Voir L'Oreille, ch v. ^\i

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en même temps, d'un coup d'œil, à rester à égale distance du poursuivant. Quand le jeu a lieu dans un espace limité, on s'aperçoit que la poursuite s'opère en zigzags^ Or, si le poursuivi n'avait pas conscience qu'en gardant la direction parallèle il rend une rencontre impossible, il aurait, pour échapper à la poursuite, choisi plutôt une direction opposée à celle qu'avait adoptée le poursuivant.

11 ne peut être question chez les animaux d'idéalisation ou d'abstraction d'expériences acquises antérieurement. La notion des parallèles leur est donc donnée directement par des sensations particulières. L'existence de pareilles sensations et leur siège me furent révélés au cours de mes nombreuses recherches relativement à l'homme sur nos illusions dans la détermination des directions.

Ces recherches, exposées ailleurs en détail (OJirhihyriiith et L Oreille, ch. v. i; 12), portèrent sur l'origine de nos sensations de parallélisme. Leur résultat principal est que ces sensations ont leur siège dans un organe de sens situé dans la tète, et notamment dans les quatre canaux verticaux. Le vertical gauche est parallèle au sagittal droit; le vertical droit, au sagittal gauche.

Ces observations nous donnent un nouvel exemple de la collaboration harmonieuse du labvrinthe de l'oreille avec l'organe de la vue. sur laquelle sont basés les rapports entre l'espace réel et l'espace visuel. Les nerfs vestibulaires jouent dans ces rapports le rôle déterminant, grâce à leur action sur les nerfs oculo-moteurs. La notion des trois directions de l'espace doit déjà exister pour que notre orientation dans l'espace visuel soit possible. Il en est de même pour l'orientation dans les directions parallèles.

La notion de Vinliiiilc de la ligne droite, telle qu'elle résulte de la seconde demande d'Huclide. a été également utilisée par plusieurs mathématiciens pour démt^urer

I. Sur le jeu des .intm.iux en zigz.igH, voir, entre autres, l'ouvrage très inlcrcs>.int do Groos, Dic Spiele Jer Thieirc lèna, i8i)0.

88 TIIMCS Fr ESPACE

l'axiome des parallèles. 11 résulte des expériences que la notion du parallélisme est également une conséquence de la notion de direction idéale, telle quelle nous est donnée par les sensations du labyrinthe de l'oreille.

La définition du plan adoptée par Euclide : « une surlace située d une seule façon entre toutesles lignes qui se trouvent en elle », est considérée par tous les géomètres comme analogue à sa définition de la ligne droite. Avec notre ccjnnaissance actuelle de l'origine physiologique de la notion de la ligne droite, il ne sérail pas difficile de déduire la notion du plan des sensations de directions identiques, perçues par les extrémités des nerfs situés tous dans le plan d'un seul canal semi-circulaire. Les propriétés du plan pourraient sans difficulté s'accorder avec une semblable origine de nos représentations de cette forme d'espace.

La notion de langle, tel qu'Euclide le définit, nous est donnée par intuition directe de la même manière : un angle plan est \ uicliiuisou de deux lignes qui se rencontrent dans un plan sans être situées en ligne droite. I/ii/ii/ciisofi ne peut vouloir dire autre chose que iiiffcrcncc Je dircclioti . car les mots en li^rnc droite n admettent que la seule signification : c)i Jircctiou droite, lleberweg qui, dans la partie synthétique de son très important travail, a donné tant d'exemples de divination vraiment extraordinaire, formule de la manière suivante cette définition d'Euclide : '' La différence des directions de deux lignes partant d'un point s'appelle angle ». Il a suffi à l'eberweg d'avoir présente à l'esprit la notion de direction, lorsqu'il déduisit les formes d'espace d'Euclide» pour deviner juste que cette notion provient des sensations. Car, même avec la connaissance actuelle de l'origine physiologique de la notion de direct ion, on ne pourrait définir l'angle d'une façon plus exacte. Il suffirait de remplacer « partant d'un point // par <" se rencontrant erk un point », puisque nous projetons nos sensations à l'extérieur.

LES BASES DE LA GEOMETRIE d'eUCLIDE 89

La disposition des canaux semi-circulaires en trois plans perpendiculaires les uns aux autres a pour conséquence que lidée de Yanvlc droit nous est donnée directement. Aussi la définition de cet angle précède-t-elle chez Euclide celle des autres angles, aigu et obtus.

