FRACTION

entr' actes : le foyer de l'Opéra est un des plus fréquentés. Diiiis cliaijue tliéâtre, outre le foyer des spectateurs, il y a celui des acteurs, où sont admis aussi les auteurs et qucl-

3ues privilégiés : le plus fameux en ce genre est le foyer u Théâtre-Français. Dans les théâtres où la danse est pratiquée, il existe en outre un foyer de la danse, réservé au corps de ballet.

FOïER. En Géométrie, le foyer d'une conique est un point situé dans son plan, et tel que les distances de chaque point de la courbe à ce point et à une droite fixe, appelée directrice, ont entre elles un rapport constant. Voy. conique, ELLIPSE, HYPERBOLE, PARABOLE . Le nom de /byçr vient de ce auc , dans un miroir elliptique, les rayons luniineux partis a'un foyer vont, après s être réfléchis, se réunir à l'autre foyer. Dans un miroir parabolique, les rayons luniineux partis d'un foyer deviennent parallèles après la réflexion. Au point de vue géométrique, la notion de foyer s'étend à d'autres courbes que les coniques, par une généralisation qui ne peut être expliquée ici. Le mot foyer est d'ailleurs pris dans une acception tout autre dans la Géométrie des congruences de droites, et dans la théorie du mouvement d'un corps solide.

En Optique, on appelle foyer principal d'une lentille ou d'un miroir le point où les rayons parallèles à l'axe viennent se rencontrer après s'être réfractés dans la lentille ou s'être réfléchis sur le miroir. — On nomme foyers conjugués deux points tels que les rayons partis d'un de ces points aillent après réfraction ou réflexion passer par l'autre ; chacun des points est le foyer de l'autre. — Des rayons divergents ou convergents, très peu éloignés les unsdes autres, tombant sur un prisme, vont après une double réfraction passer par un point qu'on appelle encore /'oj/er(roî/. MIROIR, lentille).

En Médecine, on nomme foyer d'une maladie le siège principal du mal. On appelle : foyer purulent l'endroit où se forme le pus dans les abcès; foyer de contusion, le point où les tissus sont broyés et attrits.

FRAC. Voy. HABIT.

FRACTION (du lat. fraclio). Quand on veut mesurer une quantité qui ne contient pas l'unité un nombre exact de fois, p. ex. quand on veut mesurer une longueur avec un mètre, et que la longueur n'est pas un nombre exact de mètres, on peut procéder comme il suit : on divise l'unité (le mètre) en un certain nombre de parties égales, en 7 parties égales p. ex. : s'il arrive que la longueur contienne exactement l'une de ces parties un certain nombre de fois, l'2 p. ex., la longueur sera mesurée au moyen de deux nombres entiers (12 et 7); l'ensemble de ces deux

nombres, que l'on écrit — > est une fraction ; le second, celui

que l'on écrit en dessous, est le dénominateur : il indique en combien de parties égales l'unité a été divisée ; le premier, que l'on écrit en dessus, est le numérateur : il indique combien de parties de l'unité on prend; on énonce celte fraction en nommant d'abord le numérateur (douze) et ensuite le dénominateur (sept) que l'on fait suivre de la terminaison ième : douze scjjtièmes. Une fraction est regardée comme un nombre. On convient de regarder une fraction dont le dénominateur serait 1 comme ayant le

même sens que son numérateur ( -r = ^2 j. Sur cette nouvelle espèce de nombres, on doit reprendre toutes les définitions. Deux fractions sont égales quand le produit du num. de la première par le dén. de la seconde est égal au produit du dén. de la première par le num. de la seconde. On montre alors que les deux fractions peuvent servir à mesurer la même quantité. On déduit de là qu'on ne change

(las la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant es deux termes (num. et dén.) par un même nombre : ce théorème permet de simplifier une fraction, quand le

14 2 num. et le dén. ont des diviseurs communs : p. ex. â7=^'

Ce théorème permet aussi, étant données plusieurs fractions, de trouver des fractions qui leur soient respectivement égales et qui aient toutes le même dén. ; ce qui s'appelle les réduire au même dén. ; pour cela on peut par ex. multiplier les deux termes de chaque fraction donnée par le produit des dén. des autres. La somme de plusieurs fractions de même dén. est une fraction ayant pour num. la somme des num. des fractions à ajoute r"et pour dén. le dén. commun. La difliérence de deux fractions de même dén. est une fraction dont le num. est la dillérence des

num. des fractions données, et le dén. leur dén. commun.

