I. Voir Olirlahyrinth, ch. i. introduction

ments? En d'autres termes, un homme qui n'a jamais accompli de mouvements pourrait-il se représenter des objets situés à une certaine distance l'un de I autre ? /> Ainsi formulées, ces deux questions contiennent /// ovo toutes les solutions que donnent au problème les adeptes modernes de la théorie empirique, tant philosophes et mathématiciens que physiologistes, à cette différence près que les physiologistes admettent pour la plupart la réalité de l'espace absolu.

Kant fit faire un grand pas au problème en formulant sa célèbre théorie aprioristique de l'idée de l'espace. Il la conçut à une époque déjà avancée de sa carrière. Kant admettait au début l'existence d'un espace absolu, tout à fait indépendant de la matière. Dans son ouvrage paru en. 1768, Raisons premières de la différcjicijtioii des objets dans Icspacc. il regardait même l'existence de l'espace objectif comme une condition préalable nécessaire à l'existence de la matière. Mais déjà en 1770 il formula une doctrine tout opposée, qui trouva son expression définitive dans la Critique de la raison pure (1781). Cette doctrine domina pendant un siècle tout le problème ; nous la reproduisons telle que Kant hi formula :

'< i" L'espace n'est pas une notion empirique tirce d expériences extérieures. Pour que je puisse avoir la sensation de quelque chose se trouvant en dehors de moi (c'est-à-dire dans un autre endroit que celui où je me trouve moimême), comme aussi pour que je puisse me présenter plusieurs objets à côté les uns des autres, autrement dit occupant des endroits différents, il faut que les représentations de l'espace soient déjà au fond de mes concepts, m

'< 2" L'espace est une représentation j priori, qui est au fond de toutes les notions extérieures On ne peut pas se figurer qu'il n'y a point d'objets dans l'espace. L'espace n'est pas un concept général de relations entre objets, mais une pure idée, m

s8 TKMi'S i:t est ace

('ommc argument principal en faveur de Tapriorisme de notre idée de l'espace, Kant présente Yapodicitcité des axiomes géométriques qui passent pour absolument exacts, bien que cette exactitude n'ait jamais pu être démontrée. « Les propositions géométriques sont apodictiques, c'esl-àdire qu'on a conscience de leur nécessité. Ainsi : l'espace na que trois dimensions; mais de telles propositions ne peuvent être empiriques, ni tirées de l'expérience. //

La doctrine de Kant présentait lavantage apparent de résoudre le problème de l'espace. Mais on lui reprochait de n'être qu'une hypothèse, un postulat dont il faudrait démontrer l'exactitude et qui d'ailleurs n'expliquait rien.

l'n postulat peut être d'une grande utilité au philosophe ou au mathématicien pour des déductions et des développements ultérieurs. Le naturaliste, qui s'efforce d'expliquer le mécanisme des phénomènes, doit réclamer des preuves du bien fondé de ce postulat. Aussi recherchera-t-il avant tout l'origine et les causes organiques de l'idée a priori.

La solution philosophique opposée à celle de Kant a été développée systématiquement au siècle dernier par J. Stuart Mill. Mill conteste avec raison que les sciences mathématiques aient une certitude plus grande que les sciencesexpérimentales. Les théories aux développements purement mathématiquesont dû être confirmées par l'expérience avant de pouvoir prétendre à la certitude ^

D'après Mill, les définitions géométriques n'ont qu'une exactitude relative. Les axiomes sont, il est vrai, admis par tous, mais n'en est-il pas de même pour beaucoup de vérités des sciences expérimentales ? Les définitions ne sont que des généralisations de certaines perceptions d'objets extérieurs: le point est le inini)n\nn visible: la liu;ne, à dimension

I. Lidentité des ondes électriques avec les ondes lumineuses ne fut défi-nilivement établie que par les expériences géniales de Hertz. La théorie liquc de Maxwell, basée uniquement sur des déductions -S, n'a fait qu'indiquer la possibilité d'une pareille identité.

LES BASES DE LA GEOMETRIE D EUCLIDE -y

inique, est Tabstraction d'un trait à la craie ou d un fil endu; le cercle complet est la reproduction de la coupe ransversale d'un arbre. Les définitions géométriques ne )euvent donc prétendre qu'à une valeur approximative.

On reconnaît aisément ce qu'il y a de risqué dans une )areille argumentation. Les définitions de la géométrie d'Eulide se rapportent à un point idéal sans étendue, à une igné qui est une longueur sans largeur, à une droite idéale [ui peut être prolongée à l'infini, etc. Les points, leslignes, es droites, etc., rccls, sur lesquels se font nos expériences, le possèdent pas ces propriétés. Comment, alors, de ces ixpériences grossières aurait-on pu tirer des conclusions déalisées, conduisant à des axiomes absolument exacts ? ^our échapper à l'objection, Stuart Mill a recours à l'asso- :iation didées entre des représentations toujours liées :nsemble. Mais il doit reconnaître qu'il est très malaisé de éparer de semblables représentations, quand les sensations ;orrespondantes ne se présentent jamais séparément à esprit humain.

Néanmoins, les philosophes et les mathématiciens, pour lémontrer l'origine cnif^iriquc de la géométrie, furent conraints de recourir à Y idcalisation des expériences fournies )ar les objets réels.

Une pareille idéalisation est ciic justifiée ? « Les axiomes iont-ils tirés de l'expérience? demande F. Klein, un des :)lus éminents mathématiciens modernes. On sait que r^elmholtz s'est prononcé pour 1 affirmative de la façon la dIus catégorique. Toutefois son explication semble, sous un :ertain rapport, incomplète. Quand on y réfléchit, on idmet volontiers, à la vérité, que l'expérience ail une part mportanle dans la formation des axiomes, mais on •emarque que Helmholtz omet, sans l'examiner, précisément le point qui intéresse avant tout les mathématiciens. 11 s'agit d'un procédé que nous employons dans toute dis- :ussion théorique de données empiriques quelconques, et

00 TKMPS I:T FSI'ACK

qui pcui sembler tout simple a un naturaliste. Pour m'exprimer d'une manière plus générale, je dirai : les résultats d'observations, quelles qu'elles soient, ne sont valables que dans des limites d'exactitude déterminées et dansdes conditions spéciales; en posant des axiomes, nous remplaçons ces résultats }iar des énoncés dune précision et d'une gêné ralité absolues. (Test sur cette '-' idéalisation >/ des données empiriques que repose, selon moi, la nature essentielle des axiomes. »

Klein est loin de trouver toute naturelle r/t/t'j//.sj//<?// des expériences faites sur des objets réels. Il n'en admet la nécessité que dans la physique théorique. Mais les axiomes de la géométrie euclidienne jouissent d'une certitude absolue, tandis que les hypothèses de la physique théorique n'ont qu'une i-aU'iir temporaire. L'origine de ces axiomes doit donc se trouver ailleurs et non dans la simple idéalisation de faits empiriques. Tant de mathématiciens éminents de toutes les époques se seraient-ils appliqués avec autant de zèle à rechercher des preuves pour le onzième axiome d'Euclide, si \ idi-alisation d'expériences grossière avait été une base suffisante? A l'aide de quelques traits de craie ils auraient pu trouver des preuves en abondance.

Ce défaut de cuirasse dans les théories empiriques a du frapper les grands penseurs qui les soutenaient surtout pour échapper à la thèse de Kant. Ainsi, par exemple, Taine. après avoir essayé de déduire nos idées géométriques des sensations de mouvements, aboutit enfin à une tout autre manière de voir : ^{i Le temps est le père de lespaee >/, ce qui veut dire, sans doute, que la eoinciJenee de sensations analogues produit la représentation de l'espace. Mais une pareille cohicidenee peut tout au plus conduire à la notion de distiDice, non à celle ^'espaee et moins encore d'un espace à trois dimensions.

