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- sont ceux dont les travaux, en dehors des applications d'ordre pratique, sont le plus inaccessibles au grand public, et il a fallu, dans une séance récente de l’Académie française, tout le talent et tout l'esprit de deux écrivains célèbres rendant un dernier = hommage à Henri Poincaré, pour charmer un élégant auditoire avec les fonctions fuchsiennes et les groupes discontinus.

__ Quelle idée l’honnête homme de notre époque doit-il se former des mathématiques ? Les mathématiciens sont-ils nécessaire- - ment des gens perdus dans leurs symboles loin de toute réalité ? Dans des temps très lointains, les mathématiques ont eu un caractère expérimental. Les notions géométriques et les notions physiques les plus simples, étroitement mélées les unes aux … autres, dérivèrent alors des observations et des expériences E— originelles qui ont provoqué le développement de l'intelligence humaine. Nous retrouvons ce caractère même aux temps histo-

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(!} Notice lue en la séance publique annuelle de l’Académie des Sciences, le 10 décembre 1917.

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riques. On savait à Babylone que le côté de l'hexagone régulier est égal au rayon; c'était là un fait d'observation. Les arpenteurs de la vallée du Nil connaissaient de la même manière le théorème du carré de l'hypoténuse, et s’en servaient pour élever

des perpendiculaires. Avec les géomètres grecs, nous paraissons .

entrer dans le domaine de la pure logique, où la déduction travaille sur des concepts lentement élaborés dans les âges antérieurs. Sans nous demander si cette logique ne serait autre chose que le résultat d’une adaptation poursuivie pendant de longs millénaires, il convient de remarquer que, dans l'antiquité, la géométrie classique, envisageant des objets rationnellement construits, ne perd pas contact avec l'intuition spatiale dont elle. tire ses conceptions. Aussi l'instrument mathématique a-t-il été tout naturellement utilisé, à travers les âges, dans l’étude du monde physique. Fontenelle raconte que, peu après la fonda-

tion de notre Académie, on mit d’abord en délibération si les

deux sociétés des géomètres et des physiciens demeureraient séparées ou n’en feraient qu'une. « Presque toutes les voix, dit-il, allèrent à les mettre ensemble, La géométrie et la physique sont trop unies par elles-mêmes et trop dépendantes du secours l’une de l’autre. La géométrie n’a presque aucune utilité si elle n’est appliquée à la physique, et la physique n’ade solidité qu'autant qu’elle est fondée sur la géométrie. » Plus tard, nos grands géomètres physiciens de la première moitié du siècle dernier expriment la même pensée. Pour Fourier, pour Lamé, l'étude approfondie de la nature est la source la plus féconde des découvertes mathématiques. Dans notre vision actuelle dw monde, l'analyse mathématique est un instrument indispensable aux progrès des théories physiques, offrant aux physiciens des moules pour leurs vues théoriques; en échange, . les physiciens rendent aux mathématiciens un service d’un haut

prix, en les guidant dans l’infinie variété des formes que conçoit -

notre esprit et les empêchant à certaines heures d’errer à l’aventure. De ce point de vue, la mathématique n’est plus la science étrange et mystérieuse que se représentent tant de gens; elle est une pièce essentielle dans l’édification de la philosophie naturelle.

Le xvrre et le xvirre siècle virent presque toujours les mathématiques et leurs applications cultivées par les mêmes savants. Il devait arriver un moment où des spécialisations s’établiraient ;

l End à des formes et des aies abstraites est Rs en - lui-même un sujet d’études, avec lequel l'esprit humain a édifié

un édifice immense qui s'accroît chaque jour. Il s’en faut que des questions se rattachant à la mécanique ou à la physique

