pour l'appliquer, sans le déformer, sur la zone torride, de manière que la ligne équinoxiale le divise en deux parties égales. On pourra alors, sans com- I mettre de bien grandes erreurs, considérer

les méridien» comme des droites parallèles, et transporter une direction d'un point à un autre par le même procédé que si l'on opérait sur un plan. On pourra, par exemple, prendre un point de la ligne équinoxiale pour centre de 7Xduclion, et mener, par ce point, des droites formant avec le méridien du lieu les mêmes angles que chacun des petits arcs observés avec les méridiens respectifs de leurs points milieu, puis prendre la moyenne des directions ainsi transportées en un même point, comme on le ferait sur un plan. Or, la zone torride où la terre, abstraction faite de l'aplatissement dont nous ne tenons aucun compte, est courbe comme partout ailleurs, ne présente ici d'autre avantage que le parallélisme presque exacides méridiens, parallélisme qui dispense de considérer la différence des angles alternes internes que fait avec deux méridiens diCTérents un arc du grand cercle qui les coupe. Mais la courbure de la terre est ici, comme partout ailleurs, la source d'une petite erreur, mesurée dans la comparaison de deux points, par V excès sphénque de la somme des trois angles d'un triangle rectangle, dont l'bypothénuse est l'arc qui joint les deux points , et dont l'un des côtés de l'angle droit est la prolongation du petit arc observé.

On pourrait aussi imaginer que le réseau des points d'observation, après avoir été enlevé de la surface de la sphère terrestre, fût appliqué sans déformation sur la région polaire, de manière que son point central coïncidât avec le pôle qui deviendrait le centre de réduction. Chaque petit arc observé sur la surface de la sphère serait transporté au pôle de manière à y faire encore le même angle avec le méridien de son point milieu ; puis on prendrait la moyenne des directions de tous ces petits arcs transportés au pôle. Ce seraitopérer comme si l'on avait substitué à la surlace sphérique de la terre un plan qui lui serait tangent au pôle même. Les méridiens seraient censés développés sur des idroites passant par le pôle, et les parallèles deviendraient des cercles ayant le pôle pour centre commun. Pour les points très voisi:is du pôle,cettesubstitution n'entratneraitque des erreurs insensibles; mais, à mesure qu'on s'éloignerait du pôle, l'inexactitude serait de plus en plus grande. Dans le transport de tous les petits arcs observés au pôle.

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exécuté ainsi, comme si l'on opérait sur un plan, il y aurait réellement un petit défaut de parallélisn)«î entre l'arc transporté et celui qui aurait servi de point de départ, et ce défaut de parallélisme aurait toujours ()our mesure Vexcès sphénque du triangle rectangle dont l'arc de jonction du point d'observation au centre de réduction est l'hypoihénuse, et dont le petit arc observé, prolongé autant qu'il est nécessaire, forme un des côtés de l'angle droit.

Dans tout l'espace intermédiaire entre la région équatoriale et la région polaire, les méridiens et les parallèles, qui servent de coordonnées pour déterminer les position» des points sur la surface du globe, cessent de pouvoir se construire sans erreur sensible sur des coordonnées rectangulaires ou sur d8s coordonnées polaires tracées sur un plan ; ils ont, en quelque sorte, une manière d'être intermédiaire entre celle des coordonnées rectangulaires et celle des coordonnées polaires. Projetés de telle manièrequ'on voudra sur un plan qui serait tangent à la sphère terrestre vers le milieu de l'hémisphère boréal, les méridiens seront toujours représentés par les lignes convergentes. On doit avant tout tenir compte de celte convergence , et on y parvient au moyen de la résolution d'un triangle sphérique, ou par l'emploi plus expédilif du tableau donné ci-dessus; on fait ainsi l'équivalent exact de l'opération que je viens d'indiquer pour les régions polaires et équatoriales. Mais tenir compte de cette disposition des coordonnées n'est pas encore tenir un compte complet de la courbure de la surface, et l'erreur commise a toujours pour mesure, dans ce cas comme dans les précédents , Vexcès sphérique de ce même triangle rectangle dont j'ai indiqué les éléments.

La région polaire et la région équatoriale, ainsi que nous venons de le dire, n'ont ici d'autre avantage que la simplicité de la disposition des méridiens et des parallèles, qui sont les coordonnées au moyen desquelles les posilions des points sont déterminées sur la surface delà sphère, et qui peuvent, sans erreur notable, être construites sur des coordonnées planes, savoir: pour la région équatoriale, sur des coordonnées rectangulaires, et pour la région polaire, sur des coordonnées polaires.

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Les «îîsposilions particulières que présentent ainsi les coordonnées sphériques dans les diverses régions de la sphère, correspondent à celles qu'y présente la spirale loxodromique. On sait que l'arc de loxodromie qui coupe l'équateur se confond avec un arc d'hélice tracé sur le cylindre qui enveloppe la terre suivant son équateur, arc dont le développement est une ligne droite, et que la partie de la loxodromie qui se trouve à une très petite distance du pôle, ne diffère pas d'une manière appréciable d'une spirale logarithmique; l'hélice et la spirale logarithmique sont des simplifications que la loxodromie éprouve en deux points particuliers de son cours sans que ses propriétés en soient altérées. De même les simplifications que la disposition particulière des méridiens apporte à certaines constructions près des pôles et de l'équateur ne change rien à la valeur réelle de ces constructions, et laisse exactement la même erreur que l'on commet lorsqu'on opère relativement aux deux extrémités d'un arc du grand cercle tracé sur la sphère, comme on opérerait aux deux extrémités d'une ligne droite tracée sur un plan. Or, c'est là précisément ce qu'on fait lorsque, en s'en tenant à la première partie des opérations que j'ai indiquées, on trace, aux deux extrémités d'un arc du grand cercle placé sur la sphère terrestre, d'autres arcs qui forment avec lui des angles alternes internes respectivement égaux ; car on fait abstraction de la courbure de cet arc , tout en tenant compte de la diversité des angles sous lesquels il coupe les i^ifférents méridiens.

