V. Le dividende et le diviseur sont des formes

(OÏL =)M(5, <, ..., v)x'^'yfi ... w^', (5X> =)N(5, t, ..., i>) xVyr . . . wV ,

monômes en x, y, . . .., w, ayant pour coefficients des polynômes déchevêtrés de ces variables.

Si un quotient existe, son ordination par rapport au même groupe (2) ne peut donner qu'un terme, car, aulremeni, son produit |jar %, ordonné de la même manière, en contiendrait plus d'un aussi, alors que i)TL n'en a qu'un seul. 11 est donc de la même forme

(^=)Q(5, t, ..., i>)x',yn...w^^,

où Q{s, <, . . . , p»), i, 71? ■ ' -1 '1' sont : un polynôme déchevêlré de ;r, y, . . . , w, des exposants entiers non négatifs, à choisir de manière à donner identiquement

M(s, t, ..., P)a^S>^'...w4''(= D\L = DL^)

= [^(s, t, . . ., v) Qis, t, , . ., v)\ a;^"-^^y<+-n . . . w^"+'^.

A cette fin, les conditions nécessaires et suffisantes sont visiblement :

i" Pour que le premier membre soit semblable au dernier, relativement à .r, y, . . ., w, que l'on ait

( >o) d'où

2" Pour que les coeflicients des termes semblables dans leurs développements complets soient respectivement égaux, que l'on ait identiquement

c'est-à-dire que M soit divisible par N et que Q soit pris égal au quotient de cette division. Si donc il j a possibilité, on aura

^( = OÏL : 31, ) = ( M : N ) xl'-'i"yf\'-fi" . . . w^'-Y,

ce qui ramène le problème au cas de deux polynômes, M, ]N, impliquant des variables en nombre inférieur à celui des primitives (i).

VI. Le dividende OÏL est quelconque^ le diviseur X est déchevêtré des variables (2).

La possibilité de la division exige, comme condition nécessaire et suffisante, que les coefficients M,, M2, ... du dividende ordonné par rapport à ce groupe soient tous divisibles par y<=. Et, sous cette condition, ceux du quotient pareillement ordonné sont les quotients M, : 3L, M.2\^, - • . C'est ce que montre bien facilement l'identification de OÏL au produit de J^a par un quotient hypothétique ^ordonné de la même manière {Cf. V). L'opération est ramenée au cas de polynômes dépendant des variables (3) seulement.

La condition formulée entraine visiblement la divisibilité par Sf^ des coefficients de 011, ordonné par rapport à tout sous-groupe des variables (2).

VII. Le dividende et te diviseur sont enchevêtrés d^une même variable x., aux degrés m, ii[^ui(IV)].

Soient alors

les résultais de leur ordination par rapport à x suivant ses puissances décroissantes, les M, N étant des polynômes déchevétrés de cette variable. On pourra commencer et poursuivre la « division algébrique » du premier par le second, comme si les M, N n'étaient que des constantes, cela aussi longtemps que les degrés en x^ des premiers termes du dividende et des dividendes partiels consécutifs, resteront ^h et leurs premiers coefficients divisibles par N„.

Quand ces divisibilités se trouvent exister jusqu'au bout et qu'on arrive à un reste nul, on constatera bien facilement que la division de d% par 5^ est possible et que le quotient ordonné par rapport à a? se forme terme à ternie^ comme si cette variable était la seule de la question.

Quand il n'en est pas ainsi, on reconnaîtra avec la même facilité que OÏL n'est pas divisible par X.

Ceci ramène le problème à un cas précédent (V) et à celui de polynômes dépendant de h — i variables seulement, par la technique propre au cas élémentaire où le dividende et le diviseur ne sont enchevêtrés que dUine seule variable.

VIII. Comme chacun de ces moyens déchevêtre toujours de quelque variable, l'un au moins des polynômes qu'il laisse à manier, et cela sans enchevêtrer les autres, il est clair que leur enchaînement en récurrences convenables conduira sûrement à la réponse comportée par la division proposée.