la théorie pure, les exigences logiques ont singulièrement grandi

soient, nedoivent cependant pas faire oublier que la logique ne a suffit pas en mathématiques. Le géomètre n’est pas seulement un logicien, il est aussi un artiste. N’en déplaise à Pascal, la finesse lui est aussi nécessaire que l’ordre et la rectitude dans Je raisonnement, et, sans imagination, il n’y a pas d'esprit d'invention. Les mathématiques ont une valeur à la fois scien- tifique et artistique, et l’on sait que le mot élégance revient souvent sur les lèvres des mathématiciens. Si éloignées de la . pratique que soient beaucoup des spéculations auxquelles ils se = livrent, on voit, là comme ailleurs, le beau et l’utile se rejoindre parfois, et des théories, ne paraissant d’abord susceptibles . d'aucune application, ont été ensuite utilisées dans les sciences de la nature. Cette sorte d'harmonie pré éétablie à surpris quelques-uns, qui ont admiré la merveilleuse correspondance … entre les mathématiques abstraites et les diverses parties de là physique. L’étonnement a été moindre pour d’autres qui ont 4 - vu là le résultat de l'empreinte laissée par les choses sur | l'intelligence humaine.

| Dans les temps modernes, notre pays a eu une succession ei ininterrompue de grands mathématiciens. Depuis le début de ce siècle, nous avons perdu trois de nos contemporains, qui honoraïent grandement les mathématiques françaises : Hermite, … dont les admirables travaux ont ouvert des voies nouvelles dans | | l'algèbre et la théorie des nombres; Henri Poincaré, si préma- - turément enlevé, qui cultivait avec un incomparable éclat | toutes les parties des sciences physico-mathématiques ; et enfin Gaston Darboux, disparu il y a quelques mois, laissant après lui une œuvre considérable. En prenant pour la première fois la | parole dans cette enceinte, je considère comme un devoir de … retracer la carrière du savant illustre, qui était un de nos doyens, et que l’Académie avait choisi, il y a dix-sept ans, comme secrétaire perpétuel pour les sciences mathématiques.

- soient l'unique objet des méditations des mathématiciens. Dans

… depuis un siècle. Mais ces constatations, si importantes qu’elles

Gaston Darboux est né à Nîmes, le 13 août 1842, dans une petite maison de la rue Saint-Castor, enclavée dans-la cathé-

drale. Ses parents tenaient un magasin de mercerie. Notre

confrère perdit son père de très bonne heure : c'était un homme

instruit, aimant la lecture, mais ayant, semble-t-il, peu de goût pour le ecommerce. La mère de Darboux était l'âme de la maison.

Intelligente et autoritaire, elle sut très bien conduire ses affaires. Elle avait une facilité prodigieuse pour le calcul. « Je ne crois pas, nous dit un de ses neveux, qu’elle eût des livres de commerce, mais elle avait dans la tête tous les chiffres nécessaires, et elle conserva jusqu’à plus de 80 ans, une mémoire étonnante pour les nombres. » Peut-être la facilité de sà mère pour les

opérations arithmétiques eut-elle quelque influence sur letalent …

mathématique de Darboux, exemple, entre bien d° autres, d'une certaine ressemblance intellectuelle entre une mère et son fils. Mme Darboux mit de bonne heure dans une institution pro-

testante de la ville, et ensuite au Lycée, son fils aîné Gaston et

son second fils Louis, qui devait devenir plus tard proviseur du Lycée de Nîmes. La vie était dure alors dans les collèges. Les deux frères, demi-pensionnaires, arrivaient le matin à 6h et ne sortaient qu'à 8! du soir. Ils travaillaient d’une manière assez fantaisiste, étudiant ce qui leur plaisait. Aussi se trouvat-il un fonctionnaire du Lycée pour conseiller à Mme Darboux d'économiser son argent et de mettre ses enfants dans le commerce, car, lui disait-il, « ils ne réussiront pas dans leurs études et n’arriveront à rien ». Mais Mme Darboux, dont la finesse avait su juger l'intelligence de ses fils, ne crut pas à cette prophétie; elle les réprimanda sévèrement et les fit continuer leurs classes.

Les jeunes Darboux étaient d’ailleurs très attachés à leur mère

et l’aidaient le soir dans son commerce à leur retour du Lycée.