Tn seul philosophe a essayé, au milieu du siècle dernier, de développerlesbasesd'une théorie empirique de l'espaceà

LES BASES DE LA GÉOMÉTRIE D EUCLIDE 6l

l'aide de Tanalyse des mouvements des corps solides. De cette analyse il déduisit l'origine des axiomesgéométriques. Ce fut Ueberweg, disciple de Benecke, et l'un des plus vigoureux adversaires de la doctrine aprioristique de Kant. Bien entendu, Ueberweg ne put donner une solution complète du problème, une pareille solution n'étant pas possible sans l'aide des fonctions d'un organe sensoriel spécial. Néanmoins, ses Principes Je la GcoDictric rccoiistniitc sur des bel ses scientifiques sont d'une portée considérable. Ce fut en réalité le premier essai rigoureux d'établir les lois des déplacements des corps, pouvant servir de point de départ a une théorie empirique de l'espace. A l'aide de trois principes fondamentaux, Ueberweg essaya de faire la synthèse de la géométrie d Euclide. Avec une intuition vraiment géniale, il a déduit ensuite les propriétés principales de l'espace. Un corps solide matériel peut, selon le témoignage de nos sens : i" s'il est libre de toute attache, atteindre tout point non occupé par un autre corps solide : 2" ce corps, fixé à un seul point, ne peut plus se déplacer sans entrave dansions les sens, mais il n'est pas privé de la possibilité de se mouvoir; 3" fixé en outre à un second point, il ne peut plus exécuter les déplacements encore possibles dans le 2*^ cas, mais il peut encore être déplacé; |° s'il est fixé à un troisième point, resté libre dans le V" cas. tout déplacement lui devient impossible.

C^oinme l'ajustement observé Killing, dans son IntroJuetion aux fonde nie ni s de la Géométrie, ces points de départ de Ueberweg sont presque identiques aux trois propositions admises par Helmholtz. en 1S67. dans ces célèbres recherches sur les formes de l'espace de Kiemann. qui furent ensuite continuées par vSophus Lie dans sa Théorie des I rtins/ormjti()ns de (troupes. Les résultats obtenus par Ueberweg concordent en grande partie avec les conclusions de Melmholtz et dcSophus Lie. Ainsi Ueberweg aégalementrcussi h déduire des déplaccmcuts des corps les trois propriétés de l'es-

6a TEMl'S ET ESI»At;E

pace : liomogcnéilé, continuité et infinité. 11 put également constater la valeur exacte du oroiipe, qu'il appelait série. Hien entendu, les méihodes de démonstration de Helmholtz et de Sophus Lie sont développées avec une précision plus rigoureuse qu'on n'en trouve chez Ueberweg. C'est plutôt par une intuition géniale que ce dernier est parvenu à certaines vérités, qui plus tard furent démontrées par ses successeurs. Ses analyses n'en méritent que plus d'admiration ^ L'usage que M. H. Poincaré a fait récemment des théories du groupe des déplacements dans ses discussions sur l'espace a pour première origine les recherches de lempiriste l'eberweg.

^4. — l.i:.s FORMES d'espace non euclidiennes

ET LE PROBLÈME DE l'ESPACE.

Quelle est l'origine des axiomes de la géométrie d'Euclide et sur quoi repose leur certitude apodictique ? Telle est, dans la solution du problème de l'espace, la question qui préoccupe surtout les mathématiciens. Le onzième axiome, dit des parallèles, a, dès l'antiquité, frappé les mathématiciens par son caractère particulier. « Pour la théorie des parallèles nous ne sommes pas plus avancés qu'Euclide. C'est \a partie IionÉeitsc des mathématiques, qui tôt ou tard devra prendre un autre aspect >», dit Gauss-. Le onzième axiome, ou,

1. Ueberweg est l'auteur de la célèbre Histoire Je Li Philosophie qui fait autorité jusqu'à nos jours. Depuis sa mort, cette histoire continue à être éditée par l'éminent philosophe Heintze. Considérablement développée, augmentée et tenue à jour par celui-ci, elle est devenue l'Histoire classique, dont les éditions nouvelles se succèdent avec régularité tous les trois ou quatre ans. Ueberweg a, en outre, publié un Traité de Logique. arrivé à trois éditions en quelques années, et qui, par l'amplitude et l'originalité instructive de ses développements, présente encore aujourd'hui un intérêt considérable.

2. C. F. Gauss. Werke,\o\ V'III. Leipzig, ii)<k). [GritniiLigen dcr (ieometrtc).

tel qu on le désigne à présent, le cinquième postulat est formulé chez Euclide comme suit : » Si une ligne droite coupe deux autres lignes droites situées dans le même plan, en sorte qu'elle fasse des angles intérieurs du même côté, moindres que deux angles droits, ces deux lignes prolongées à l'intini se rencontreront du côté où les deux angles sont moindres que deux angles droits. » Comme on le voit, cette proposition fondamentale dit^ère des autres axiomes qu'Euclide a présentés avec raison comme *r notions communes //. Il a besoin, en apparence au moins, d'être démontré preuves à l'appui. Les tentatives faites pour trouver ces preuves ont abouti à la création de la géométrie imaginaire, ou géométrie des formes d'espace non euclidiennes.

Nous présenterons ici un bref historique de la formation de cette géométrie, en tant qu'elle touche directement au problème de l'espace.

Le célèbre mathématicien Legendre essaya de prouver l'axiome des parallèles en démontrant l'exactitude abs<jlue d'une proposition équivalente : la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits. Il réussit en etïet à prouver que cette somme ne peut être plus grande que deux angles droits. Par contre, ses efforts pour prouver qu'elle ne peut être plus petite échouèrent. Vers 1S40. le grand mathématicien russe Lobatchewsky ' tenta une autre méthode de démonstration. Développant un postulat opposé à cet axiome, il chercha s'il ne se heurterait pas à des contradictions insurmontables et s'il ne pourrait pas, par cette voie, démontrer la validité de l'axiome. Mais ses déductions synthétiques le conduisirent à ce résultat inattendu, qu'il n'existait pas de telles contradictions. En effet, on pouvait imaginer une forme d espace où la somme des angles d'un triangle était plus petite que deux angles droits, où par conséquent l'axiome d'Kuclide et les théorèmes auxquels il sert de base ne seraient

plus valables. Prcs(.|ue à la iiRtiic époque que Lobatchewsky, un capitaine d'artillerie hongrois. Johann Holyai, guidé par son père, ami et ancien condisciple de Gauss, arrivait au même résultat. Ainsi fut créée la nouvelle géométrie imaginaire.

Dans la seconde moitié du siècle dernier, la géométrie non euclidienne prit un nouvel essor quand, en i8s4, Riemann eut démontré la possibilité d'une troisième forme d'espace, une forme sphérique, où 1 axiome des parallèles d'Euclide est également inapplicable et où la somme des angles d'un triangle peut être ph(S <rrande que deux angles droits. Dans une variante de celte forme d'espace, le douzième axiome d'Kuclide serait également inexact : deux droites y peuvent renfermer un espace, c'est-à-dire s'y croiser plusieurs fois. Riemann' prit pour base de ses déductions une expression algébrique, la mesure de courbure (A>// /y//;/// z/^'- .s/// jj55). qui serait le fondement essentiel de toute géométrie ; c'est une expression par laquelle on donne la distance de deux points dans une direction quelconque, et en premier lieu de deux points à une distance infiniment petite l'un de l'autre. Riemann pose comme axiome que. dans tout espace où le libre mouvement de corps solides est possible, cette mesure de courbure a une valeur constiDitc.

