Divisibilité des polynomes entiers a plusieurs variables

DU BUUEAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai des Grands-A.ugustins, 55.

m\ LA DIVISIBILITE DES POLYiXOMES Ei\riËRS A PLUSIEURS VARIABLES;

Par m. Ch. MÉRAY.

1. A}anl été ramené à cette théorie, il y a une vingtaine d'années, par le besoin accidentel de l'iin de ses points [le théorème du n" 10, III (in/.)^, je ne l'ai vue nulle part traitée d'une manière tout à fait satisfaisante, et j'ai aperçu le principe de l'exposition que j'en vais présenter.

On saisira facilement l'esprit général de la méthode en remarquant à chaque pas, qu'elle consiste dans la combinaison des procédés propres au cas d'une seule variable, opérée par voie de récurrence, c'està-dire par la réduction d'un cas quelconque à un autre où le degré d'une variable au moins s'est abaissé dans l'un au moins des polynômes à manier, sans s'élever dans tes autres.

Je représenterai par

les variables indépendantes qui, en nombre fixe A, seront exclusivement engagées, en totalité ou en partie seulement, dans les polynômes dont je parlerai, et je commence par rappeler et préciser certains faits préliminaires.

I. \]n monôme (entier) en (i) est une expression formée en prenant quelque produit de puissances de

ces variables, à exposants entiers, positifs ou nuls,

puis celui

c s'^ t'' . . . VT'x^yn . . . w'\

du précédent, par quelque coefficient constant c.

On ordonne ce monôme par rapport à un groupe donné de ses variables,

dites alors ordonnatrices, en l'écrivant

(cs'^tT: .. . v9).»:^y^i . . . w'^,

c'est-à-dire en le considérant comme (orme par la multiplication de ses facteurs en (2) seulement et du produit de son coefficient par ceux en

seulement, produit qui, à ce point de vue, lui constitue un nouveau coefficient ne dépendant plus des variables ordonnatrices.

Par rapport aux variables (2), deux monômes sont semblables si, dans l'un et dans l'autre, elles portent des exposants respectivement égaux. Autrement, ils sont dissemblables.

Quand le groupe (2) comprend la totalité (i) des variables de la question, la relativité de cette similitude n'est pas mentionnée.

II. Un polynôme (entier) en (1) se forme en prenant un seul monôme à la rigueur, ou, habituellement, la somme de plusieurs dissemblables deux à deux (I), qui soit ses termes, et dont les coefficients gardent ce nom pour cette nouvelle expression.

On ordonne un polynôme par rapport aux variables d'un groupe tel que (2), en ordonnant ainsi ses divers termes (1); en sommant, avec chacun d'eux, tous ceux qui lui sont semblables relativement au même groupe, puis en faisant l'addition de toutes ces sommes. On obtient ainsi un polynôme en (2), ayant pour nouveaux coefficients des polynômes en (3), et, dans leur ensemble, les coefficients proprement dits de ces derniers polynômes se confondent avec ceux mêmes du proposé.

III. Par rapport à un groupe de variables tel que (2), le degré apparent d'un polynôme est le nombre obtenu en formant, pour chaque terme, la somme des exposants portés par ces variables seulement, et prenant la plus grande valeur de ces diverses sommes.

Son degré effectif est le résultat de la même opération exécutée sur ceux seulement de ses termes dont les coefficients sont ^ o. C'est lui que désigne toujours le mot degré employé seul, sauf mention qu'il s'agit de l'autre.

Quand le degré (effectif) est nul, le polynôme, sans cesser de dépendre nominalement des variables (2), n'en dépend pas en réalité; car, afFectées des exposants 0,0, ..., o dans les termes à coefficients ^ o, ces variables n'y introduisent que les facteurs constants I, I, ..., I, et les autres termes ont la valeur constante o, quelles que soient celles des leurs. Nous dirons alors que le polynôme est déchevêtré des variables (2) en question.

Il en est enchevêtré si chacune d'elles porte un exposant >■ o dans quelque terme pourvu d'un coefficient =zf: O.