Gaston Darboux se prépara au baccalauréat ès sciences, et ses aptitudes mathématiques ne tardèrent pas à se manifester. Une fois bachelier, il quitta Nîmes pour suivre au Lycée de Montpellier la classe de mathématiques spéciales. Pendant sa seconde année d’études, sa supériorité apparut d'une manière éclatante. Son professeur, Charles Berger, n’était pas seulement “un maître dévoué, mais son éruüdition SRE lui permettait

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nie estime; quelquefois. aussi, il le chargeait de faire le cours à sa . Le souvenir de en est resté très vif chez ses

cheveux ee PEER un peu le masque F Bonaparte jeune. - C'était un travailleur acharné, dont l’ardeur utilisait souvent pour. ses études jusqu'aux récréations et faisait même craindre pour sa santé. » En 1861, Darboux se présenta simultanément à l'École normale et à à l'École sagem Quand le jury

dérvanda aux examinateurs si l’on ouais prévoir ia serait | le premier reçu. On lui cita le nom d'un élève de Paris. « Non, dit M. Berger, le premier sera Darboux, que vous allez inter- - roger. » Le propos eût pu être imprudent avec tout autre can- didat, mais le professeur connaissait son élève, et Darboux fut En le premier; il avait, quelques semaines après, le même | rang au concours de l’École normale.

- Ce succès sans précédent fit grand bruit dans le Midi. Les 2 journaux de la région en parlèrent longuement, et les person- = nages importants de Nîmes se succédèrent dans la petite maison de larue Saint-Castor, pour féliciter la mère justement fière de son fils. Ce double triomphe fut pour le Lycée de Montpellier le point de départ d'une nouvelle prospérité. A cette occasion, M. Berger fut décoré à titre exceptionnel; il devint, quelques années après, proviseur dans la maison où il avait longtemps enseigné.

D Darboux avait montré de bonne heure des aptitudes remarquables pour l’enseignement. En arrivant à Paris au mois d'octobre 1861, il était probablement décidé à entrer à l'École normale. Cependant Pasteur, alors administrateur de l'École et directeur des études scientifiques, se méfiait des conseils qui pouvaient être donnés au premier de la liste polytechnicienne, Nous pouvons le dire aujourd’hui, ces temps sont bien lointains et certaines rivalités d'écoles n'’intéressent plus que l'histoire : Pasteur n'aimait pas l'École polytechnique. I jui reprochait

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et dans l’autre. Beaucoup viennent à nous cependant, et des meilleurs, tous ceux par exemple qui ont une vocation décidée pour l’enseignement et les sciences pures dans ce qu’elles ont de plus élevé. Quelle perspective pourra désormais les attirer à l’École normale, s’ils voient que l’École polytechnique, en leur ouvrant toutes les carrières dont elle a le monopolé, con-. duit en outre aux plus hautes chaïires de l’enseignement, sans la garantie d'un talent éprouvé, et de préférence aux premiers d’entre les élèves de l’École normale. » Peu de jours avant la rentrée, Darboux n’a pas encore fait connaître sa décision. Le 19 octobre 1861, Pasteur inquiet écrit à Nisard, chargé, à titre d’inspecteur général, de la haute direction de l’école : . « C’est un succès unique que celui de M. Darboux, dans l’histoire des concours des deux Écoles. Quel sera son choix ? Il a le goût de l’enseignement et veut embrasser la carrière des sciences. J'ai employé tous mes soins pour qu'il soit maintenu dans ces bonnes dispositions, en assurant M. Berger, son professeur, que si M. Darboux entrait à l'École normale, les plus vives sym-. pathies l'y suivraient et ne l’abandonneraient pas à sa sortie, mais je sais que du côté de l’École polytechnique les plus actives. sollicitations l’environnent chaque jour. Et malheureusement, ” si nous pouvons en toute sincérité affirmer qu’un sujet d'une : aussi rare distinction, ayant le goût de l’enseignement, est mieux placé à l’École normale et qu’il y fera des progrès incom- : parablement plus rapides, nous ne pouvons nous dissimuler que: certaines carrières de l'École polytechnique offrent aux jeunes … gens et à leurs familles un éclat que n’ont pas les modestes fonctions de l’enseignement... Quoi qu'il en soit, essayons de l'em-. porter dans cette occasion sur notre rivale. »