Il ne serait pas difficile de ramènera une origine analogue les autres définitions du premier livre d'Kuclide. La notion du cercle pourrait, par exemple, être déduite de la rotation des globes oculaires, ou, éventuellement, de notre tête et de notre corps, autour de leur axe longitudinal, au moment de la détermination de la direction ressentie.

Nous ne nous arrêterons un moment qu'à la déliniiion du point telle qu'elle a été formulée par Euclide : « Un point est ce qui ne peut ctrc itii'isJ ». On a proposé diverses autres définitions : '^ les extrémités d'une ligne se nomment points/^ (Legendrey ; '< le point est le lieu où deux lignes se coupent// (Blanchet). Ces définitions peuvent sans difficulté, après ce qlie nous venons d'exposer, être ramenées à leur origine naturelle. Cependant celle d'Euclide nous parait encore la plus exacte au point de vue physiologique. On lui a reproché d'être trop générale, et de convenir aussi à la con science, à l'intelligence ou à l'âme'. Mais, peut-être, ce reproche même fait mieux ressortir la notion qu'Euclide avait en vue en fcjrmulantsa définition : le point où toulesles sensations de direction se rencontrent est précisément la cnnscicncciiu moi [Sclhstbcu:usstcin\ qui n'admet ni division ni étendue. Ce point répond au point C) d'un système de trois coordonnées rectangulaires. C'est dans notre moi conscient ijuc se croisent les troisdirections, et c'est là qu'elles <7/.?//,<.''t-/// de si<rne, c'cst-à dire de positives deviennent //i*^4?//r<'.s'; dans la direction verticale, — le haut passe au bas; dans la transversale, — le droit passe au gauclie ; dans la sagittale, — l'avant passe- à l'arrière. Ces changements de désignation des sens de

I. Voir le dcvcloppcnicnt de ce point capital pour la p»ychololugic de Ij conscience, plus bas, ch. m, j^ s-'»-

()i) TEMPS ET ESPACE

la direction n'indiquent en etïet que la rrlation entre la direction de l'espace réel et le moi ionsi/rn/.

Les définitions d'Euclide, comme je viens de le montrer, ne sont donc point des postulats ou des liypotJicscs, mais l'expression de notions géométriques qui nous sont fournies directement par les perceptions de nos sens. Les figuresgéométriques sont des^^rjiiJi'iirs ii/rjii's J'rspJn' prrçitrs et non des corps (j^comctriijiics idéalises. HUes se présentent déjà à notre conscience comme fornws ii/ra/c's et ne proviennent pas de l'idéalisation d'expériences brutes sur des objets réels. Les tentatives, aussi nombreuses que vaines, pour prouver les axiomes d'Euclide échouèrent par suite de l'impossibilité de démontrer la légitimité d'une pareille idéalisation. Euclide lui-même basait ses définitions et axiomes (notions communes) sur des notions intuitives; il tint donc pour superflu, ou pour impossible, d'en donner la démonstration. Mais il n'était pas moins convaincu de leur exactitude. Les mathématiciens qui cherchaient la démonstration du onzième axiome le faisaient précisément parce qu'eux aussi ne doutaient pas de son exactitude absolue'. La première partie de l'axiome, que deux droites situées dans un même plan, quand elles forment avec une droite qui les coupe deux angles intérieurs moindres que deux angles droits, étant prolongées, doivent se rapprocher, demandait à peine à être prouvée. Le reproche qu'on adressait à Euclide était d'avoir ajouté, sans fournir de raisons péremptoires, que de telles droites situées dans le même plan, suffisamment prolongées, devaient se rencontrera la tin. La raison de cette nécessité se trouvait pourtant déjà dans la deuxième demande d'Euclide, laquelle, comme nous l'avons vu, est légitimée par l'origine même de notre notion de la ligne droite.

.\vec la connaissance de l'origine phvsiologique de la

1 . EutliJes ah nntni .rvo vitidicatus, tel est. par exemple, le titre de la rcmarciuablc étude de Saccheri. l'un des précurseurs de la géométrie non euclidienne.