Dans ces diverses dénominations, la mention de

relativité s'omet habituellement, quand le groupe considéré embrasse la totalité (i) des variables de la question.

IV. Un polynôme est identiquement nul, ou non, selon que ses coefficients sont, numériquement, tous nuls, ou non.

Si tous les coefficients sont nuls, il est évident que le polynôme n'a jamais que la valeur o.

Sinon, soient un polynôme enchevêtré de la seule variable x (IH) et cj^xl^ son terme de moindre degré pi parmi ceux dont les coefficients sont ^ o. La valeur du polynôme pouvant s'écrire (c^^-\- 1) x\^, où celle de £ peut devenir aussi petite qu'on le veut, moyennant l'attribution à x d'une valeur suffisamment petite quoique non nulle, on peut ainsi rendre e numériquement < t[x, rendre non nulles en conséquence les valeurs des deux facteurs et cette expression, simultanément, celle par suite de leur produit, c'est-à-dire de l'expression elle-même. Le polynôme considéré n'est donc pas nul identiquement.

S'il s'agit d'un polynôme enchevêtré de deux variables a:, y seulement, soit c^^^x^y^ un de ses termes à coefficient ^ o, et (. . . -j- c^^^yX\^-\-. . .)jK^ son terme en y dans le résultat de son ordination par rapport à y (II). D'après ce qui vient d'être constaté, et, comme le polynôme en x seulement, . . . -\-c^^^x^-+- . . . , n'est pas nid identiquement, parce que le coefficient CjA^v de son terme laissé en évidence ne l'est pas numériquement, on peut assigner à x une valeur a' qui rend la sienne, S'v, y^o. Poura7 = ^', lepolynome proposé se particularise en ... 4-S^y^-f- . . ., polynôme en y seulement dont le terme mis en évidence a un coefficient ^ o, auquel, en conséquence, et par

( 5) une nouvelle application de ce qui précède, on peut faire prendre quelque valeur ^o. Le proposé n'est donc pas nul identiquement.

De là, on passe semblablement aux polynômes enchevêtrés de 3 variables, puis de 4? 5, . . . , etc.

Pour abréger, nous dirons un poljnome nul ou nonnul, selon que ses coefficients seront tous nuls, ou non. Sauf mention du contraire, un poljnome est toujours sous-enlendu non-nul, et, le plus souvent, émondé de ses termes nuls (qui sont sans intluence sur sa valeur numérique).

V. Le produit de plusieurs polynômes est nul (IV) quand l'un au moins des facteurs est tel, mais nonnul quand aucun d'eux n'est nul.

Le premier point résulte immédiatement de ce que, dans ce produit, le coefficient de tout terme est une somme de parties dont chacune se forme en multipliant entre eux les coefficients de termes des polynômes facteurs, pris respectivement dans tous ceux-ci.

D'où la nullité de chacune de ces parties, contenant ainsi un ou plusieurs facteurs nuls numériquement, puis celle de leur somme, coefficient considéré du poljnome produit, puis celle de ce poljnome.

Pour le second point, considérons d'abord le cas de deux facteurs enchevêtrés de la seule variable jj, et soient {jl', |j." leurs degrés (effectifs) (HI), c^'X^\ c^^x^" leurs termes de ces degrés. Il est visible que le produit (amené à la forme normale) contient le terme c^,c'n"X^''^^' dont le coefficient n'est pas nul, puisque ses facteurs, c'^^^ c^«, ne le sont ni l'un ni l'autre. Le poljnome produit est donc non-nul.

De là, aux cas de deux facteurs enchevêtrés de 2 variables, puis de 3, 4» • • •> on passe par voie d'ordina-

( 6 ) lions variées et de récurrence, comme nous venons, de le faire dans une circonstance analogue (IV).

Soit enfin ^S'^S" . . .^£^J^ un produit de J poljnomes non nuls quelconques. En vertu de ce qui précède, sont non nuls : les produits ^i"'jp", puis

puis ..., puis enfin (^^'''î"' . . .)^^^'^ qui est le produit en question.

VI. Par rapport à tout groupe des variables (i), le degré [effectif) (III) d'ufi produit de plusieurspolynômes est égal à la somme de ceux de ses facteurs.