Les élèves de la section des sciences de l’École normale ne pouvaient alors suivre au dehors, pendant les deux premières … ‘années, que les cours classiques de la licence. Pasteur espère . être agréable à celui qu’il veut attirer, en proposant de l’autoriser, par mesure exceptionnelle, à suivre un des cours de mathé- . matiques supérieures du Collège de France ou de la Sorbonne, | dès son entrée à l’École, et il prie le Ministre d'écrire à Darboux dans ce sens, ajoutant comme conclusion : « Ce que j'ai appris: * de M. Darboux me porte à penser qu’il n’est pas moins distingué

par les qualités du cœur que par celles de l'intelligence. Il saura M

reconnaître ce haut témoignage d'intérêt. » Je ne sais dans

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quelle mesure la lettre, qu'il reçut du Ministre, influa sur la : : “décision de Darboux. Trois jours avant la rentrée, il optait pour l'École normale, où il devait avoir pour camarade de promo- È tion notre confrère M. Violle, notre correspondant Charles y André, qui fut directeur de l'Observatoire de Lyon, et Édouard rues. habile à à résoudre de curieux problèmes sur les nombres.

- Le rs de Darboux fut diversement jugé. Il paraît que » “Nîmes se divisa en deux camps, beaucoup ne comprenant pas que leur compatriote n'entrât pas à l'École polytechnique, où il aurait eu un si beau costume, et où l’attendait un avenir si brillant. La presse parisienne elle-même s’occupa du jeune . normälien; le Journal des Débats profita de la circonstance pour adresser quelques critiques à l’administration universitaire, par la plume spirituelle de J.-J. Weïss, qui pensait d’ailleurs plusà la section littéraire de l’École qu’à la section scientifique. «M: Nisard, écrivait le brillant journaliste, tire grand orgueil - d’un jeune homme qu’il dit d’un rare savoir et de la plus haute É; espérance, et qui, reçu à l'École normale et à l’École polytech- * nique, a opté pour l’École normale. Cet accident singulier a — surpris tout le monde, et M. Nisard plus que personne. L'homme de goût et d'esprit qui dirige l’École normale n’en est pas à ignorer ce que deviennent depuis dix ans dans l’Université les … gens d'un rare savoir et de la plus haute espérance. Pour ce qui … est de nous, faut-il l'avouer, nous ne partageons pas l’étonnement général. Le jeune homme, dont parle M. Nisard, est sans … doute un mathématicien exact, qui ne se paye pas de vaines … apparences. Nous supposons qu’il a ouvert un dictionnaire de . la langue française au mot « Polytechnie »; il y a lu « Polytechnie, qui embrasse tous les arts », et, en regardant autour de lui, il a découvert qu'il n’y a rien de plus polytechnique que l’École - normale. Celle-ci est en effet un établissement situé rue d'Ulm = qui prépare à toutes les carrières, sans en excepter le profes- & - Sorat. Parmi ceux qui, vers 1847, y lisaient Voltaire et Cicéron, on compte aujourd'hui deux médecins, un fabricant de conserves Pinentires un chef de service des Messageries maritimes, deux - membres du corps de la marine, un vérificateur de la ville de - Paris, deux colons, un vaudevilliste, un père jésuite, un orato-

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rien, des journalistes, etc.» Et Weiss continuait, en demandant : « D'où vient qu’à présent un homme distingué, s’il a passé. par l’École normale, peut prétendre à tout, sauf peut-être au Collège de France et à la Sorbonne ? » Malgré leurs exagérations, ces lignes, qui montraient la nécessité de certaines réformes dans l'enseignement public, ne durent pas déplaire à Pasteur. Le bruit fait pendant quelques jours autour de son nom laissait Darboux indifférent. Il était d’une grande modestie, et un peu timide dans ce milieu parisien si nouveau pour lui. Dès son entrée à l’École, il passe à la bibliothèque une partie de ses récréations, et sa principale distraction est d’aller entendre les concerts, que des camarades artistes donnent dans les salles de conférences. Il aimait la musique; doué d’une excellente mémoire musicale, il pouvait redire encore dans sa vieillesse les chants du mois de Marie, qu’il avait entendus de son lit d “enfant le soir avant de s'endormir.

