PARTIE LOGIQUE ET ENCYCLOPEDIQUE

enseigne les quatre opérations élémentaires : addition, soustraction, multiplication, division, l'extraction des racines, le système métrique, les propriétés des nombres entiers, etc. Le système décimal a été connu généralement de tous les peuples civilisés (sans exclure toutefois certains modes accessoires de calcul) ; mais la numération écrite fut longtemps très imparfaite, comme en témoignent encore les chiffres romains. Les Grecs, les Hébreux, etc., se servirent aussi des lettres pour exprimer les nombres. Les Arabes empruntèrent à l'Inde les chiffres actuels vers le IXe siècle et les transmirent à l'Occident, vers le temps de Gerbert. Le zéro manquait d'abord, et la forme des chiffres varia beaucoup jusqu'à l'invention de l'imprimerie. Un des traités élémentaires d'arithmétique les plus anciens est celui de Diophante. Traduit par Boèce, il fut le manuel des Universités du moyen âge.

Algèbre. — Comme l'arithmétique, avec laquelle on la confondit jusqu'à la Renaissance, l'algèbre est la science des nombres et l'art du calcul; mais elle procède d'une manière plus abstraite et plus générale. Elle emploie à cet effet un système de lettres et autres signes. De là cette langue algébrique qui déroute les profanes. L'algèbre traite des polynômes, de leurs propriétés, des équations de divers degrés, etc. On trouve chez les géomètres grecs, Diophante en particulier, de vrais calculs d'algèbre. Les Hindous et les Arabes ont cultivé cette science. Descartes lui fit faire de grands progrès : on lui doit l'application systématique do l'algèbre à la géométrie

Problème. — On peut donner ce nom à toute question qu'il s'agit de résoudre scientifiquement : il y a donc des problèmes philosophiques, sociaux, etc. Mais ce terme s'emploie surtout en mathématiques. On y distingue les problèmes déterminés et les problèmes indéterminés. Ceux-ci admettent un nombre indéfini de solutions.

Calcul. — C'est l'ensemble des opérations à faire pour résoudre un problème. On distingue et on oppose entre eux le calcul différentiel et le calcul intégral: l'un et l'autre sont compris sous le nom de calcul infinitésimal. On appelle calcul des probabilités celui qui a pour 'objet d'évaluer en nombres précis certaines probabilités ou chances d'événements futurs. Il a été l'objet des travaux de Pascal, Fermât, Bernouilli, etc. On l'applique aux assurances sur la vie, à la création de rentes viagères, etc. Dans ce calcul, on appelle espérance mathêmathique le produit d'un avantage espéré par la probabilité qu'on a de l'obtenir. Ainsi, dans une loterie de mille billets, où le lot à gagner est de cent francs, l'espérance mathématique du possesseur d'un seul billet vaut 100 multiplié par un millième, c'est-à-dire 0,10 centimes.

Comptabilité. — Au sens de tenue des livres, la comptabilité est un art tout pratique et indispensable dans le commerce et certaines administrations. Il permet au négociant de comparer ses opérations présentes aux opérations antérieures et de relever des erreurs, s'il y a lieu, de connaître sa propre situation et celle de ses débiteurs et de ses créanciers par rapport à lui. La tenue des livres est en partie simple ou en partie double. Dans la première, on ne mentionne, à chaque article, que le débiteur ou le créancier.

Opération. — D'une manière générale, toute opération mathématique consiste à déduire une quantité de deux ou plusieurs autres : ainsi l'addition consiste à déduire une somme de deux ou plusieurs nombres ; la soustraction consiste à déduire la différence de deux nombres donnés ; la multiplication consiste à déduire le produit de deux facteurs ; la division consiste à déduire le quotient de deux autres nombres, l'un appelé dividende et l'autre diviseur. Toute opération se résout

donc en un raisonnement. L'algèbre a pour but de simplifier les opérations : par exemple elle exprime l'addition par le signe -f- ; la soustraction, par le signe — ; la multiplication, parle signe X, etc.

Géométrie. — Cette science a pour objet l'étendue et tout ce qui est mesurable : lignes, figures, espaces. On distingue la géométrie pilane et la géométrie de l'espace. La première a pour objet les figures tracées dans un même plan. La géométrie est dite descriptive, si elle s'applique à la représentation graphique des solides ; infinitésimale, si elle s'occupe des rapports entre les éléments infiniment voisins d'une figure, comme il arrive dans l'étude des tangentes, de la courbure ; analytique, si elle étudie les courbes à l'aide des propriétés numériques de leurs équations. La géométrie fut cultivée très anciennement, en Egypte et en Grèce. Pythagore découvrit le théorème du carré de l'hypothénuse. Archimède et les savants d'Alexandrie, parmi lesquels Euclide, lui donnèrent de grands développements. A partir de la Renaissance, elle fut cultivée avec le même succès que les autres branches des mathématiques. Descartes inventa la géométrie analytique ; Monge créa la géométrie descriptive, etc.

Trigonométrie. — Cette partie de la géométrie a pour objet la mesure des triangles dont on a assez d'éléments connus pour retrouver les autres. Ces triangles sont pris sur un plan ou sur une sphère : d'où la trigonométrie rectiligne et la trigonométrie sphérique. La trigonométrie étudie aussi les propriétés des fonctions circulaires. Les Grecs et les Arabes ont cultivé cette science, qui leur était nécessaire pour leurs recherches astronomiques.

Triangulation. — C'est l'ensemble d'opérations qui permettent en particulier de déterminer la longueur d'un arc de méridien terrestre. A cet effet, on choisit de part et d'autre de l'arc une série de points, dont chacun est visible des points voisins et qui deviennent les sommets d'une suite de triangles formant réseau. On mesure ensuite très exactement la base d'un premier triangle. En mesurant alors ce triangle et tous les autres par les procédés trigonométriques, on peut obtenir la longueur de l'arc de méridien qui les traverse. Delambre et Méchain mesurèrent ainsi l'arc de méridien compris entre Dunkerque et Barcelone.

Arpentage. — Partie de la géométrie appliquée qui a pour objet la mesure et le partage des terrains, etc. L'arpenteur se sert, à cet effet, de la chaîne, du graphometre, etc. (v. ces mots). Le plus souvent les terrains à arpenter ont la forme d'un polygone : on peut résoudre celui-ci en triangles, que l'on mesure par les procédés trigonométriques. Il arrive aussi que la surface à mesurer échappe à toute mesure directe, comme un étang, une forêt : on l'enferme alors dans une figure que l'on puisse mesurer directement ; on mesure la différence du contenant et du contenu ; on arrive de la sorte à déterminer celui-ci. L'arpentage a des points communs avec la levée des plans, le nivellement et la topographie (v. Vacquant, Traité d'arpentage et de nivellement).

Mécanique, mécanicien. — Cette partie des mathématiques a pour objet le mouvement et les forces motrices, la théorie de l'action des machines, etc. Elle s'est merveilleusement développée à mesure qu'on inventait les machines qui ont transformé l'industrie. On distingue la mécanique rationnelle et la mécanique appliquée ; la première est dite aussi analytique et théorique. La mécanique comprend : la statique, qui a pour objet les lois de l'équilibre; la dynamique, qui traite du mouvement sous l'influence de forces connues ; la cinématique, qui s'occupe du mouvement, abstraction faite des forces. A la statique se rapporte Vhydro-