Dans un premier polynôme, soit pt' son degré de ce genre, {^')^' le groupe formé par tous ses termes (non nuls) de même degré /m', et {Q%', (9^')ct', • • • les groupes analogues, de degrés >'-< jji', ni'-< v', . . . , en sorte que la forme

(G"v+(gv+(g')nT'+.-.

puisse être donnée à ce poljnome. Soit encore

la forme analogue donnée à un autre polynôme dont le degré est [jl". Le produit de tous deux peut être écrit

et, en premier lieu, le produit parliel laissé en évidence est non-nul puisque chacun de ses deux facteurs est tel (IV); en second lieu, son développement ne contient évidemment que des termes élémentaires de degré commun jjl'-j-jjl"; en troisième lieu, celui des produits partiels non écrits ne peut donner que des

( 7 ) termes <ie degrés <; ij.' + a". On en conclut que le degré du produit des deux, polynômes considérés est bien égal à ij.'h- [jl", somme de ceux des facteurs.

De ce cas, de deux facteurs seulement, on passe à ceux de 3, 4 7 • • •» par le moyen employé à la fin de l'alinéa précédent (V).

Vil. Deux polynômes sont identiquement égaux ou non selon que, respecti^^ement , les termes [non nuls) de chacun sont semblables à ceux de Vautre et pourvus de coefficients numériquement égaux, ou bien quHl n en est pas ainsi. Car le polynôme obtenu en prenant leur différence a pour coefficients les différences de ceux des termes semblables dans les proposés, et il est nul dans le premier cas, non-nul dans le second (IV).

Suivant l'une ou l'autre alternative, nous dirons ces polynômes égaux ou inégaux.

2. On divise un polynôme donné .DTl par un autre 3'Ii, on fait la division du premier par le second, en en cbercbant un troisième dont le produit par le second soit égal au premier (1, VII).

Dans cette opération, 3TL, dXo prennent les noms de dividende, diviseur, et, si l'on peut lui trouver quelque résultat ^, on exprime celte possibilité en disant que OTL est divisible par <i)ï), que ^esl le quotient de la division.

Les moyens d'exécution dérivent des observations résumées ci-après.

I. Si le diviseur est nul (1, IV), el, comme, en conséquence, son produit par un polynôme quelconque l'est toujours {Ib., V), la division est impossible quand le dividende ne l'est pas, possible quand il

( 8 ) Vest aussi, mais alors avec indétermination du quotient.

II. Quand le diviseur est non-nul, le quotient de toute division possible est unique. Si, en divisant OÏL par Jï), on trouvait deux quolienls inégaux ^, , ^2) ^a soustraction membre à membre des identités de définitions

S\1 = DZ^i , DM. = X^2 conduirait à

chose impossible, puisque dans ce produit de deux facteurs le second est non-nul, le premier supposé tel (Ibid.).

III. Quand le dividende est nul, non le diviseur, la division est possible et le quotient est toujours nul. Car l'identité à réaliser o = i>^^, sous la condition dX, ^ o, l'est toujours et seulement par '^^= o {Ib.).

Désormais, nous supposerons non nuls, le diviseur toujours, et aussi le dividende quand le contraire n'aura pas été spécifié.

IV. Pour que la division soit possible, il est nécessaire que, par rapport à tout groupe des variables (i), le degré [effectif) w' du dividende soit au moins égal à w" degré du diviseur; et, s'il en est ainsi, le degré analogue w du quotient est donné a priori par la formule

(4) O) = lo' — co".

S'il existe quelque quotient ^, dont le degré analogue soit w, l'identité fondamentale Dit = 3^:^ entraîne co'== o>"-|- 0) (1, VI), d'où w'^w" et (4).

(9) Maintenant, nous pouvons passer à l'examen de trois cas simples, d'où se déduit la solution complète du problème.

Auparavant, il faut noter que, pour un groupe lormé d'i:ne seule variable u enclievêlrant le dividende, le diviseur et le quotient aux degrés u', u", i», on a aussi bien

cas particulier de (4) dont l'emploi est continuel.