Cette diversité des angles sous lesquels l'arc de jonction des deux localités coupe les différents méridiens est toujours en effet la première chose à considérer. Lorsqu'on veut camparer la topographie géologique d'une localité à celle d'une autre localité sous le rapport du parallélisme des accidents qui s'y observent, la première chose à faire est de déterminer la différence des angles alternes internes que forme, avec les méridiens des deux localités, lare de grand cercle qui les joint.

Des lignes (de petits arcs de grand cercle réduits à leurs tangentes), menées dans les deux localités perpendiculairement à l'arc qui les joint, seraient parallèles entre elles,

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dans toute la rigueur de l'expression. Si ensuite on faisait tourner ces petits arcs de quantités égales et dans le même sens, ils conserveraient encore l'apparence du parai* lélisnie, mais ils ne seraient plus rigoureusement parallèles; ils occuperaient des positions symétriques dans un fuseau dont le point central serait au milieu de l'arc de jonction des deux localités, et ils s'écarteraient d'autant plus du parallélisme que le fuseau serait plus large et qu'ils seraient plus éloignés de son équateur. On pourrait faire tourner le petit arc de grand cercle de l'une des contrées de manière à le rendre parallèleau prolongement de l'arc tracé dans l'autre contrée, c'est-à-dire perpendiculaire à un arc de grand cercle , perpendiculaire lui-même à l'arc prolongé. Or, la quantité dont le premier petit arc aurait tourné pour prendre cette position aurait pour mesure, comme il est aisé de le lire sur la figure même, l'excès sphérique de la somme des trois angles du triangle rectangle formé par l'arc de jonction des deux localités, par le petit arc prolongé et par la perpendiculaire abaissée de l'autre localité sur son prolongement.

L'excès sphérique de la somme des trois angles de certains triangles sphériquesdonne si souvent la mesure des erreurs qui se glissent presque inaperçues dans la comparaison des positions de différents arcs de grands cercles tracés sur une sphère, qu'il est naturel de chercher à se rendre compte, par la considération même de l'excès sphérique, de la grandeur que peuvent atteindre, dans tels ou tels cas, les erreurs dont il s'agit.

Wexcès sphérique se trouve introduit dans les calculs géologiques par des motifs analogues à ceux qui le font prendre en considération dans les calculs géodésiques. On se sert de l'excès sphérique en géodésie pour ramener le calcul d'un triangle sphérique à celui d'un triangle plan; on s'en sert en géologie pour corriger l'erreur que l'on commet en supposant que la surface de la terre se confond avec un plan qui lui serait tangent dans le milieu de la contrée dont oa s'occupe.

Rien n'est si fréquent que de raisonnai et d'opérer comme si la surface de la terre se confondait avec son plan tangent. On y est conduit par l'apparence de platitude que

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cette surface présente a nos regards, et par {'habitude de la voir représentée sur des caries géographiques qui sont des feuilles de papier planes.

Tournons bien rendre compte des erreurs qui peuvent résulter de cette subslituiion du plan tangent à la surface sphérique , analysons d'abord une opération très simple.

Lorsqu'on veut planter une longue et large avenue, telle par exen. pie que celle des Champs-Elysées à Paris, on commence par en Gxer la ligne médiane avec des jalons alignés; puis aux deux exirémiiés de cette ligne médiane, on lui élève de part et d'autre des perpendiculaires d'une longueur égale à la moitié de la largeur de lavcnue, et on fixe ainsi les deux exirérnités des deux files d'arbres qui doivent la composer ; enfin oi: aligne tous les arbres de chaque file d'après leurs points extrêmes.

Si l'opération est exécutée avec une rigueur mathématique, chacune des deux files d'arbres est un arc de grand cercle et ces deux arcs font partie d'un fuseau dont le milieu de la ligne médiane est le centre. Ilsn'ontde rigoureusement parailèlesque les deux éléments situés au milieu de leur longueur. Prolongés l'un et l'autre à chacune de leurs extrémités par une suite de jiilons, ils iraient se rencontrer aux deux extrémités opposées d'un même diamètre de la sphère terrestre; prolongés par leur» tangentes extrêmes, ils se rencontreraient aussi à des distances qui, sans doute, seraient très grandes, mais qui ne seraient pas infinies.

On pourrait se proposer de mener par l'extrémité de l'un de ces arcs une ligne exactement parallèle à l'extrémité correspondante de l'autre arc, et de déterminer quel angle ferait celte ligne avec l'extrémité du premier arc. On aurait ainsi la mesure du plus grand défaut de parallélisme qui existe dans la figure.

Cette détermination peut se faire de deux manières: par les formules ordinaires de la trigonométrie sphérique, ou par cette con sidératior. que l'angle cherché est égal à Vexcès syliénque de la somme des trois angles d'un triangle sphérique rectangle, où les côtés de l'angle droit sont un des côtés de l'avenue, et la perpendiculaire abaissée eur ce côié légèrement prolongé de l'extréniilé du côté opposé.