SIH

SYS

Prenons un exemple, et le calcul même ëclaircira cette double proposiiion.

Supposons que l'aveniic dont il s'agit ait •1,000 mètres de longueur et 30 mètres de largeur. La diagonale de cette avenue formera, avec l'un des coiés et avec la perpendiculaire abaissée sur celui-ci de l'cxlrémilé de l'autre côié, un triangle sphérique rectangle où les deux côtés b et c de l'angle droit seront : 1°6, l'un des côios de l'avenue, dont la longueur est de 1,000 mètres, prolongé d'une quantité négligeable; 2"c, la perpendiculaire abaissée de l'extrémité du second côté de l'avenue sur le premier légèrement prolongé, perpendiculaire dont la longueur ne dilTérera pas sensiblement de 50 mètres.

Pour déterminer en degrés, minutes et secondes les valeurs de 6 et c, on aura

Les deux angles aigus B et C de ce triangle doivent se déterminer par les formules ;

tang 6 „ lang c

tang B = — , tang G = — !^ ;

sin c siu b

mais, dans le cas actuel, les valeurs de B et de C, qu'il s'agit de tirer de ces formules, forment une somme si peu différente d'un angle droit, que la diiïérenre ne peut être calculée avec les tables de logarithmes ordinaires, ce qui montre que Vexcès sphérigue du triangle dont nous nous occupons est à peu près inappréciable.

En effet, en recourant au second mode de calcul , on trouve, d'après la formule de Legendre (I), pour Vexcès sphérique du triangle que nous considérons :

R6c sin A

c'est-à-dire environ 13 cent-millièmes de seconde sexagésimale, quantité absolument imperceptible; ce qui montre que les deui

fl) L^^^nrt,., Gio

' et Trigonométrie . io« êdil

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côtés de l'avenue, dont nous avons parle, doivent paraître bien réellement deux lignes droites parallèles.

Mais l'application des mêmes formules prouve qu'il n'en serait plus ainsi d'une avenue mille fois plus grande; or, les rapprochements auxquels on se livre de prime abord lorsqu'on veut comparer entre eui, sous le rapport de leur parallélisme, les accidents lopographiques d'une vaste contrée, ses chaînes de montagnes, ses côtes, ses rivières, reviennent à peu près à concevoir une avenue très longue et d'une largeur plus ou moins grande, tracée à travers cette contrée, et à examiner si les accidents topographiques que l'on compare pourraient en border les côtés.

Concevons une pareille avenue de dimensions mille fois plus grandes que celle dont nous venons de nous occuper, c'est-à-dire ayant 1000 kilomètres de longueur et 50 kilomètres de largeur.

En raisonnant sur cette avenue exactement comme sur la précédente, nous aurons à résoudre pur les formules :

lang b ^ ^ „ tangc

tang B = ^-~ , et tang G = ^— ;

sin c sin b

un triangle sphérique rectangle, dans lequel les deux côtés de l'angle droit seront -

on trouvera :

la somme de ces deux angles surpasse 90' de 2' 10", 58, qui représentent l'excès sphérique du triangle rectangle dont il s'agit.

Calculé par la formule de Legendre, l'excès sphérique du m.ême triangle est de 127'' 33 ou dp 2' 7'', 33. La différence de 3", qui existe entre cette solution et la précédente tient à ce que la formule approximative, qui donne l'excès sphérique, n'est déjà plus parfaitement exacte pour un triangle de 1000 kilomètres de côté.

Maintenant, si de l'extrémité de l'un des côtés de noire grande avenue idéale on «baisse une perpendiculaire sur le second côté prolongé d'une petite qucniité, puis que par l'extrémité du premier côté on inène une perpendiculaire à cette perpea-

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diculaire, celle-ci sera rigoureusement parallèle à l'extrémité du second côté, et elle fera avec le premier côté un angle égal à Vexcès sphérique que nous venons de calculer, c'est-à-dire de 2' 10'', 58. |

Telle est l'erreur la plus grande que comporte, par suite de la sphéricité de la terre, la construction idéale à laquelle nous avons fait allusion en imaginant la vaste avenue dont nous venons de parler; mais il est à remarquer que l'excès sphérique des trois angles d'un triangle étant proportionnel il sa surface, la même construction répétée pour une avenue de 100 kilomètres de largeur comporterait une erreur de 4' 21'', 16; pour 200 kilomètres de largeur, l'erreur serait de 8' 42", 32; et pour 1,000 kilomètres de largeur de 43' 31", 6. Elle n'atteindrait un degré qu'autant que l'avenue de 1,000 kilomètres de longueur aurait une largeur de 1,378 kilomètres, c'està-dire plus grande que sa longueur.