La forme d'espace de Riemann a surtout été étudiée par Helmholtz. Partant des trois propositions sur le libre mouvement des corps solides-, Helmholtz établit à laide de la géométrie analytique la grande portée de la mesure de courbure de Riemann. Helmholtz a également accepté comme axiome le postulat, posé par Riemann, que l'espace pouvait être considéré comme une grande multiplicité de nombres \ /jhlein)ianiii(rfjIlioki'it). Le résultat principal des raison-

1. B. Riemann. Vchrr die IlYpothcsen, welchc der Gconicti ie {« Grande îiegrn. (Ges.immeltc Werke. Leipzig, 1876).

2. Helmholtz. Ueher dett Ursprun^ und die Beànitung dcr geomctrischen Axiome. (Vortr;ige und ReJen. vol. II, Braunschweig.)

LES BASES DE LA GÉOMÉTRIE d'eLXLIDE 6^

nements analytiques de Helmholtz fut que les ditlérences entre les diverses formes de l'espace se caractérisent par leur mesure de courbure (Knimmnngsmaass). Dans une conférence retentissante, faite à Heidelberg, en 1870, il sut attirer l'attention générale du monde savant sur la nouvelle géométrie.

Cette géométrie non euclidienne admet donc aujourd'hui comme également possibles trois formes d'espace et les caractérise de la manière suivante : i*^ la forme enclidientie, où l'axiome des parallèles est exact, et où la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits et la mesure de courbure est égale à {éro ; 2" l'espace de Lobatchewskv, où la sommedes angles d'un triangle est plus pelile que deux droits; la mesure de courbure a un signe négatif : 3° l'espace de Riemann-Helmholtz, où la somme des angles d'un triangle est plus grande que deux droits et où la mesure de courbure a un signe positif': dans une variante de cette forme, deux droites pourraient aussi renfermer un espace. La forme despace d'Euclide est, selonRiemann, un espaee-plan : la forme de Lobatchewskv est désignée par Beltrami sous le nom de pseudo-sphérique, la forme de Riemann-Helmholtz est l'espace sphérique.

Nous allons examiner de plus près jusqu'à quel point les espaces 2 et 3 peuvent être considérés comme réellement existants. Pour rendre plus compréhensible au lecteur non initié la véritable portée des espaces non euclidiens, nous formulerons les propositions a et 3 en langage non mathématique. Pour montrer que dans un triangle la somme des angles peut être plus petite que doux angles droits. Lobatscheusky construit un triangle dont les côtés ne sont pas rectilignes, mais convexes, c'est à-dire courbés à l'intérieur; c'est là la signification delà mesure de courbure négative. Helmholtz a comparé l'espace pseudo-sphérique, où pourraient se présenter des triangles pareils, à une selle turque Dans un triangle, dont la somme des angles est plus grande que deux

angles droits, les côtés sont également supposés non rectilignes, mais concaves ou courbés à l'extérieur; ce triangle répond aux mesures de courbure positive.

Pour justifier un pareil remplacement des lignes droites par des lignes courbes dans un triangle rectiligne, M. Poincaré a recours à l'argumentation suivante : « Donner aux côtés des premiers triangles (avec côtés rectilignes) le nom de droites, c'est adopter la géométrie euclidienne ; donner aux côtés des derniers (avec des côtés curvilignes) le nom de droites, c'est adopter la géométrie non euclidienne. De sorte que demander quelle géométrie convient-il d'adopter, c'est demander à quelle ligne convient-il de donner le nom de droite. // M. Poincaré ajoute qu'on est autant en droit de désigner une ligne courbe comme ligne droite que de la désigner par AB ou par CD. « Je ne puis dire non plus que je n'ai pas le droit de donner le nom de droites aux côtés des triangles non euclidiens, parce qu ils ne sont pas conformes à l'idée de droite que je possède par intuition. » La question de l'existence de deux espaces non euclidiens est réduite ainsi à un simple jeu de mots. Depuis des milliers d'années, le concept d,e la ligne droite n'a pas varié, quelles que fussent les expressions dont on se servait pour la définir. Archimcde la définit comme la ligne la plus courte entre deux points. Legendre désigne la droite comme le plus court chemin d'un point à un autre. Xous verrons plus bas (ij 51 que ces deux définitions concordent parfaitement avec la définition d'Euclide, et, ce qui est encore plus important, avec l'origine sensorielle du concept de la ligne droite. Il ne suffirait pas de désigner nos perceptions visuelles comme perceptions auditives pour cjue la rétine put entendre, et vice ver^ii.

Pour être autorisé à conclure l'existence des espaces de ;/ dimensions avec toutes les conséquences qu'elle comporte, les simples jeux de mots et les sophismes évidents ne suffisent pas.

LES BASES DIC LA GEOMETRIE d'eUCLIDE 67

La création de la nouvelle géométrie paraissait devoir déplacer le problème de l'espace. Gauss, qui avait déjà entrevu la possibilité dune géométrie indépendante du onzième axiome, avait même prédit qu'elle aurait pour conséquence la solution de ce problème, ou au moins qu'elle lui donnerait un aspect tout nouveau. Dans la partie de sa correspondance qui traite de la nécessité d'une géométrie non euclidienne, on trouve de nombreuses indications sur la manière dont cette solution devra s'opérer. Nous en reproduironsquelques-unes. Il écrit à Olbers (28 avril 1817 : "' Je me persuade de plus en plus que la nécessité de notre géométrie ne peut être démontrée, du moins par 1 espritd'un homme à lesprit dun homme. Peut-être dans la vie future comprendrons-nous ce qu'il nous est impossible de comprendre maintenant, la nature de l'espace. Jusque-là, nous devons conipjrcr la gconictric à la tnêcaniquc et non à iaritlimctiquc, qui est fondée sur des combinaisons a priori. »

Il résulte du passage en italiques que Gauss ne reconnaissait pas à la géométrie une origine aprioristique. Il s'en tenait plutôt à l'opinion que Newton formulait en ces termes: '^ Fundalur igitur geometria in praxi mechanica et nihil aliud quam mechanicae universalis pars illa quac artem mensurandi accurate proponit ac demunstat. //

''Je ne sais pas si je vous ai déjà exposé mes idées à ce sujet //, écrivait Gauss à Bessel, le 2t) janvier 1829. ^f. Ici aussi j ai consolidé plusieurs points, et ma conviction s'est encore affermie qu'on ne pouvait absolument pas établir la géométrie sur des fondements iï f>riori. m

\\\\ plusieurs passages, (iauss se prononce carrément contre hi doctrine de Kant. notamment dans sa lettre à W'olfgang de Holyai (6 mars 18^2). k ...L'impossibilité de décider j priori entre I et S prouve de la fas'on la plus claire que Kant avait tort d aftirmer que l'espace n'était qu une forme de notre intuition. J'ai indiqué une autre raison non moins valable

dans un petit travail publié par Gnttingischc Gelehrtc An^cioiHy i8-;i, ch. vi. p. 62s. //

Lobatchewsky, à qui il l'ut donné de présenter la solution vers laquelle tendaient les recherches de Gauss, avait de la doctrine de Kant une opinion analogue. '^ La vérité n'est pas inhérente itux notions géométriques ; comme les lois physiques, elles doivent être contirmées pas l'expérience, par des observations astronomiques. >/

'< Dans la nature, dit encore Lobatchewsky, nous ne percevons, à proprement parler, que le mouvement, sans lequel les impressions des sens sont impossibles. Tous les autres concepts, par exemple les concepts géométriques, étant empruntés aux propriétés du mouvement, sont acquis par notre esprit artificiellement... Nos premières notions sont acquises par les sensations; on ne doit pas ajouter foi aux notions innées. //

En un mot, Lobatchewsky pense, comme Gauss, que les vérités géométriques sont déduites de l'expérience et qu'aucune certitude apodictique ne leur est propre.

