II. En supposant maintenant 3Tl>y.,.2== o, tout poly

nome sans diviseur déchevêtré de x, qui divise 3^y+t, Xy simultanément, divise encore ^j^^, ^J-21 ••••) ^^it Sf^, DXi. Car, en vertu de l'avant-dernière des récurrences (i4), i' divise le produit '^^Py 0ï;,y,, son dernier facteur SfLj^t par conséquent, puisque, sans diviseur déchevêtré de x^ il ne peut en avoir aucun appartenant aussi à '■^^Pj. Puis de même pour Dï>y 2, ... jusqu'à

III. Il j a identité ainsi entre le plus grand commun diviseur de OTl, JL et celui de )Iiy, .Xj^., . Car tout diviseur de OÏL, X divise Xy='*)<?x;, ^j^t = ^^^âyL'j+t (I), puis Xy, Xy^t, comme étant sans diviseur déchevêtré de X, sans diviseur commun par suite avec -^^d déchevêtré de cette variable; car tout diviseur commun de Xy, SILj^, divise aussi Xy, Xy+i sans avoir un facteur déchevêtré de x, divise par suite Oli, X (II).

Comme Ji:^j^2= o, la division par ^^^d de la dernière relation du groupe (i4) est possible et laisse

(*Vy+, 3fLj + qy+, DXo'j+i = o,

ceci conduisant à (36), parce que, rendus premiers entre eux (16), '^^Py+i, «îy+i divisent Xy^i, Xy respectivement. Et les membres de cette relation (36) sont bien tous deux égaux au plus grand commun diviseur de Xj, Xy+i, à celui de DTl, )Z par suite, parce que les quotients x;(.%;:qy+o= iy+i et x;(x;.+, : (^)py+, )= (-r^py^,

sont premiers entre eux.

Aussi bien que celui du n" 14, ce théorème peut être emplo}'é à la recherche du plus grand commun diviseur de deux polynômes quelconques, dont la marche générale a été exposée tout à l'heure (15).