LES BASES DE LA GEOMhTRIE D EUCLIDE 9I

notion des parallèles idéales, le onzième axiome d'Euclide aurait peut-être pu se formuler ainsi : si une ligne droite coupe deux autres lignes droites Jiou parallèles situées dans le même plan, les deux angles intérieurs que fait cette ligne droite seront inférieurs à deux droits du côté où ces deux lignes prolongées finissent par se rencontrer. Ainsi formulé, le onzième axiome serait devenu une vraie notion commune. Mais aurait-il suffi pour démontrer la proposition 20?

Les géom.ètres qui, comme Ramus, Clairaut, etc., prétendaient qu'il était inutile de chercher à démontrer ce qui était en soi parfaitement clair, partageaient l'avis d'Euclide. D'ailleurs, maintenant que nous savons que les bases naturelles de la géométrie euclidienne se trouventxians les perceptions de nos sens, les démonstrations fournies par Wallis, Lambert, Saccheri et autres^ acquièrent leur pleine et entière valeur scientifique.

A la démonstration donnée en iS/cS que nos idées des trois étendues de lespace reposent sur les sensations de direction de notre appareil de canaux semi-circulaires, s'ajoute désormais cett? autre certitude que les définitions et les axiomes les plus importants d'Euclide- ont aussi leur origine dans les fonctions de cet appareil et dans ses rapports physiologiques avec l'appareil de la vue. De tout temps, les mathématiciens considéraient la iliri-ctinn et \2i/isfanir comme les deux bases fondamentales sur lesquelles doit être édifiée la géométrie : notre démonstration vient d'établir qu'elles constituent en effet les bases naturelles de la géométrie d'Euclide.

Cette origine établit très nettement la différence essentielle entre les formes d'espace de la géométrie d'Euclide et celles de la géométrie non euclidienne. Les premières nous sont imposées par les fonctions d un organe Jcs sens aJ hoc.

f. Hn particulier, les preuves physico-géométriques de Saccheri.

a. A p.irttr de la 39* proposition, presque toute la géométrie d'Euclide

est construite sur le n» axiome.

c)2 TEMF'S i:t espac;e

L'expérience de milliers d'années a démontré leur certitude absolue. Par là même apparait la parfaite concordance des perceptions de cet organe avec les propriétés de l'espace qui nous entoure (voir s; .\).

La géométrie non euclidienne, par contre, a son origine dans de pures opérations de Wsprit. Elle ne repose que sur la négation de la valeur absolue de l'axiome des parallèles d'Huclide ou, pour employer l'expression usuelle, sur l'indépendance des formes d'espace par rapport à cet axiome. Les espaces qu'elle admet ne concordent ni avec les perceptions de nos sens, ni avec aucune de nos expériences tirées jusqu'ici de l'espace physique. C'est avec raison que Lobatchewsky l'avait dénommée la géométrie imaginaire, par opposition à la géométrie naturelle dEuclide. Ses formes d'espace sont purement transcendentales et presque inaccessibles à notre représentation. La preuve reste encore à faire qu'elles existent dans le monde réel.

Les mouvements des corps solides dans ces espaces transcendentaux peuvent être déduits analytiquement au moyen d'équations variables. Mais les formules algébriques ne peuvent pas prouver que les lois de ces mouvements trouvent leur application quelque part dans l'espace réel. La possibilité, par exemple, de la déduction des groupes qui correspondent à la géométrie de Lobatchewsky ne prouve ni que la « notion des groupes continus » nous est innée, ni que ^ l'espace (réel) est un groupe » (Poincaré).

La possibilité pour notre esprit d'imaginer des formes d'espace indépendantes du onzième axiome n'infirme donc nullement l'exactitude ou la validité de cet axiome. Par conséquent, il ne peut pas être sérieusement question d'une équivalence des deux géométries, et encore moins est-il permis de considérer la géométrie d'Euclide comme un cas spécial (Speeial/all selon Klein) d'une géométrie générale, qui ferait abstraction de l'axiome des parallèles. Le fait que les axiomes d'Euclide ont leur origine naturelle dans les

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perceptions de nos sens indique clairement que l'indépendance réciproque des axiomes (du premier livre du moins) est tout à fait illusoire.