La diagonale du quadrilatère sphérique orthogonal , dont le côté est de 1,000 kilomètres, eslelle-mème d'environ 1,000™ y 2 = 1,414 kilomètres, qui font environ 350 lieues. Or, il est aisé de voir que l'erreur commise sur le parallélisme de deux lignes passant par deux points donnés de la surface terrestre sera la plus grande possible, si ces lignes font, avec la ligne de jonction des deux points, des angles d'environ 45"; car l'erreur est nulle, si les lignes comparées sont perpendiculaires à la ligne de jonction des deux points. Elle redevient nulle si les deux lignes coïncident avec la ligne de jonction des deux points. L'erreur maximum correspond évidemment à la position moyenne entre ces deux extrêmes, ainsi qu'on peut d'ailleurs le démontrer par la formule même de Legendre.

De là , on peut conclure que tant que deux points ne sont pas éloignés de plus de 1,400 kilomètres ou 350 lieues, l'erreur qu'on peut commettre sur le parallélisme de deux lignes qui y passent, en faisant abstraction de la courbure de la terre, ne va jamais à 44'.

Embrassons un espace un peu plus grand encore : concevons que par un point de la surface de la terre on mène deux grands cercles perpendiculaires entre eux qui pourront être, par exemple, une méridienne et

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sa perpendiculaire, mais qui pourront avoir aussi une tout autre orientation. À partir du point oii les deux grands cercles se coupent à angle droit, mesurons sur chacun d'eux une distance égale à 7" j du méridien, et par les quatre points ainsi déterminés, élevons des perpendiculaires sur les deux grands cercles. Par cette construction, qui est analogue à celle sur laquelle repose la vrojection de Cassini , nous formerons un quadrilatère sphérique orthogonal dont les quatre côtés seront égaux, et dont les quatre angles seront de même égaux entre eux, quadrilatère qui se rapprochera d'un carrré autant que peut le faire une figure tracée sur une sphère. Ce quadrilatère serait même un carré exact s'il était infiniment petit, mais il aura un diamètre égal à 15" du méridien , et ses quatre angles égaux entre eux surpasseront chacun 90° d'une quantité qui , répétée quatre fois , formera ce qu'on pourra appeler Vexcès sphéiique de la figure entière.

Maintenant les quatre côtés du quadrilatère sont rigoureusement parallèles deux à deux dans leurs points milieu ; mais à leurs extrémités ils ne sont plus parallèles , bien que les diagonales fassent avec eux des angles égaux; ils s'écartent du parallélisme d'une quantité égale à la moitié de Vexcès sphérique de la figure totale, c'est-à-dire au double de l'excès de chacun des quatre angles sur 90°. 11 est aisé de voir que cette quantité est égale à quatre fois Vexcès sphérique d'un triangle sphérique rectangle dont l'un des côtés de l'angle droit est de 7° ^ , et dont l'un des angles aigus est de 45°. Le second angle aigu C de ce triangle se calcule par la formule cos C = cos c sin B, qui donne cos C = cos 1° 30' sin 45", et G = 45° 29' 17". Cet angle excède 45 " de 29" 17'', et en quadruplant cette quantité , ce qui donne 1° 57' 8", on a celle dont les extrémités correspondantes des côtés de notre luadrilatère s'écartent du parallélisme.