Riemann se prononça d'une façon tout aussi nette en faveur de l'origine empirique de nos notions de l'espace. 11 en voit la preuve dans ce fait « qu'une grandeur de dimensions multiples est susceptible de différents rapports métriques et que l'espace n'est, par suite, qu'un cas particulier d'une grandeur à trois dimensions ». Il admet, par conséquent, que les axiomes ne peuvent aucunement se déduire des concepts généraux de grandeur, mais que les propriétés par lesquelles l'espace se distingue de toute autre grandeur imaginable à trois étendues ne peuvent être empruntés qu'à l'expérience.

Dans la conférence, déjà mentionnée, sur l'origine et la signification des axiomes géométriques, Helmholtz a eu recours à plusieurs reprises à la géométrie non euclidienne pour combattre l'origine j priori de nos notions de l'espace. « Dès lors que nous pouvons nous représenter différentes for-

mes de l'espace, dit-il, l'opinion qui veut que les axiomes géométriques soient les conséquences nécessaires d'une forme transcendentale et j priori àe notre intuition, dans le sens kantien du mot. devient insoutenable, y.

L'origine purement empirique de ces axiomes est donc prouvée, selon Helmholtz, de la façon la plus indubitable par la possibilité d'imaginer des espaces pseudo-sphériques et sphériques, où les axiomes d'Euclide ne seraient pas valables.

Ces opinions unanimes des créateurs de la géométrie imaginaire sont-elles réellement justifiées? Ont-ils vraiment réussi à réfuter l'origine j priori ou nativiste ' de nos notions de l'espace et à en prouver l'origine empirique ? En d'autres termes, Gauss, Lobatchewsky, Riemann et Helmholtz ont-ils fourni une solution réellement satisfaisante du problème de l'espace dans le sens de la thèse empirique ? La réponse à ces questions est négative. Xi sur la réalité de l'espace absolu, ni sur la provenance de nos représentationsde l'espace à trois dimensions, ni sur l'origine des axiomes d'Euclide, lagéométrire non euclidienne n'a apporté d'éclaircissements décisifs.

Pour Gauss, l'espace est une réalité. Lobatchewskv prétend que l'espace en soi n'a pas d'existenceréelle. Helmholtz, ciui ne pouvaitméconnaitre l'origine purement transcendentale des formes non euclidiennes de l'espace, cherche néanmoins à leur conquérir l'équivalence avec la géométrie d'Euclide. Ge n'est que pour les axiomes de cette géométrie qu'il revendique encore une origine empirique. Malheureusement il s'est trouvé hors d'état de fournir des preuves expérimentales en faveur de cette origine empirique. Il a dû se contenter de l'indication que l'espace phvsique, c'est-àdire le seul accessible à nos sens, concorde parfaitement avec les données de la géométrie euclidienne.

Ainsi Helmholtz reconnait « que tous les systèmes pra-

I. Ces deux hypothc«ics ne sont pas n^ttsséirtntent identique».

-ô TEMPS ET ESPACE

uques de mensuration géométrique, où les trois angles de grands triangles rectilignes ont été mesurés isolément, notamment tous les systèmes de mensurations astronomiques, qui donnent une valeur égale à zéro aux parallaxes des étoiles fixes éloignées,... confirment empiriquement l'axiome des parallèles et montrent que, dans notre espace et avec nos méthodes de mensuration, la mesure de courbure ne ditïère pas de zéro ». lùi ceci Helmholtz est d'accord avec les affirmations de Lobatchewsky : '" j'ai prouvé ailleurs, écrit ce dernier, en m'appuyant sur quelques observations astronomiques, que, dans un triangle dont les côtés sont de la même grandeur à peu près que la distance de la terreau soleil, la somme des angles ne peut jamais différer de celle de deux angles droits d une quantité qui puisse surpasser 0,000-; en secondes sexagésimales. Or, cette différence doit être d'autant moindre que les côtés du triangle sont plus petits. /> Otte quantité minime ne dépasse d'ailleurs pas les limites des erreurs d'observation.

L'expérience nous confirme donc la validité absolue de l'axiome des parallèles d Euclide dans l'espace du monde physique, seul accessible à nos sens. Comment alors la gco- 7)i(.'tric non ciicIiJicnne, qui saffra)tcJiii de cet axiome^ pourrait-elle nous démojitrer l'origine empirigue de nos concepts de l'espace?

D'ailleurs, sommes-nous vraiment en état de nous former une représentation nette de l'espace sphérique ou pseudosphérique, ou plutôt des perceptions que nous aurions si nous étions tout à coup placés dans un tel espace? Les tableaux que nous fait Helmholtz de ces perceptions, et que Klein appelle avec raison '< un mélange de vrai et de faux », ne constituent pas des preuves. Les *: séries de sensations » qu'un monde sphérique ou pseudo-sphérique nous donnerait, s'il existait, sont déduites tdut à fait arbitrairement. Elles sont aussi problématiques que l'existence même de ce monde. Ces déductions, obtenues par la méthode purement

abstraite de l'analyse, n'étaient pas faites pour réfuter lorigine transcendentale des définitions et des axiomes de l'espace euclidien. Au contraire, elles pourraient plutôt servir aux Kantiens d'argument en faveur de la conception j priori ; car jusqu'à présent les formes d'espace de Riemann-Helmholtz n'admettent point de démonstrations par l' expérience . Elles n'ont pas non plus une oritrine empirique.

D'autre part, les créateurs de la géométrie non euclidienne ont reconnu c\pressémcnt l'impossibilité d'expliquer, au moyen de cette géométrie, les causes qui nous forcent à limiter à trois dimensions nos concepts de l'espace

» 11 en est autrement des trois dimensions de l'espace Tous les moyens dont disposent nos sens se rapportant à un espace à trois dimensions et, la quatrième dimension n'étant pas une simple variation de la réalité, mais quelque chose de tout à fait nouveau, nous nous trouvons, par woXx^organisation physique même,, dans l'impossibilité absolue de nous représenter une quatrième dimension //, reconnait Helmholtz.

Ainsi Helmholtz admet que l'espace à n dimensions de Riemann est inaccessible à la perception des sens, qu'il est, par conséquent, un simple produit de l'esprit et non de l'expérience. CJauss est du même avis. (\'oir la lettre à Gerling, 1S44, citée dans Ohrlahvrintli, p. 3()6.)