« Si la représentation de l'espace, a dit très justement l'aurinus, l'un des précurseurs de la géométrie non euclidienne peut être considérée comme une simple forme des sens extérieurs, il est incontestable alors que le système d'Kuclide est le seul vrai. » Q.u'il en soit réellement ainsi, cela doit paraître hors conteste après la preuve établie de l'origine physiologique des définitions euclidiennes de la droite et des parallèles.

Comme je l'ai déjà dit, la géométrie d'Euclide trouve ses bases naturelles les plus importantes dans les fonctions phvsiologiques du labyrinthe de l'oreille. Mais cette géométrie ne repose pas uniquement sur des axiomes et des définitions. Depuis Pythagore, la géométrie est devenue une théorie des grandeurs ; ses propositions peuvent être vérifiées par la mesure et l'expérience. C'est ainsi que leur exactitude et leur validité pour l'espace physique accessible à nos sens ont toujours pu être pleinement confirmées, aussi bien en physique qu'en astronomie. Toute mesure exige la connaissance du nombre. Or, cette connaissance, nous la devons également aux fonctions de certaines parties de notre organe auditif Tandis que les canaux semi-circulaires nous fournissent les perceptions de trois directions des sons sur lesquelles repose notre concept d'un espace à trois dimensions ; les fonctions des autres parties de notre appareil auditif nous font connaître les nombres par les sensations de Li Juutctir des divers sons. Sur cette connaissance des nombres repose êffjlenient notre concept du temps (voir le chap. suivant), (^'est grAcc à cette connaissance du nombre que s'accomplissent dans nos centres cérébraux la distribution des forces d'innervation à nos appareils nu)teurs et celle des forces psychiques dans les centres sensibles et sensoriels! voir ch. m.

§ 6. — La solution du problkme de l'espace.

Des trois questions essentielles au problème de l'espace (voir § 3), deux ont trouvé leur solution dans le fait de ramener la géométrie d'Euclide à ses bases naturelles. L'espace euclidien^ est l'espace physiologique, c'est-à-dire que les formes géométriques dont Euclide s'occupe nous sont données par les perceptions de nos sens, spécialement du sriis ^cornet riqitc Je Vcspacc.

La troisième partie du problème, celle qui porte sur la réalité de l'espace, ne peut guère être discutée par le naturaliste ; car une réponse négative entraînerait la négation de Lexistence des organes des sens, de l'entendement humain et de celle du naturaliste lui-même. La loi de causalité est le premier fondement de toute connaissance humaine. Llle nous contraint de reconnaître l'existence d'un espace réel, sans lequel ne seraient possibles ni les mouvements des corps solides, ni , en général, les sensations quelconques.

Le pur phénoménalisme de Berkeley ne pourra jamais être professé par le naturaliste, quelle que soit l'admiration que puissent inspirer la profondeur d'esprit et l'extraordinaire habileté de ce penseur. S'il n'y avait d'autre vérité que la vcriti' psychique, tous les hommes devraient être du fncnic avis. Or, on ne trouverait peut-être pas deux métaphvsiciens qui soient complctcmoit d'accord sur n'importe quelle question théorique de la connaissance.

Ce n'est certes pas un hasard que les phvsiologistes n'aient commencé à s'intéresser au problème de l'espace que depuis que Kant, par la doctrine de la « chose en soi >/, essava de concilier le système de Berkeley avec les plus élémentaires exigences de la raison humaine. La doctrine de l'origine a priori de nos représentations de l'espace a du moins

fourni une base possible à la discussion scientifique. On a vu plus haut que Kantn'eut recoursà cette doctrine qu'après avoir reconnu 1 impossibilité de déduire de l'expérience, basée sur les perceptions des cinq sois coinius (à proprement parler même du sens de la vue;, l'existence de nos idées d'un espace à trois dimensions.

Cette impossibilité a aussi ramené à la doctrine de Kant les créateurs de la géométrie non euclidienne, bien qu'ils se déclarassent, à l'exception de M. Poincaré, partisans résolus des idées empiriques. La constatation de l'existence d'un sens déterminé, auquel nous devons les perceptions des trois directionsde l'espace, a écarté cette impossibilité. Sont innés ou pré-existants, non pas nos représentations de l'espace ou nos idées géométriques, mais les organes qui nous fournissent ces représentations. Les animaux emploient les perceptions des trois directions de l'espace à orienter leurs mouvements et à localiser les objets extérieurs dans l'espace visuel ou tactile. L'homme s'en sert en outre pour la représentation des trois étendues de l'espace et des trois dimensions des corps solides. Sur le système des trois coordonnées rectangulaires, formé par les sensations des trois canaux semi-circulaires disposés dans trois plans perpendiculaires les uns aux autres, l'homme transporte les sensations de ses autres organes des sens (voir ch m, ii s).

