I. De même qu'au lieu cité, nous représenterons par

N,t, Ml,!' les coefficients de ;r", «"^ dans le quasi-diviseur Sf^ et le quasi-dividende Oli^'^ de l'opération partielle exprimée par la récurrence courante (6), par y('^ el 'N,t, 'Ml^'., en outre, le plus grand commun diviseur de ces coefficients et les quotients de leurs divisions par lui.

Pour que '^^p^'^y^^'^'M!^. soit divisible par y(')'Nu, il faut et il suffit que ^^^p^'^'M^,'. le soit par 'N„, puis, en conséquence, que (^)p('^ le soit par 'N„, puisque ce diviseur est premier à 'Mi,', (10, II). En nommant donc x''^ le quotient de cette dernière division, on aura

polynôme dont le quotient de la division par

est x''^'Mm'.; et, pour que ce quotient soit premier au préparateur (^^p('^ = x''''N,i, il faut que x^'^ se réduise à une constante, c'est-à-dire que (^)p('^ soit pris égal (semblable) à 'N,,, (9), cette condition étant évidemment suffisante.

Désormais, nous supposerons que les préparateurs de toutes les quasi-divisions partielles ont été déterminés de cette manière.

( 3; ) H. Soient alors

< 35) (x>p(/+i) o\iU+i^ = (Êi(i+i) OL -+- DTOJ+^^

le résultat des éliminations successives de OK^-/^, DXL^J~*\ ..., 3]l('+3), D\i(i+^) entre les récurrences (7), (8) dont les premiers membres montrent les accents y, j — i, . . . , f + I , et

celui de l'élimination de OIL^'"'''^ entre cette relation (35) el la récurrence

i^'pf'' DW'^ = q('' X -t- DJif'^-i)

qui se trouve immédiatement au-dessus des précédentes.

5/(x)||(£+i)^ (ft('+o sont premiers entre eux, (^)||('), Cl '^ fe sont aussi.

On a efFectivement

moyennant quoi un diviseur premier commun v des premiers membres diviserait (-^^IJc'+'^j sinon (^)p(<^ (6), et (^)||('+o,|a)^ i^ii+n dans les deux cas, puisque (a;)1Jù+o est déchevétré de x, que i|<'^ est un monôme en X de degré m, — h > m/^j — u degré du polynôme Ct""^". Dans le premier cas, v diviserait à la fois (x)'pu+\)^ i^U+\)^ ce qui est contraire à l'hypothèse. Dans le second, où il diviserait t^^p''^ mais non (-«^^IJ ('+'>, il diviserait aussi i|"^, autre facteur du produit <x)'l^(i+t)q(i)^ ce qui n'a pas lieu puisque (^^p('\ q(') sont premiers entre eux (1 in fine).

111. Comme les préparateurs sont respectivement premiers aux quasi-quotients dans la dernière et

( 38 ) l'avant-dernière des récurrences (7), (8), le raisonnelïient précédent (II) montrera qu'il en est de même pour («^IJO'-o relativement à d^-/~'^ puis, de là, pour (^}||(y-2). tt(y-2), puis ..., puis enfin pour (^>|l, €l, préparateur et quasi-quotient de la quasi-division considérée.

17. Pour les polynômes .OTL, 3^ du n° 14, toujours enchevêtrés de x et sans diviseur commun déchevêtré de cette variable, exécutons dans les conditions du n° 16 les quasi-divisions (i4) du n" 5.

Si SP^jj^i^^o^ ces polynômes sont premiers entre eux.

Si .X,y^2=o, les quotients SLj^ ^/+i des divisions de >JiXoj, ^j+i pcLt' le plus grand commun diviseur '^^d des coefficients de leurs ordinations par rapport à X sont respectivement divisibles par fly^, , ^^^Py+<, on a

et chacun de ces polynômes égaux est le plus grand commun diviseur des proposés.

I. Tout diviseur commun de DIL, X divise aussi X(, 3^25 ••• ^j+ii <3^y-i-2- Il résulte en effet : de la première des récurrences (i4) qu'il divise .DL,, de la seconde, qu'il divise o^a puisqu'il divise <>Ki,a)Tl>) simultanément, et ainsi de suite jusqu'à Jl^jj^^.

Les poljnomes DU, SKs sont donc premiers enli'e eux quand 3iLj^27^ o, puisque leurs diviseurs communs, s'ils en avaient, seraient enchevêtrés de x, alors que 3l>j+2 en est essentiellement déchevêlré.