Récemment, l'éminent mathématicien M. Poincaré a, dans plusieurs études, exposé d'une façon détaillée les rapports de la géométrie non euclidienne avec le problème de l'espace M. Poincaré prend pi)ur baso do ses considérations psvcliologiques sur les fondements de la géométrie, d'une part, les prétendues sensations de mouvements, surtout de mouvements t)culaires ; d'autre part. lc> développements donnes aux recherches de Helmholtz par Sophus Lie dans le troisième volume de ses Groupes de transforma'

a (tu s

THMFS FT FSPACK

C^e que M. Poincaré dit, au sujet des sensations musculaires, de l'impossibilité où nous serions d'avoir conscience du mouvement des corps solides, si notre œil et nos organes du toucher n'étaient pas mobiles, de la non existence des sensations de direction, etc.,. — tout cela est en contradiction flagrante avec les données physiologiques les mieux établies'. Sa psychologie de l'espace, en tant qu'elle repose sur le mouvement des corps solides, se rapporte en réalité à l'espace z'isKi'i et non à Vi'spjcc réel. Klle se trouve déjà réfutée par le fait que des aveugles-nés possèdent des notions d'espace assez complètes. (Voir plus haut, ij 2. ) Les lois des déplacements des corps solides dans l'espace visuel ne peuvent nous renseigner que sur les distauces et nullement nous donner des notions sur l'espace réel. Elles peuvent encore moins nous imposer le concept d'un espace à trois dimensions.

Xous venons de voir plus haut que, dès i8s^o, Ueberweg déduisait de l'analyse des mouvements l'homogénéité, la continuité et l'intinilé de l'espace dEuclide. Les études de Sophus Lie sur les groupes de transformations ont déduit avec bien plus d'ampleur les mêmes propriétés également pour les formes de l'espace non euclidien.

Mais, malgré leur valeur au point de vue des mathématiques pures, les travaux de Sophus Lie n'ont réussi à établir ni les bases naturelles des axiomes d'Euclide, ni l'origine de notre concept d'un espace à trois dimensions. M. Poincaré le reconnaît nettement : '' La notion de ces corps idéaux (les figures géométriques), dit-il. est tirée de toutes pièces de notre esprit, et l'expérience n'est qu'une occasion qui nous engage à len faire sortir // y\. Poincaré se prononce t(jut aussi catégoriquement dans le sens de la conception kantienne au cours dune étude plus récente : « Geometry is not an expérimental science : expérience forms merely the

I Le senr musculaire n'existe pjs. Le gr.inJ physiologiste E. H. \\ ebor

\\\ démontré Jéi.'j en iS;.2. Voir plus luiut. ï :. et p. 41».

occasion for our reflecting iipon the geometrical ideas, wich pre-exist in us^ //.

A cette occasion, M. Poincaré déclare qu il est à ce sujet en accord complet avec Helmholtz et Lie : '' I ditïer from them in one point only, but probably the différence is in the mode of expression only and at bottom \ve are completely in accord. // En réalité, les différences entre Helmh(jltz, Lie et M. Poincaré sont considérables. Helmholtz. quoique Lun des principaux protagonistes de la géométrie non euclidienne, était trop physiologiste et trcjp physicien pour verser dans la métaphysique, qu'il considérait comme aussi funeste à la philosophie que l'astrologie le fut à l'astronomie. Helmholtz admettait la rcalitc des objets dans l'espace et Vexistcficc d'un espace absolu. Nous venons de citer son avis sur l'impossibilité de nous représenter un espace à quatre dimensions.

Tout autre est la manière devoir de M. Poincaré. Mathématicien illustre, il est resté personnellement étranger aux recherches expérimentales. Pour lui. l'anaKse supérieure est en première ligne un jeu avec des équations, destiné plutôt à procurer aux mathématiciens des jouissances esthétiques, qu'à élucider les lois du monde phvsique, seul accessible à nos sens. Dans ses ouvrages destinés au grand public, comme la Sciefiee et l' Hypothèse, la Valeur de la Science, et Science et Méthode^ c'est en métaphysicien pur quil porte des jugements sur les plus grandes conquéles de l'esprit humain pendant ces derniers siècles '^ Lespace absolu, dit-il, c'est-à-dire le repère auquel il faudrait rapporter la terre pour savoir si réellenuiit elle tourne, na aucune existence objective. Dès lors, cette aflirmatiou " la terre tourne* n'a aucun sens, parce qu'aucune expérience ne permettra de la vérifier. S'il n'y a pas d'espace, peut-on tourner sans tourner par rapport ;i t|UeK|ue chose? m (La Science et l Uy-

\ II. PuiiKarc. Revue de MetapUssique et >ie tnoralf^ etc. i8us ; cl The

po/hi'Si\) Dans Li Valeur de Li Science i\>. 272), M. Poincaré revient sur ce sujet et se prononce exactement dans le mémo sens.

M. l^>incaré est donc en opposition complète avec tous les autres non euclidiens, avec Helmholtz et Sophus Lie, comme avec C^auss et Riemann. Les lois de la gravitation, qui constituent les bases de l'astronomie et de la physique moderne, M Poincaré les met en doute. La révolution produite par Copernic, Galilée et Newton dans nos connaissances du monde physique est pour lui sans portée sérieuse. La brillante démonstration de la validité des lois de Newton par la découverte de Neptune faite par Leverrier « au bout de sa plume >/ (Arago/, ce plus grand triomphe des sciences mathématiques au xix^ siècle, ne prouverait rien en faveur de la réalité de l'espace ; M. Poincaré lui oppose l'impossibilité d'une confirmation expérimentale et dédaigne ainsi l'expérience célèbre de Foucault. Les groupes des déplacements de Sophus Lie, auxquels M. Poincaré a recours pour ses déductions d'un espace à quatre dimensions, ont leur origine dans les recherches de l'empiriste Ueberweg, qui fut le véritable précurseur de Helmholtz et de Sophus Lie dans cette voie. Leurs études sur les déplacements avaient une raison d'être parce qu'ils jJ mettaient tous les deux l'existence d'un espace réel à trois dimensions. En effet, l'existence d'un espace réel est une condition préalable et absolue pour que les déplacements des corps solides y soient possibles. La ref^rèsentatio)! d'un espace à trois dimensions doit nous être familière pour que nous puissions y étudier les déplacements.

'' L'espace euclidien n'est pas une forme imposée à notre sensibilité, puisque nous pouvons imaginer l'espace non euclidien y/, écrit M. Poincaré {La Valeur de la Science, p. i)^). Le mot imaginer signitie-t-il '< nous représenter >/ ? Or, nous pouvons très bien nous représenter un espace à trois dimensions, mais nullement un à quatre, et cela juste-

LES BASES DE LA GEOMETRIE D EUCLIDE J'y

ment parce que cette représentation de l'espace euclidien est '< imposée à notre sensibilité >/, ou, pour employer le langage précis de la physiologie des sens, nous est imposée par les perceptions des trois directions des ondes sonores qui, grâce aux fonctions des trois paires de canaux semi-circulaires, nous donnent la représentation des trois coordonnées de Descartes.

Si 'sc imaginer// veut dire que nous pouvons disent lt à l'aide de l'analyse ou d'une dialectique métaphysique plus ou moins sophistiquée, l'existence d'une quatrième dimension, aucune analogie n'est admissible entre les deux géométries. La réalih'de la géométrie euclidienne est confirmée par toutes lés expériences depuis plus de deux mille ans, tandis que la géométrie non euclidienne a été désignée par ses fondateurs eux-mêmes comme une géométrie iina^iiujirc, — c'est-à-dire ne reposant sur rien de réel. Pour prouver, à l'aide du groupe des déplacements, la possibilité d'imaginer une quatrième dimension, M. Poincaré a recours au sens musculaire cjui nous donnerait ''< nos sensations étendues // (p. i2q). Or ce sens musculaire n'existe pas (voir 5; 2 et ch. II, !:< s), pas plus d ailleurs que les sensations tendues, (^es sensations musculaires, purement imaginaires, M. Poincaré les groupe en séries « classées en trois classes corres- • pondant aux trois dimensions de l'espace// ...'!( Si je veux imaginer une quatrième dimension, dit-il, je supposerai une autre série de sensations musculaires, faisant partie d'une quatrième classe, m Ce raisonnement revient simplement à la création d une géométrie imaginaire à l'aide d'une phvsiologie tout à fait fantaisiste.

