Pour terminer, voici deux théorèmes utiles, qui
au rebours des précédents, n'ont point de pendants en A.rilhmélique.
Pour qu'un polynôme premier ^X divise un polynôme dW quelconque, il est nécessaire et suffisant que toutes les valeurs des variables qui V annulent numériquement annulent OPc aussi.
Le premier point est évident. Pour établir le second, nous remarquerons que ces polynômes sont forcément enchevêtrés tous deux d'une même variable au moins, que nous nommerons x et que nous éliminerons entre eux par la relation
(37) ^OIL -}- ^=)b = '^'J(jK, z, . . . ),
^^'>§ étant déchevêfré de J7, les multiplicateurs $, ^ ayant par rapport à x des degrés respectivement inférieurs à ceux de 3^, dW. (o). Aux variables jk, z, . . . , dont ^-^^S dépend à l'exclusion de ;r, nous attribuerons ensuite un système quelconque y' ^ z' , ... de valeurs particulières.
Si ces valeurs annulent la totalité des coefficients de l'ordination de Dh par rapport à x, elles annulent X forcément aussi, d\L encore par suite et par hypothèse, et, en vertu de (S^), on a numériquement
Si, pouvy=y', z = z' , ..., les coefficients des termes de cette ordination, où x a des exposants > o, ne s'évanouissent pas tous, l'équation en x
a quelque racine ;r', donnant ainsi 3^ (x',y', z', ...)= o, puis, par hypothèse, DTi (x' , y' , z' , . . .) = o et (38) encore, à cause de (3^).
SI les mêmes attributions numériques annulent la totalité des coefficients qui viennent d'être spécifiés, l'équation (39) ne peut être résolue; mais on verra facilement qu'à quelqu'une des variables y, z, ..., k z pour fixer les idées, on peut attribuer leur valeur z" infiniment voisine de z', à a: une valeur correspondante x", qui donnent 3L{a/',y, z", ...) = o, d'où rfXi(x\y, z", ...) = o par hypothèse, puis
d'après la relation (37). Si maintenant on fait tendre z" vers 5', il vient
lim(-^'^(y, z", ...) = o = (^lf(y, z', ...).
Le polynôme ^-^^^(j", s, •.•) s'évanouit donc numériquement pour toutes les combinaisons de valeurs de ses variables, c'est-à-dire identiquement. La relation (S^) se réduit donc à
^orc -4- ^-x, = o,
ceci montrant que 3X, divise le produit ^DÎL, 0X1 par suite, puisque la supériorité de son degré en x, comparé à celui de *$, s'oppose à ce qu'il divise ce dernier polynôme (6).
19. Pendant un instant, nous nommerons grade d'un polynôme quelconque OÏL, relativement à un autre premier donné 3Î>, l'entier M(^o) jouissant de la propriété que OR. soit divisible par DTi*', non par X"'^\ tel ainsi, que l'on ait D\iz= X*'^, le quotient pétant non divisible par 3(^,
Si maintenant on représente par
(4oj DXL, D]v, orc\ ...
des dérivées de Dïl par rapport aux variables dont j)b est enchevêtré, prises respectivement au hasard dans les ordres (totaux) o, i, 2, ..., on a ce théorème :
Le grade M de DTl est égala V ordre de la première des dérl^-ées (4o) qui n^ est pas divisible pardTs.
Toute dérivation (première) de S\L par rapport à ces variables diminue de i son grade (supposé >» o). On trouve effectivement, en prenant D pour signe de cette dérivation,
DOlt = D(DL*'^) = Ob^'.D^-f- MOL*'-'(D.)b.^),
et, comme Dî» est premier, il ne divise ni DDt-. ayant un degré inférieur au sien par rapport à la variable de dérivation, ni ^ par hypothèse. Il en résulte que le dernier terme du second membre est divisible par 3Ï.'*'~', non par -%" (7), puis, qu'il en est de même pour tout ce membre ayant son autre terme divisible par 01i**. En d'autres termes, M — i est le grade de
La réitération de ce raisonnement montre bien facilement que les grades des dérivées (4o) calculées jusqu'à l'ordre M sont
comme il suffisait de le constater.
Soit directement, soit par sa combinaison avec la précédente (18), cetle proposition peut rendre des services dans la décomposition d'un polynôme en facteurs premiers.
(Extrait des Nouvelles Annales de Mathématiques, 4' série, t. VII: mai 1907.)
40186 Paris. — Impr. GAUIHIEU-VILLARS, quai des Grands- AugusUns, 5d.
QA Meray, Hugues Charles Robert 161 Divisibilité des polynômes MiV7 entiers a plusieurs variables
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