Or notre quadrilatère a une largeur égale à 15° du méridien, c'est-à dire à environ 1,667 kilomètres, ou un peu plus de 400 lieues. Il pourrait embrasser la France avec la plus grande partie des Iles Britanniques, de l'Allemagne et de l'Italie septentrionale. Les deux points isilués aux deux extrémités d'uue de >e< diagonales, sont éloignés de

plus de 2,350 kilomètres ou de près de 600 lieues, et cependant ierreur la plus grande qu'on puisse commettre, en comparant des lignes situées aux deux extrémités de cette diagonale de la manière la plus défavorable, ne s'élève pas à 2". Ce résultat est conforme au précédent , auquel nous étions parvenu par une voie un peu différente; car, pour des distances bien éloignées encore d'être égales au quart du méridien , les excès sphériques de triangles semblables auxquels elles servent de base sont a peu près proportionnels à leurs carrés ; or on a ( 1,414 )2 : 43' 31",6 : : ( 2,350 )« : a; = 2"0'13', proportion dont le quatrième terme ne diffère de 1° 57' 8 " que de 3' 5'' , et cette différence vient , en partie, de ce que je n'ai calculé que d'une manière approximative les diagonales dont j'ai comparé les carrés. La diagonale de 2,350 kilomètres est à peu près égale à la distance de Lisbonne à la pointe nord de TÉcosse , ou de Naples à Christiania. On peut conclure de là que lorsque l'on comparera entre elles des directions observées dans l'Europe occidentale moyenne, en négligeant l'effet de la courbure de la terre, mais en tenant compte de la convergence des méridiens vers le pôle, on ne commettra que rarement une erreur de 2°.

Il y aurait cependant un cas où les erreurs pourraient devenir plus considérables; ce serait celui où l'on procéderait de manière à en accumuler plusieurs : ce qui arriverait par exemple si, au lieu de comparer directement un point à un autre, on le comparait par l'intermédiaire d'un troisième, ainsi qu'on peut le faire impunément lorsqu'on opère sur un plan. En effet, on ajoute alors à l'erreur qui résulterait de la distance des deux points comparés, une quantité égale a l'excès sphérique des trois angles du triangle formé par les deux points comparés et par le point intermédiaire, quantité quj peut être additive aussi bien que sous< tractive.

Ceci s'éclaircira par quelques exemples.

Il s'agit, par exemple, de savoir quelle devrait être l'orientation d'une ligne passant à Dayreuth pour qu'elle fût parallèle à une ligne passant au Binger-Loch , sur le Rhin , au-dessous de Biugec , et dont l'orientuiioa est donnée.

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Pour y parvenir d'une manière approximative, en faisant abstraction de la courbure de la terre , on joint le Binger-Loch à B.iyreulh par un arc de grand cercle, et on détermine la différence des angles alternes internes formés par cet arc avec les méridiens du Binger Loch et de Bayreulh. La différence est de 2° 52' 25"; de manière que si une ligne se dirige au Binger-Loch , à l'E. 32° N., celle qui, à Bayreulh, fera le même angle avec l'arc de jonction , et qui sera réputée parallèle à la première, se dirigera à TE. 29" 7' 35" N.

Riais si l'on commence par mener une parallèle à la ligne donnée au Binger-Loch , par la cime de Brocken , point le plus élevé du Hariz, puis que par Bayreuth on mène «ne parallèle à celle menée par le Brocken, on trouvera que du Binger-Loch au Brocken la différence des angles alternes internes formés par la ligne de jonction des deux points avec leurs méridiens respectifs est de 2° 9' 2". Du Brocken à Bayreuth , la différence est de 46' 2'. D'après les positions de ces divers points , les différences doivent s'ajouter, ce qui donne 2" 55' 4", au lieu de 2° 52' 25'' pour la différence d'orientation que devraient présenter deux directions parallèles entre elles, l'une au Binger-Loch, l'autre à Bayreuth. La différence est de 2' 39'.