Dans l'ouvrage auquel sont empruntées les citations précédentes, M !*()incaré traite de la géométrie qnulit.ttive. (^ette nouvelle géométrie, créée par Riemann, Cremona et Bait, et baptisée du nom \\' Atulysis sitiis, fait abstraction de toute idée quantitative, -r Les théorèmes de VAnalysis sitits ont donc ceci de particulier qu ils resteraient vrais si les

7^ TFMI'S El r:Sl'A( K

ligures ctaitMU copiées par un dessinateur nialliabile, qui altérerait grossièrement toutes les proportions et remplacerait les droites par des lignes plus ou moins sinueuses... » M Les mêmes questions qui se posaient à propos des vérités de la géométrie euclidienne, se posent de nouveau à propos des théorèmes de \A/ia/vsis situs. Peuvent ils être obtenus par un raisonnement déductif? Sont-ce des conventions déguisées? Sont-ce des vérités expérimentales? Sont-ils les caractères d'une forme imposée soit à notre sensibilité, soit à notre entendement ? je veux simplement observer que les deux dernières solutions s'excluent, ce dont tout le monde ne s'est pas toujours bien rendu compte. Nous ne pouvons pas admettre a la fois qu'il est impossible d'imaginer l'espace à quatre dimensions et que l'expérience nous démontre que l'espace a trois dimensions. »

Il serait plus juste de dire : '" Nous ne voulons pas admettre >/, puisque depuis des milliers d'années des milliers d'expériences l'ont démontré. Et pourquoi^ M. Poincaré ne veut-il pas l'admettre ? '-' L expérimentateur pose à la nature une interrogation : est-ce ceci ou cela ? et il ne peut la poser sans imaginer les deux termes de l'alternative. S'il était impossible de s'imaginer l'un de ces termes, il serait inutile et d'ailleurs impossible de consulter l'expérience '. // Il ne s'agit, comme l'on voit, que de purs sophismes ou plutôt de simples jeux des mots. Comme la représentation de l'espace euclidien, celle de la géométrie qualitative nous est possible. M Poincaré reconnaît même c[ue '< le théorème le plus important de \'A)ij/\sis si/iis est celui que l'on exprime en disant que l'espace a trois dimensions. Hn etVet, comme la géométrie de Thaïes, la géométrie qualitative repose entièrement sur les perceptions des sensations de dircctinu^ c'està-dire sur les fonctions du sens géométrique du système des canaux scnii-circulaires . Le sens arithmétique du

1. H. Poincaré. Ld Valeur de lu Science, chap. m. pp. ()-^-(m».

LES BASES DE LA GEOMETRIE d'eUCLIDE 77

limaçon, qui, grâce à la perception des hauteurs des sons, nous fournit la connaissance des nombres, n'v participe nullement.

« Rarement une année se passe sans qu'un essai paraisse destiné à combler cette lacune (quant à lorigine des axiomes euclidiens I, mais nous devons reconnaître franchement que nous n'en sommes pas beaucoup plus avancés qu'Euclide il y a 2000 ans. Un tel aveu, franc et lovai, nous parait plus digne de la science que les vains efforts pour cacher, par un tissu éphémère de démonstrations factices, une lacune que nous sommes hors d'état de combler ! » Ainsi parlait Gauss en 1S16. Malgré la création de la géométrie non euclidienne, ces paroles ont gardé toute leur valeur par rapport au problème de l'espace, — jusqu'à la découverte des organes de sens généraux pour la perception des trois directions, découverte qui nous a permis d'établir l'origine phvsiologique des définitions et des axiomes d'Euclide.

^. 5 — L'ORIGINK PHYSIOLOGIQUE DES DÉFINITIONS ET DES AXIOMES D'EUCLIDE.

Lorsqu'on suit au cours des siècles les eftorts réitérés des mathématiciens pour prouver les axiomes d'Euclide, et plus particulièrement le onzième, on constate que la notion de direction est le '< Leitmotiv ^ de la plupart des solutions proposées. Jusqu'au milieu du xix* siècle, mathématiciens et philosophes se sont servis de cette notion, en apparence si claire, pour formuler leurs théories les plus satisfaisantes. Même plusieurs promoteurs de la géométrie non euclidienne espéraient encore baser sur la direction l'axiome des parallèles. Dans ses premiers essais géométriques, Lobatchewskv définissait les parallèles, comme on l'avait fait avant lui, << les lignes de même direction // Hans les passages de l'diivrc posthume et de la correspondance de Gauss où il

7^ TEMPS HT FSPACE

est question des premiers fondements de la géométrie, l'auteur a souvent recours à la direction quand il cherche l'origine de l'axiome des parallèles. Dans les célèbres articles de la Quartcrly Rcvii'iL\ par lesquels sir John Herschel prit une part décisive à la polémique entre Stuart Mill et Whevvell, nous lisons : « La seule notion claire que nous possédons de la ligne droite est l'uniformité de la direction ; car l'espace, en dernière analyse, n'est qu'une quantité de distances et de directions ^ »

Le philosophe Ueberweg, après avoir tenté, dans son travail déjà cité, de déduire analytiquement, des mouvements des corps solides, les principales formes géométriques, passe enfin à une construction synthétique de la géométrie, où il prend comme base la notion de la direction qu'il cherche à détinir. Une très remarquable tentative de résoudre le problème de l'espace à l'aide des sensations de direction fut encore celle de Riehl. Malheureusement, Riehl voulut expliquer les sensations de direction par de problématiques sensations de mouvement, et cela lit échouer sa tentative. En 1890, Heymans reprit l'idée de Riehl, qu'il essaya de développer d'une façon des plus intéressantes. Mais nos travaux des années 1876-1878, sur l'existence d'un organe spécial qui nous fournit les sensations de direction, étaient inconnus à Heymans. Réduit aux seules sensations de mouvement, il ne pouvait réussir mieux que son devancier.

Si. à l'aide de la notion de direction, on ne pouvait aboutir à aucune solution décisive, cela tenait à la difticulté de donner une définition satisfaisante de la direction. En reconnaissant limportance capitale de la direction, les mathématiciens s attachaient surtout à la définir. Gauss cherchait en vain ci réagir contre cette tendance, et le passage suivant montre qu'il avait très justement pressenti l'origine physiologique de la notion de direction :

l. Sir John Herschel. Qu.irlcrly RcvifU', 18.JI.

« La différence entre droite et gauche ne peut pas être définie, mais seulement indiquée : il y a entre elles une corrélation analogue à celle qui existe entre doux et amer. Mais oDuie similc claudicat ; la dernière comparaison n'est valable que pour des êtres qui possèdent les organes du goût, la première existe pour tous les esprits auxquels la perception du monde matériel est accessible. Deux esprits de cet ordre ne peuvent pourtant s'entendre directement s>Mr droite e\ gauche que si quelque objet individuel et matériel vient jeter entre eux un pont. Je dis directement, car A peut aussi s'entendre avec Z au moven de ponts matériels jetés successivement entre A et B, B et C, etc. j'ai indiqué brièvement dans les Gijttingische geleJirte An^eigen, 1S31, p. 63^. quelle en est la portée en métaphysique, et j'ai ajouté que j'y trouvais la réfutation de la chimère de Kant que l'espace serait uniquement une forme de notre intuition. //: Lettre à Schumacher, du 8 février 1840^. Ces paroles du plus éminent matliémati' cien du siècle dernier pourraient presque servir d'épiomphe à notre étude, car on y trouve le fond même de la solution donnée ici au problème de l'espace.