11 résulte de là que, si on considère une fraction, — p. ex.,

la somme d'autant de fractions égales qu'il y a d'unités dans le dén. est égale au num. ; en d'autres termes, 7 fois

-^ est la même chose que — = — = :r = 12 ; en d'autres 7 12 ' . ^ ,

termes encore, ~ est la 7° partie de 12. C'est ce qu'on

exprime en disant qu'une fraction représente le quotient exact de la division de son num. par son dén. [Voy. division). Si l'on divise le num. par le dén., au sens de la théorie des nombres entiers [Voy. division, 1°), la fraction proposée est égale au quotient (à une unité près) augmenté d'une fraction ayant pour num. le reste de la division, et

pour dén. le dén. primitif; — = \+-z.\ est la partie

entière de -=- ; 5 est la partie entière de y = 5 -t- = ; si le

num. est plus petit nue le dén., la fraction est plus petite que 1, il n'y a pas de partie entière, ou celle-ci est 0. Le produit de deux fractions est une fraction dont le num. est le produit des num., et le dén. le produit des dén. Le

?[Uotient (exact) de la division de deux fractions est une raction dont le num. est le produit du num. de la fraction dividende par le dén. de la fraction diviseur et dont le dén. est le produit du dén. de la fraction dividende par le num. de la fraction diviseur. Les entiers pouvant être regardés comme des fractions de dén. égal à 4, ces déflnitions embrassent tous les cas. — On considère aussi en Arithmétique des fractions généralisées : si a, 6 sont des nombres quelconques entiers, fractionnaires, ou même

incommensurables, on désigne par le symbole y le quotient

exact de la division de a par b ; le dividende a et le diviseur éprennent le nom de numérateur et de dénominateur. Cette définition s'étend à l'Algèbre ; si a, Z> sont des nombres quelconques, positifs ou négatifs, r représente un

nombre algébrique dont la valeur absolue est le quotient exact de la division de la valeur absolue de a par la valeur absolue de b et dont le signe est -f- ou — , suivant que a et b ont ou non le même signe. Les fractions généralisées et algébriques sont soumises aux mêmes règles de calcul que les fractions ordinaires.

Fractions continues ordinaires. Soit x un nombre positif quelconque : soit Cj sa partie entière (le plus grand

nombre entier qui soit <[ a;) ; on peut écrire a: = a^ -| — , arj

étant >1 ; ay est une première valeur approchée [par défaut) de X ; si de même on appelle Cj la partie entière

de X,, on pourra écrire x^=^a^-\ — t x., étant >-l, et

'i flj -j — sera une valeur approchée (par excès) de x ; si Oj

est la partie entière de x^, alors le nombre a^n^n^ -+- «, -i- «^

ai +

sera une nouvelle valeur approchée de x (par défaut) ; on peut continuer ainsi et obtenir des fractions continues qui approchent de x alternativement par défaut et par excès ; les opérations se terminent si x est une fraction à termes entiers, elles se poursuivent indéfiniment si x est incommensuralile ; mais elles permettent de trouver des fractions à tenues entiers, les plus simples possibles, qui approchent de plus en plus de x : c'est ainsi qu'on trouve pour les valeurs approchées du nombre ir les nombres

dont la dernière représente iz avec

une erreur moindre que 3 dix-millionièmes. La valeur

approchée y avait été signalée par Archimède. la valeur

a été donnée par Adrien Métius. Les fractions continues arithmétiques jouissent de belles et importantes propriétés. On les généralise en Algèbre : elles fournissent des renseignements précieux tant pour la connaissance des nombres que pour celle des fonctions. C'est par des généralisations élevées de cette notion que l'on a pu prouver d'abord que x était incommensurable, puisqu'il n'était racine d'aucune équation algébrique à coefficients entiers.