(k's mois de Kant : '^ l'espace n'est pas autre chose que la fornu' de tous les phénomènes de nos sens extérieurs >*, n'ont plus de valeur dans le sens strict des termes. Au point de vue physiologique, la pensée de Kant devrait être formulée : les propriétés de l'espace nous sont données par la (//M///t'' des perceptions du sens de l'espace. Lorganis.itioii phvsii/iit', que Ilelmholtz présupposait pour expliquer l'idée nécessaire d un espace à trois étendues, est basée non seulement sur les fonctions de lappareil [périphérique des canaux, mais aussi sur l'aptitude des centres cérébraux. auxquels aboutissent les nerfs spatiaux, à percevoir les exci-

1)6 TFMI'S HT F.SPACF

talions de ces derniers sous la fornw de directions de trois qualités différentes.

Les trois directions de l'espace perçues correspondent-elles à trois i'tohiiics réelles Jr /\-spiU\' cxUriciir, et les trois dimensions sont-elles despropn'r/i's rcclli'S Jcs corps solides? La structure anatomique des canaux et leur position respective indiquent réellement dans cet organe des sens une grande concordance entre la nature de nos perceptions et les propriétés de la '< chose en soi ». Ueberweg, qui ne connaissait pourtant pas l'existence de l'organe du sens de l'espace, pressentait déjà la nécessité dune telle concordance entre nos sensations d'espace et les propriétés de l'espace extérieur. <' Si ces dernières étaient sujettes à d'autres lois que celles que nous pouvons tirer de la nature même de nos perceptions géométriques de l'espace, nous pourrions bien édifier une géométrie piirr, harmonique en elle-même, mais non une géométrie appliquer, et surtout nous ne pourrions pas donner une explication géométrique des phénomènes physiques. » Comment, en effet, toutes les mensurations physiques et astronomiques exécutées jusqu'à ce jour auraient-elles pu confirmer les lois de la géométrie d'Luclide, si nos perceptions des trois directions de l'espace ne correspondaient pas à des propriétés réelles de l'espace véritable ?

Cet espace n'a-t-il que trois étendues, ou ce nombre' trois tient-il aux limites de l'organisation de notre labyrinthe? Des êtres possédant un système de quatre paires de canaux pourraient-ils avoir la représenta /ion d'une quatrième étendue de l'espace (non des corps solides) ? Dans l'état actuel de la science, comme nous venons de le montrer au paragraphe précédent, il nous parait impossible de l'affirmer. Ainsi que la dit très justement Krause : « Au caractère de la notion d'espace <v>;;/W''i7ri7/// trois iiireetio}is perpendiculaires les unes aux autres, une méthode algébrique traitant d'une quatrième direction ne changerait absolument rien. //

D'autre part, nous ne voyons aussi qu'un nombre limité

de vibrations d'éther d une longueur d'onde déterminée et nous H entendons que des vibrations aériennes de quelques octaves. Malgré cela, nows connaissons des vibrations d'éther et d'air qui ne peuvent exciter ni notre rétine ni nos nerfs auditifs. Xous pouvons bien enle/uire les ondes hertziennes invisibles et voir, grâce à R. Konig, plusieurs octaves insaisissables pour l'oreille. L'hypothèse de Newcomb suppose que les lois des mouvements dans la quatrième" dimension sont valables pour les mouvements des molécules. Cette hypothèse serait-elle confirmée un jour, au moins pour les vibrations qui provoquent des phénomènes psychiques? La confirmation de cette hypothèse serait un triomphe éclatant pour Riemann, qui, dans sa thèse célèbre, prédisait que les rapports métriques de l'espace Jiins r infiniment petit seraient conformes aux propositions de sa géométrie. L'invraisemblable ne doit pas effaroucher le naturaliste. La plupart des découvertes des quarante ou cinquante dernières années paraissent aussi inattendues qu'invraisemblables : c'est même pourquoi, comme nous le verrons plus loin, l'expérience les a confirmées.

Dh Cyom.