Les directions gauche et droite (de même que avant et arrière, haut et bas) sont des sensations comme doux et amer, rouge et vert. La différence entre ces sensations ne peut pas être définie, mais seulement indiquée. Les 'f ponts it» qu'il s'agissait d'établir entre les différents esprits, afin qu'ils pussent s'entendre sur les directions et arriver à une solulit)n du problème de 1 espace, ces ponts sont jetés par les travaux c|ui ont reconnu l'existence d'un organe de sensjt/ lioc, destiné à nous donner des sensations de direction de troi> qualités différentes, < lesquelles nous rendent accessible la perception du monde matériel m.

(^cs idées si claires de Gauss sur l'importance de la direction dans le problème de l'espace n'ont été révélées que récemment par la |niblicalion de ses œuvres posthumes. Klles n ont donc pas pu empêcher que, faute de définition, la

So TFMPS KT ESPACE

direction ne tût presque bannie de !a géométrie dans la solution du problème de l'espace au moyen du concept de la distance.

Déjà Proklos avait essayé de démontrer le onzième axiome en remplas^ant la direction par la distance. En dévelf)ppant ridée de Proklos, on arriva à définir les parallèles '^ comme lignes équidistantes >/, au lieu de '< lignes de même direction ^ ainsi que les définissait Lobatchewsky d'après Jacobi et autres. La (//s/j;/tT fut redevable de sa victoire sur la direction à la physiologie ou, plus exactement, à l'optique phvsiologique. En etïet, la notion de la distance comme grandeur métrique repose sur l'estimation visuelle (Augenmass).

En étudiant par voie analytique les mouvements des corps solides, on prend en considération presque exclusivement l'espace visuel. Pour ces études, la notion de distance a donc pu fournir une base tangible. Et lorsqu'on chercha ensuite à appliquer directement les expériences de l'espace visuel à la connaissance de l'espace absolu, la distance devait forcément remplacer la direction ^ Aussi Helmholtz cherchait-il à combattre la légitimité de l'emploi de cette dernière notion : « Comment défmirait-on la direction sinon, précisément par la ligne droite ? Ici nous tournons dans un cercle vicieux. »

Nous pouvons moins encore définir exactement les sensasions de doux et d amer, de rouge et de vert que les trois directions fondamentales i sagittale, transversale et verticale). Néanmoins, les notions des couleurs et des directions sont claires pour nous. A l'aide des notions de couleur, Young, Helmholtz et autres ont pu formuler la théorie des

I. Comprenant fort bien que la géométrie des formes non euclidiennes de l'espace doit rester purement transcendentale et sans aucun rapport avec lexpérience de nos sens, plusieurs partisans autorisés de cette géométrie désirent également renoncer à la distance. Ainsi Killing dit : « De même que la géométrie a du écarter la notion de direction dans le sens employé pour l'axiome des parallèles, de même la notion de distance comme notion fondamentale ne pourra être maintenue et par suite ne pourra ctre d'une grande utilité pour les formes despace non euclidiennes dans le sens strict. » [Die nicht eukliJischen Raumformen, Leipzig, i88^ )

LES BASES DE LA GÉOMÉTRIE d'eUCLIDE 8I

couleurs. Pourquoi Euclide n'en aurait-il pu faire autant pour la géométrie avec les notions de directions?

Le présent essai, le premier qui tende à ramener les définitions et lesaxiomes d'Euclideà leur origine physiologique, aux sensations de l'appareil des canaux semi-circulaires, ne pourra donner que des indications générales sur l'origine des notions qui avaient servi à les formuler*: Aussi sommes-nous loin de considérer comme définitifs les détails de notre démonstration. Si nous réussissons à faire partager notre conviction que la géométrie d'Euclide a pour bases naturelles les perceptions du sens de l'espace, le développement ultérieur de cette démonstration ne tardera pas à être donné par desgéomètres compétents. C'est pourquoi nous ne considérerons ici que quelques formes géométriques d'Euclide les plus importantes.

La ligne droite est définie ainsi par Euclide : ^ La ligne droite est celle qui estégalementsituée entre sesextrémités. is» « Hcita liiiea est, LjiKri'ii/ique ex œqiio pinutis inca s/lis jjcct » (traduction Konigj. La traduction allemande que donne Lorenz, aussi d'après le texte grec, a le même sens : « Eine gerade Linie ist diejenige welche zwischen allen in ihr befindlichen Piinkten auf einerlei Art liegt ^ m

La notion de la ligne droite qu'EucIide a voulu détinir apparaît clairement : une ligne située d'une seule façon, ou également, par rapport à tous ses points; cela signitie une ligne qui ne dévie ni ne se courbe d'aucun côté, c'est à dire qui conserve la même direction

La ligne droite est la ligne de direction constante, comme le disait avec raison l'eberweg. (le philosophe essava de donner à la définition une base plusstrictement scientitique, en déduisant la Jireetli)): du mouvement des corps solides « Nous nom nions »//('/7c' la ligne qui, dans sa rotation autour

t ("l.ivius propose ciKorc une .lutre tr.iJuction :

fi Nulliim punctum inIcrrncJuim .»h extremis sursum .lut Jcorsum vel hiic \el tHuc Jleclendo suhsait.il »

Dk (^von. b

s 2 TEMPS ET ESPACE

de deux pointsfixes, nesort pasd'elle-méiiie >/ Sans compter tjue la ri)Lili<>ii présuppose déjà la notion de ^/'/<77/V>;/. cette origine ne peut répondre à la définition d'Euclide, car celuici a certainement, de propos délibéré, exclu de son premier livre la notTon de mouvement. Cette exclusion indique assez clairement que la notion de mouvement était étrangère aux idées qui linspiraieAt dans ces définitions. Les idées devenues familières aux non euclidiens, grâce à certaines hypothèses émises seulement au cours du siècle dernier, n'ont pu évidemment exercer aucune action sur Euclide.

On invoque, il est vrai, l'axiome de la congruence comme preuve qu'Euclide, dès son premier livre, avait déjà en vue le mouvement. Même sil en était ainsi, cela ne prouverait nullement que dans ses autres définitions il s'inspirât de -notions analogues En vérité la congruence n'est basée que sur la similitude. Comments exprime l'axiome d'Euclide sur la congruence ? « Q\ix sibi mutuo congruunt sunt :f qualia. // '< Les grandeurs qui coïncident sont égales et semblables. » (Konig.) Lorenz traduit : « Was einander dtxkt ist einander gleicli. >/ Lambert : '-' Ausgedehnte Grv')ssen, die j/// einander pûsscn, sind einander gleich. //

Où voit-on là l'expérience tirée du mouvement? Si la congruence avait pour base le mouvement, elle nous serait inconnue encore aujourd'hui. En elïet, où l'expérience nous montre-t-elle des choses qui coïncident complètement ou qui soient parfaitement égales? Une congruence strictement exacte des corps solides est impossible, et ce n'est que sur des corps solides que l'expérience peut s'appuyer. En réalité, la seule congruence parfaite que nous connaissons est celle qui est produite dans notre conscience par la fusion de deux images ou de deux directions identiques. La notion de la congruence nous vient peut-être justement d'une fusion pareille. Au fond, on ne trouve dans les définitions et les axiomes du premier livre d'iùiclide que les notions de direction et de position.

Nous avons rappelé plus haut le fonctionnement normal du labyrinthe en tant qu'organe périphérique des sensations dedireclion, et montré le mécanisme intime par lequel ces sensations provoquent des mouvements oculaires. Il s'agit ici d'indiquer comment nos perceptions de la direction du son peuvent conduire à la représentation de la ligne droite comtnc lier ne du ne. seule direction.