Darboux est vite apprécié par ses maîtres, Bertrand, Puiseux, Briot, qui le signalent comme un élève hors ligne. Non moins . que ses collègues de mathématiques, Henri Sainte-Claire Deville vante son intelligence. En physique, Verdet le note comme faisant preuve d'une rare aptitude pour la physique mathématique. De tous les maîtres de Darboux, Bertrand eut sur lui le plus d'influence ; une même finesse d'esprit et le goût des mêmes problèmes les rapprochaient. Dès sa seconde année d’École, le jeune normalien avait commencé des travaux personnels, et, malgré le souci de la préparation à l'agrégation, présentait à l’Académie, avant la fin de sa troisième année, une note sur les surfaces orthogonales. Ce coup d'essai était un coup de maître. Grande fut la satisfaction de Pasteur, qui écrivait dans un rap-. port sur Darboux : « Travail, conduite, distinction d'esprit, de 3 caractère, de tenue, rien ne laisse à désirer. L'esprit d'invention 5 était la seule qualité dont il fallait attendre la révélation chez ce jeune maître. Or, il en a témoigné récemment par un travail très remarquable présenté à l’Académie et par diverses notes remises à ses professeurs. Il faut absolurnent qu'il reste à Paris. » En 1858, Pasteur avait fait créer les emplois d'agrégés préparateurs, qui permettaient aux jeunes agrégés les plus distingués de continuer leurs études pendant quelques années sans aucun souci professionnel, et de s’essayer à des recherches personnelles. De nombreuses vocations scientifiques se sont ainsi

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dans ce poste, après avoir été reçu le premier à l'agrégation put ainsi développer à loisir les résultats qu'il avait ur les surfaces orthogonales. Ce fut le sujet de sa thèse de doctorat soutenue en 1866. Elle fut imprimée dans les de £ École normale rase Pasteur avait fondé ce

PA Mascart sur rie spectre ultraviolet, d'Hermite sur les ue doubles, de Darboux sur les surfaces orthogonales. C'était un brillant début pour les Annales qui n’ont pas cessé de répondre : aux espérances de son fondateur. Quand la nécessité de journaux spécialisés eut amené leur transformation, elles . sont devenues et sont restées un des plus importants périodiques consacrés aux sciences mathématiques. On ne saurait être trop

SES à Pasteur des services qu” il a, par d'heureuses

ss deux systèmes fes de surfaces orthogonales soient brthe: gonaux à un troisième système, il faut et il suffit que les lignes

SM PRES 4 J cf d'intersection des surfaces des deux systèmes soient des lignes É de courbure de ces surfaces. La recherche de systèmes orthogonaux présente de grandes difficultés. Un géomètre illustre avait cru que, étant donnée une série de surfaces dépendant d’un paramètre arbitraire, il existe deux nouvelles séries qui, avec la première forment un système triplement orthogona]. Dans une note mémorable, Bouquet avait montré, sur un exemple particulier, qu’il n’en était rien. Ainsi, en égalant à une constante arbitraire une fonction des coordonnées, celle-ci ne peut être quelconque si la famille de surfaces ainsi obtenue fait partie d’un système triple orthogonal. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant que cette fonction des trois coordonnées satisfasse à une équation aux dérivées partielles du troisième ordre. Tel est le résultat remarquable obtenu par Darboux, qui fixe entièrement le degré de généralité du problème. Il serait injuste d'oublier que, deux ans auparavant, Bonnet avait rencontré dans cette théorie une équation du troisième ordre, où figuraient d’autres variables, mais son analyse : . conduisait à une équation nécessaire qui n'apparaissait pas nettement comme suffisante. Pour rappeler les admirables travaux de Lamé sur les coordonnées curvilignes, Darboux a donné le nom de Surfaces de Lamé aux familles de surfaces faisant partie d’un système triple orthogonal. Dans la note qu'il avait présentée à l'Académie, étant encore élève à l’École normale, il avait découvert un système de Lamé, formé de cyclides, c'està-dire de surfaces du quatrième degré ayant pour ligne double le cercle imaginaire de l'infini. Il en continue dans sa thèse l'étude extrêmement intéressante. L'intégration de l'équation du troisième ordre signalée par Darboux surpasse encore aujourd’hui les forces de l’analyse. Depuis longtemps, les géomètres ont cherché des systèmes de Lamé répondant à certaines conditions supplémentaires. Dans ces études, des termes empruntés à la physique reviennent constamment. On dit qu'une famille de surfaces est isotherme quand, un équilibre calorifique étant supposé établi, la température sur chaque surface de la famille est constante. Lamé avait montré que, à l'exception des 3 cylindres et des cônes, les seuls systèmes à la fois orthogonaux et isothermes sont formés de surfaces du second ordre. Le système des cyclides n’est pas isotherme, mais les lignes de courbure forment sur chaque surface un réseau isotherme; il est