Il est aisé de voir que cette différence doit être exactement égale à l'excès sphérique du triangle Binger-Loch — Brocken — Bayreuth; et tout en me bornant à la calculer par des moyens expéditifs, je lui ai trouvé une valeur bien peu différente de celle-là. En effet, les longueurs de^s trois côtés de ce triangle (mesurées simplement sur la carte) sont de 289 kilomètres (72 lieues), de 272 kilomètres (68 lieues), et de 21'.t kilomètres (54 lieues), et l'angle compris entre les deux premiers est de 45° 45'. 1).^ I;i il résulte , d'après la formule de Legeiulrc , que l'excès sphérique du triangle est de 2' 23" : cela fait 16'' seulement de moins que nous n'avions trouvé il y a un instant; et il est à remarquer qu'outre les légères inexactitudes qu'entraîne nécessairement l'emploi du tableau de la page 178, je me suis borné à calculer l'excès sphérique d'après des mesures grossières. Une petite partie de celte différence peut aussi résulter

de ce que le triangle Binger-Loch—Brockeii — Bayreuth est beaucoup plus grand que les triangles de 8 à 10 lieues de côté généralement employés dans les réseaux géodésiques, et auxquels la formule est particulièrement adaptée.

Dans l'exemple donné par Legendre , les deux côtés du triangle employés dans le calcul ont seulement, l'un 38,829 mètres (9 lieues), et l'autre 33,260 mètres (8 lieues), et l'excès sphérique est seulement de 9', 48 décimales, qui correspondent à 3", 07 sexagésimales; cette quantité est complètement négligeable dans une opération géologique : ainsi quand on compare des points situés seulement à 8 ou 10 lieues les uns des autres, il n'y a absolument aucun motif pour tenir compte de la courbure de la terre , et, par conséquent, il est indifférent de comparer les points entre eux directement ou par l'intermédiaire les uns des autres. Quoique Vexcès sphérique de la somme des trois angles d'un triangle soit proportionnel à sa surface, elle n'est encore que bien peu considérable et bien peu importante au point de vue géologique, dans le triangle Binger- Loch— Brocken— Bayreulh , puisqu'elle se réduit à 2' 23"; d'oii il résulte que, même en opérant sur celte échelle, on peut encore comparer les points entre eux dans un ordre quelconque , sans craindre d'accumuler des erreurs appréciables en géologie. Mais il n'en serait plus de même s'il s'agissait de comparer des points éloignés de 12 à 1,600 kilomètres (300 à 400 lieues).

Considérons , par exemple, le triangle dont les trois sommets seraient Keswick en Cumberland, Prague en Bohême, et Ajaccio en Corse.

On trouve que, de Keswick à Prague , la différence des angles alternes internes quc forme la ligne de jonction des deux poinis avec leurs méridiens respectifs, calculée rigoureusement, estde 13°4r42", tandis que de Keswick à Ajaccio cette différence est de 8° 44' 22", et, d'Ajaccioà Prague, de 4° 7' 40''. Ces deux dernières différences réunies n-? donneraient que 12° 52' 2"; la différence trouvée directement est de 1 3° 41 ' 42", c'està-dire plus grande de 49' 40".

Celle différence répond à l'excès sphérique du triangle Keswick-Ajaccio-Prague. En effet, le côté Keswick-Prague a environ 1,259

SYS

kilomètres (4 Ki liciie>), el le colé Keswiek- Ajaccio a approximalivemenl 1,630 kilomètres (i07 lieues); l'angle compris entre ces deux côtés est d'environ 38"20'. Ces données approximatives, introduites dans la formule de Lcgendre, donnent, pour l'excès sphériqne du triangle, 53' 55", c'est-à-dire 4' 15" de plus que nous n'avions trouvé directement, différence qui provient sans doute en partie de rimpcrfeclion des mesures prises simplement sur la carte et nécessairement aussi de rc que la formule de l'excès sphérique n'est plus complètement exacte pourun aussi grand triangle.

On voit qu'en pa»»nnt par Ajaccio, pour comparer Keswick à Prague, on joindrait une erreur de plus de trois quarts de degré à celle qui résulterait déjà de la distance delCeswick à Prague; mais, ce qu'il importe de remarquer, c'est que l'erreur est ici soustractive, tandis que, dans le cas du triangle Binger- Loch-Brocken-Bayreuth, l'erreur était additive. Il est facile de se rendre compte de celte circonstance, d'après les positions respectives des points comparés entre eux, et cela permet de concevoir que, lorsqu'on a à opérer un certain nombre de comparaisons de ce genre et à en prendre le résultat moyen, I( peut se faire que les erreurs résultant de la courbure de la terre soient en sens inverse les unes des autres et arrivent à se détruire en partie ou même complètement. C'est ce qui arrive de soi-même, lorsque le point choisi pour centi-c de réduction est à peu près central par rapport au réseau formé par tous les points d'observation. Dans ce cas, au lieu d'avoir à craindre dans le résultat une erreur moyenne, par exemple d'un degré, résultant de l'effet négligé de la courbure de lia terre, on peut compter que l'erreur de la moyenne se réduit à quelques minutes, et rentre par conséquent dans les limites que ne peutdépasser la précision des observations de direction.