En même temps que l'animal perçoit une sensation de direction, simultanément avec la sensation du son ou du bruit provoquée par la même cause extérieure (vibration de 1 air), l'excitation des nerfs ampullaires produit des mouvements oculaires, destinés à diriger son regard dans la direction perçue, atin d'en découvrir la cause. Si ces mouvements ne suffisent pas pour diriger la ligne visuelle dans cette direction, des mouvements de la tête et, éventuellement, du corps entier interviennent, déterminés eux aussi par la même excitation des terminaisons nerveuses des canaux semi-circulaires.

Le chemin le plus court, qui conduit de la source d'excitation des nerfs de l'ampoule, au point où a lieu la perception de la direction est la lignedroitede cette direction. Cette ligne droite coïncide avec la ligne visuelle (Blicklinie). Elle est limitée d'une part par le point d'excitation, d'autre part par le point de perception; elle en indique ainsi la distance. La direction idéale, comme telle, n'a pas de limites ; elle peut s'étendre à l'infini. Aussi pouvons-nous, dans notre esprit, prolonger des deux cotés la ligne droite, en suivant Li direction à laquelle elle correspond.

C^est cette propriété de la ligne droite idéale, actcrmincc par son origine même, qui explique et justifie la seconde demande d'Euclide : r Toute ligne dr«>ite peut toujours être prolongée en direction droite m. Psychologiquement, d'après le mécanisme exposé, on pourrait dire : La ligne droite est la représentation immédiate d'une sensation de direction.

Cette origine de la notion de la ligne droite déter-

mine également sa qualité d'être la ligne la plus cc^urte entre deux points (Archimèdej et justifie aussi la définition de Legendre : « I.a droite est le plus court r/w/uin d'un point à un autre. >/ On a reproché à cette définiti(Mi de nécessiter le définition préalable du rlwniiir, lorigine physiologique de la direction en indique directement le sens précis. Ainsi donc, la définition de Legendre correspond encore beaucoup plus exactement à l'origine physiologique de la droite idenle.

Par la seconde demande citée plus haut. Euclide montre peut-être encore jilus nettement que par sa définition que la notion de la droite est déterminée par l'aperception {AfiseliiiiiiDig) de la direction.

Le douzième axiome le fait d'une façon non moins convaincante : '' Deux droites ne peuvent pas renfermer un espace », ou : deux droites ne peuvent se croiser qu'une fois et divergent ensuite à l'infini. Ceci résulte directement de la projection an dehors de deux sensations de directions différentes. Il suffit de fixer un instant notre attention sur deux directions de qualité différente pour avoir la certitude qu'elles ne peuvent plus jamais se rencontrer. Cette certitude résulte de nos perceptions mêmes.

La preuve la plus évidente que la notion de la ligne droite, comme ligne de direction constante et comme chemin le plus court entre deux points, a son origine dans les sensations du labyrinthe de l'oreille, nous la trouvons dans ce fait : non seulement l'homme, mais tous les animaux qui possèdent cet organe et <'//.v seuls connais^ sent la ligne droite comme le chemin le pins court. Ils se dirigent avec la plus grande précision dans la ligne droite pour parvenir le plus rapidement possible à leur but. Par contre, les animaux auxquels manque cet organe spécial et qui s'orientent seulement à l'aide de leur vue ou de leur odorat sont incapables de suivre la ligne droite.

Qu'on observe, par exemple, les pigeons voyageurs

LES BASES DE LA GÉOMÉTRIE d'eUCLIDE 8s

quand ils retournent au colombier, les chiens quand ils traversent une rue, les bétes poursuivies à la chasse, et l'on verra avec quelle sûreté ilssavent en changeant brusquement de direction, prendre la diagonale pour raccourcir leur chemin. Par contre, les animaux, même ceux qui, comme les abeilles et les fourmis, sans labyrintlie, s'orientent pourtant à la perfection, ne se meuvent qu'en arcs ou en demi-cercles. La ligne droite leur est inconnue.

Dans la classe des animaux vertébrés, des défauts innés ou accidentels des canaux semi-circulaires peuvent entraîner l'absence ou la perte de cette connaissance de la direction en ligne droite. Cq fait s'oberve chez certaines souris dansantes japonaises et chez les lamproies^ comme chez les pigeons, les lapins, les grenouilles et autres animaux qui ont subi certaines mutilations du labyrinthe, et cela, même quand leur vue est restée intacte.

L'homme peut perdre la connaissance de la ligne droite, momentanément ou pour un temps plus ou moins long, par suite de maladies du labyrinthe, d intoxication, de mouvements inaccoutumés, tels que le balancement et Li rotation prolongée autour d'un axe longitudinal, ou de toute autre cause accidentelle qui, conséquemment, parvient à troubler l'harmonie des rapports normaux entre le sens de l'espace et celui de la vue -.

Les expériences et observations innombrables qui ont établi ces faits d'une fa^on indiscutable n'admettent qu une seule interprétation : nos notions de la ligne droite, cette figure fondamentale de la géométrie d'Huclide, proviennent des sensations de direction dues au labyrinthe.

Une fois ijuc la définition de la ligne droite idéale se

(. Ces êtres à une ou Jeux paires de canaux, c'cst-.H-diiv vjui uv ^..nii.u^scnl qu'une ou deux directions de Icspacc, ne se meuvent januis en ligne droite, mais en zigz.igs et en cercles.

3. Voir, sur la portée physiologique de ces rapports, les chapitres de mes ouvrages [Ohrl.thvt inth et I Oreille) consacrés au vertige, à la rotation et aux observ.itions sur les sourds-nuicts

S(> THNtrS ir Fsf'ACF

trouve expliquée par son origine physiologitiue, les difficultés que présentait jusqu'ici l'axiome des parallèles d'Muclide disparaissent : sont parallèles les lignes droites qui, situées dans le même plan, ne se rencontrent d'aucun des deux côtés, à quelque distance qu'on les prolonge. Dans leur tentatives pour préciser cette définition et établir l'exactitude de l'axiome \i, tjui en est la conséquence, les mathématiciens se heurtaient à une difficulté capitale, à l'impossibilité de démontrer que les lignes tra.'écs étaient vraiment des droites idéales situées dans un plan, telles qu'Euclide les exigeait. C'est aux notions de direction ou de distance qu'ils avaient le plus souvent recours pour pouvoir donner cette démonstration : sont parallèles les lignes qui ont une seule et même direction ; ou : les lignes parallèles sont celles qui. dans leur parcours, conservent la même distance entre elles^

Comme nous lavons vu. ces deux notions, ramenées à leur vraie signification physiologique, ont été déterminantes pour l'origine de la définition euclidienne de la ligne droite, ce qui indique par conséquent la même origine naturelle à la définition par Euclide des droites parallèles. S'il en est ainsi, la notion des parallèles doit être connue également des animaux et des enfants. En effet, les uns et les autres savent très bien que les directions et les chemins parallèles ne peuvent se rencontrer. Dans les jeux des enfants entre eux ou avec des animaux et dans la poursuite de ces derniers, on constate facilement ceci : l'animal, poursuivi sérieusement ou par jeu, cherche dans sa fuite à garder la nirnic direclion que celui qui le poursuit ; tandis qu'au contraire celui-ci cherche à saisir le fugitif en déviant de la direction parallèle et en prenant la diagonaie. Quand le poursuivant change de direction, le poursuivi choisit, lui aussi, la direction nouvelle, et cherche