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: isothermique suivant l'expression de Darboux, qui montre de ; plus qu’il n'y à pas d’autres systèmes orthogonaux possédant cette propriété, en dehors des cylindres et des surfaces de révo- Jution. Il y a grand intérêt à avoir des exemples effectifs de sys- . tèmes de Lamé ayant un grand degré de généralité: Darboux

en donne des exemples étendus.

J'ai insisté sur la thèse de Darboux. C’est qu'elle traite de questions dont il s'occupera pendant toute sa vie, et l’on y trouve le souci de l'élégance et de la perfection qui caractérise-

& ront son œuvre scientifique. L'étude des propriétés infinitési- . males des courbes et des surfaces ne cessera d’être l’objet de ses

méditations. Il prenait rang, par ce remarquable travail de

début, parmi les successeurs de Monge, de Meusnier et d’Euler,

et de leurs éminents continuateurs en France, Dupin, Lamé Liouville, Bertrand et Bonnet. En même temps, il montrait une véritable maîtrise dans ce qu’on appelle quelquefois la

géométrie algébrique, c'est-à-dire la géométrie analytique des

courbes et surfaces algébriques.

Après cette brillante soutenance, Bertrand, voulant donner

à son élève un témoignage d’estime, le chargea en 1866 de sa . suppléance au Collège de France. Ce fut pour le jeune docteur

l'occasion d'exposer, avec les principes de la théorie analytique

de la chaleur, ses recherches personnelles sur les surfaces 1so-

thermes et isothermiques. À la fin de 1867, Darboux était nommé professeur de mathématiques spéciales au Lycée Louis-

. le-Grand. Il avait, bien jeune encore, la responsabilité d’une classé importante, où son prédécesseur Bouquet laissait le

souvenir d'un maître excellent. Le nouveau professeur sut

. prendre de suite une grande autorité. Son enseignement avait,

au témoignage de ceux qui l'ont entendu, une forme très per-

. sonnelle; dans sa classe, le souci de l'examen prochain ne hantait pas sans cesse les élèves, ce qui n’empêchait pas ceux-ci de rem-

porter de brillants succès dans nos grandes écoles. En ce temps-

- à d’ailleurs, les programmes étaient moins chargés, et l’on se

fiait davantage à l'intuition dans l’exposition des principes, sans se soucier, comme disait Hermite, des raffinements de

rigueur rebutant pour de jeunes esprits qui n'en peuvent com- prendre la portée. Un professeur, comme Darboux, dominant - de haut son sujet, avait le loisir d'exercer une véritable influence - sur le développement intellectuel de ses élèves, en excitant leur

LED Se intérêt par des choses simples et belles. « Nous travaillions avec entrain, écrit un de ses auditeurs de 1871, M. Lucien Lévy, sans nous rappeler que nous avions de sérieux examens à préparer, et sans même savoir les noms des examinateurs. » Développer l'intelligence, et non préparer des examens : telle devrait être la devise de toutes les classes de l’enseignement secondaire. Il s'en faut qu'il en soit ainsi aujourd’hui. La faute n’en'est pas aux maîtres excellents et dévoués qui ne manquent pas, mais

aux programmes et à la forme des examens terminant les

études classiques. En ce qui concerne les mathématiques, l’admirable enchaînement de leurs déductions, le sentiment.

esthétique qu'elles développent, en feront toujours un élément important dans une culture générale de l'esprit.