Cette circonstance permet, comme nous le verrons bientôt, de prendre, par un procédé très simple et très expéditif, et cependant suffisamment exact, la moyenne d'un grand nombre d'observations de directions faites dans des contrées assez distantes les unes des autres, par exemple, dans presque toute l'étendue de l'Europe occidentale.

Au surplus, comme je l'ai déjà dit, l'er-

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reur commise relativement à chaque point, par l'effet de la courbure de la terre, a pour mesure Vcxcès spitcrique d'un triangle rectangle qui a pour hypolhénuse la distance de ce point au centre de rcduclion , et dont l'un des angles aigus est celui formé au point que l'on considère par la direction qu'on y a observée et par la ligne de jonction avec le centre de réduction. On peut calculer tous ces excès sphériques et voir de combien la somme de ceux qui sont additifs surpasse la somme de ceux qui sont souslracUfs, puis tenir compte de la différence dans le calcul de la direction moyenne rapportée au centre de réduction. On verra aisément que, pour arriver au résultat avec toute l'approximation qu'on peut désirer, il suffit de calculer les excès sphériques de ceux des triangles rectangles indiqués, dont l'aire est la plus grande, et qu'on distingue aisément sur la carte.

En réduisant ces calculs au degré d'approximation strictement nécessaire, on peut les simplifier considérablement et les exécuter d'une manière très expéditive.

La formule donnée par Legendre (1) pour calculer l'excès sphérique t des trois angles d'un triangle dont deux côtés, b et c, forment entre eux un angle A, se réduit, lorsqu'on veut obtenir la valeur de £ en secondes sexagésimales , à

b. c. sin A. 1,296,000. it 4 (20, 000, 000)' b. c. sin A. 81. TT

100,000,000,000 Si le triangle sphérique auquel on doit appliquer cette formule est rectangle, que b soit son bypothénuse , c l'un des côtés de l'angle droit, et A l'angle aigu compris entre ce côtéelThypothénuse, on aura:

tang c

cos A = ;

tang b

et pourvu que 6 soit de beaucoup inférieur à 90", qu'il ne dépasse pas, par exemple. 1 5 à 20°, on pourra, sans erreur considérable, remplacer la rapport des tangentes par cehi des arcs, et admettre que l'on a approxima» tivement:

cos A =

c = b cos A.

(i) Legenùtt , Géométrie tt Trietnomftrie

éditipn,

Sfô

En substituant cette valeur de c dans celle de c, en ayant égard à la relation sin 2 A=2 sin A cos A, et, en supposant que 6 est exprimé, non plus en mètres, mais en kilomètres, on réduit l'expression de c à la forme b'. sin 2 A. 81. TT

Cette formule donnera approximativement l'excès sphértque relatif à l'un des points d'observation, en y substituant, à la place de 6, la distance de ce point au centre de réduction, exprimée en kilomètres, et pour A, l'angle formé en ce point par la direction qu'on y a observée et par la ligne menée Aucenlre

deréducHon. On peut se contenter de nus irer cette distance et cet angle sur la carte. Le calcul est ensuite facile à exécuter ; mais on peut encore, dans une foule de cas, se dispenser de le faire, en en prenant à vue le résultat approximalifdans le tableau suivant dont la construction et l'usage s'expliquent d'eux- mêmes, et qui rendra, pour ce second objet, des services analogues à ceux que peut rendre le tableau de la page 178. Il a suffi d'y insérer les valeurs de A comprises entre 0 et 45°, attendu qu'à partir de A=45", qui donne 2 A=90°, les valeurs de sin 2 A rentrent dans celles qui se rapportent à des valeurs de A moindres que 45°.

Tableau des valeurs données par la formule t =