Darboux aimait l’enseignement; il a dit souvent combien …

cette classe de mathématiques spéciales l'avait intéressé. C'était

pour lui un plaisir de chercher des exercices pour ses élèves

dans les mémoires originaux. Il eut toujours du goût pour les théorèmes élégants, d’un énoncé simple, qui se rencontrent fréquemment dans l'étude des courbes algébriques. En ce moment même, il étudiait une classe remarquable de courbes et de surfaces du quatrième degré, et les imaginaires jouaient un

rôle essentiel dans ses recherches. L'introduction de ces élé-

ments en géométrie était due à Poncelet et à Chasles. Ainsi on

disait, depuis Poncelet, que toutes les circonférences" d’un plan

passent par deux points fixes qui sont imaginaires et à l'infini, et que deux circonférences concentriques sont doublement tangentes en ces points. On exprime ainsi sans doute des faits analytiques, mais ce langage est fécond au point de vue géométrique. Nul n’a mieux que Darboux montré l’importance de l'introduction des éléments imaginaires, non seulement dans la géométrie algébrique, mais aussi en géométrie infinitésimale. L'ouvrage publié en 1873 Sur une classe remarquable de cour bes et de surjaces algébriques et la théorie des imaginaires est d’une grande richesse. Ce beau livre est plein d'idées et de faits. Certaines digressions ont une haute valeur. Un des problèmes fondamentaux de la géométrie infinitésimale est celui des surfaces applicables les unes sur les autres. Darboux retrouve, par une méthode nouvelle et extrêmement simple, cet important résultat, que la recherche de toutes les surfaces applicables sur une surface donnée revient à l'intégration d’une équation aux

5 Fe on peut fire bande tout l’espace non euclidien à l’inté-

rieur d’une quadrique convexe située dans un espace euclidien, = Esles distances et les angles s'exprimant à l’aide de certains rap- E ports anharmoniques. Une remarquable transformation permit É à Darboux de substituer à la correspondance de Cayley une j __ interprétation dans laquelle l’espace entier non euclidien cor- En au demi-espace euclidien situé du même côté d’un plan, les géodésiques étant des arcs de circonférences normaux à ce : plan. Henri Poincaré, sans connaître la remarque de Darboux, er 5 employé, longtemps après, cette représentation dans ses recherches sur les groupes discontinus. Il l’a aussi utilisée dans ses études philosophiques sur les principes de la géométrie. Il voyait dans cette correspondance une sorte de dictionnaire permettant de passer de la géométrie non euclidienne à la géo- - - métrie euclidienne, et il en tirait la conclusion que cette der- Re | nière géométrie est seulement la plus commode, mot qui revient SET souvent dans ses écrits; je ne peux d’ailleurs adhérer, pour Ë : ne à ce nominalisme, car il isole les notions géométriques de l'ensemble des autres notions auxquelles nous a conduits le monde extérieur, oubliant que la géométrie fit jadis partie de ln physique.

Les problèmes de géométrie infinitésimale conduisent souvent : A des équations aux dérivées partielles. L'intégration de ces équations est un des problèmes les plus difficiles de l'analyse. Au xvirre siècle, d’Alembert donna la solution générale de l’équa-

tion célèbre des cordes vibrantes, qui régit aussi le mouvement . de l'air dans un tuyau sonore; les noms de Monge et d'Ampère — sont liés ensuite à l’histoire de l'intégration des équations aux ÉArivées partielles du second ordre. Pendant de longues années = après les recherches de ces deux grands géomètres, aucun

progrès réel ne fut réalisé dans cette théorie. En 1870, Darboux = fit connaître une méthode extrêmement importante qui allait bien au delà des recherches antérieures. Le champ des équa- tions intégrales fut considérablement agrandi, comprenant en

Sr pérapiere bb